Complément : suite arithmético-géométrique.

Complément : suite arithmético-géométrique.

Objectif : Étude des suites de la forme :

"

u0PR un`1“aun`b

Pour tester les suites étudiées avec géobébra.

d e f r e c u ( a , b , n ,U ) :

f o r i i n r a n g e ( 0 , n + 1 ) : p r i n t ( "U" , i , " = " ,U) U=a ∗U+b

r e t u r n

r e c u ( 0 . 3 , 1 . 4 , 1 0 , − 1 )

Soit la suitepunq définie sur Npar :

"

u0“ ´1 u<sub>n`1</sub>“0.3u<sub>n</sub>`1,4

‚ 1^ière étape : On détermine l’intersection entre des droites d’équation y“0,3x`1,4 et y“x.

0,3x`1,4“xôx“ 1,4 0,7 “2

‚ 2^ième étape : On étudiepv_nq la suite définie parv_n“u_n´2(c’est-à-dire la distance de u_n à 2).

On montre que pvnq est une suite géométrique. (On devra utiliserun“vn`2)

v_{n`1</sub> “u<sub>n`1}´2“0,3u_n`1,4´2“0,3u<sub>n</sub>´0,6“0,3pv<sub>n</sub>`2q ´0,6“0,3v_n

On a donc v_n`1 “ 0,3v_n. Donc la suite pv_nq est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme v0“u0´2“ ´1´2“ ´3

‚ 3^ième étape : Expression de vn en fonction den :

vn“qⁿv0 “ ´3ˆ0,3ⁿ

Remarque : Puisqueq“0,3Ps0,1retv₀“ ´3, on sait quepv_nqest croissante et commeu_n“v_n`2 la suite punq est croissante.

‚ 4^ième étape : Expression de u_n en fonction de n:

un“vn`2“q<sup>n</sup>v0 “ ´3ˆ0,3<sup>n</sup>`2

‚ 5^ième étape : Étude de la limite : q “0,3ă1 donc lim

nÑ`80,3ⁿ“0. Donc lim

nÑ`8un“ ´3ˆ0`2“2.

On retrouve le résultat observé soit avec géogébra soit à la calculatrice.

‚6^ième étape : Variation : Commeq “0,3Ps0,1r, on anÞÑ0,3ⁿest décroissante. Puis´3ˆqⁿ`2 est croissante (décomposition en fonction de référence avec -3x+2 décroissante)

Méthode-exemple 1

Exercice 1. Testez la méthode précédente avec les suites suivantes (Vous pourrez au préalable utiliser Géogébra ou le petit programme Python ou la calculatrice pour avoir une intuition de la limite et de la monotonie de la suite) :

a)

"

u₀ “ ´1 u<sub>n`1</sub> “0.5u<sub>n</sub>`1,5 b)

"

u₀“10 u<sub>n`1</sub> “0,5u<sub>n</sub>`1,5

c)

"

u₀“0 u_n`1 “2u_n´2 d)

"

u₀“2 u_n`1 “2u_n´2

e)

"

u₀ “4 u_n`1 “2u_n´2 f)

"

u₀ “0 u<sub>n`1</sub> “ ´0,9u<sub>n</sub>`19

Terminale S spécialité mathématiques

• Sia“1 alors la suitepunq est une suite arithmétique de raison b.

• Sia‰1 etu0 “ ´b

1´a alors la suitepunq est constante.

On suppose maintenant que a‰1 et u0 ‰ ´b 1´a :

• Si´1ăaă1 alors la suite pu_nq est convergente.

• Siaą1 alors la suitepu_nq est divergente de limite`8 ou ´8.

• Siaď ´1 alors la suite pu_nq est divergente et n’a pas de limite.

Proposition 1 (Sur la convergence (Non exigible))

On peut refaire cela de façon générale :

Soit la suitepunq définie sur Npar :

"

u0 PR un`1 “aun`b

Avec a ‰1. (En effet si a“ 1, la suite pu_nq est simplement une suite arithmétique. On remarque d’ailleurs que sib“0 la suite est géométrique et la méthode est valable mais inutile.)

‚ 1^ière étape : On détermine l’intersection entre des droites d’équation y“ax`bet y“x.

ax`b“xôx“ b 1´a

‚ 2^ième étape : On étudie pvnq la suite définie parvn“un´ b

1´a (c’est-à-dire la distance de un

à b

1´a). On montre quepv_nq est une suite géométrique.

v_{n`1</sub> “u<sub>n`1}´ b

1´a “au_n`b´ b

1´a “au_n`b´ b

1´a “apv_n` b

1´aq `b´ b

1´a “av_n On a doncvn`1“avn. Donc la suitepvnqest une suite géométrique de raison a et de premier terme v0 “u0´ b

1´a

‚ 3^ième étape : Expression de v_n en fonction den : vn“qⁿv0“

ˆ

u0´ b 1´a

˙ ˆaⁿ

‚ 4^ième étape : Expression de un en fonction de n: u_n“v_n` b

1´a “ ˆ

u₀´ b 1´a

˙

ˆaⁿ` b 1´a

Remarque : On peut déterminer les variations et la limite depv_nq à partir des valeurs de v₀ et de a, puisque c’st une suite géométrique. On déduira ainsi les variations et la limite de pu_nq.

‚ 5^ième étape : Étude de la limite : Par exemple, si´1 ăaă1. lim

nÑ`8aⁿ “0. Donc lim

nÑ`8un “ b

1´a.

‚ 6^ième étape : Variation : On fera au cas par cas.

Méthode-exemple 2

Lycée Paul Rey 2