Interrogation suite géométrique

Lycée Paul Rey Denis Augier

Correction Dm 1 : Suite numérique. TES1

Exercice 36 page 24 :

a) Le capital restant sur le compte l’année (2012+n) (c’est-à-direSn) est augmenté de 2%. Donc :

S<sub>n`1</sub>“ S<sub>n</sub>ˆ p1`0,02q

loooooooomoooooooon

Le capital restant sur le compte l¹annéep2012`nqaugmentéde2%

. La suitepSnqest donc une suite géométrique de raison p1`0,02q “1,02 est de premier terme S0“1000. On a donc : S_n“qⁿˆS₀“1,02ⁿˆ1000

b) Le capital disponible sur le compte en 2017“2012`5 est donc :S₅“1,02⁵ˆ1000»1104e. c) On obtient alors :

u<sub>n`1</sub>“ u<sub>n</sub>ˆ p1`0,02q loooooooomoooooooon

unaugmenté de2%

` 600 loomoon

Les600euros en plus.

d) Ici nous reconnaissons une suite arithmético-géométrique (ni arithmétique ni géométrique) Exercice 49 page 25 :

Ici nous utilisons la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : 1^iertermeˆ1´qnb de termes

1´q a) 5`5ˆ0,2`5ˆ0,2²`...`5ˆ0,2¹⁰“5^1´0,2_1´0,2¹¹ “ ^5´5ˆ0,2

11

0,8 “ _0,8⁵ ´_0,8⁵ ˆ0,2¹¹“6,25´6,25ˆ0,2¹¹»6,25 b) 0,8`0,8ˆ1,3`0,8ˆ1,3²`...`0,8ˆ1,3¹⁵“0,8^1´1,3_1´1,3¹⁶ “ 0,8´0,8ˆ1,3¹⁶

´0,3 “ _´0,3^0,8 ´_´0,3^0,8 ˆ1,3¹¹“^´8₃ `⁸₃ˆ1,3¹⁶»174,78.

c) 4`<sup>4</sup><sub>3</sub>`₃⁴2`...`₃⁴10 “4ˆ1´`₁

3

˘1

1 1´¹₃ »6.

d) 1` 7 10` 7

10² `...` 7 10⁸ loooooooooooomoooooooooooon

Suite géométrique

“1`7ˆ1´`₁

10

˘8

1´₁₀¹ »8,78.

Ex 84 page 31.

1. On obtient le tableau :

Année 2006 2007 2008 2009

Fréq moy journalière 2678 2879 3085 3327 Taux d’accroissement 7,5 % 7,5 % 7,5 %

On constate que le taux annuel est toujours le même de 7,5 %.

2. Chaque mois la fréquentation subit une augmentation de 7,5 % .

(a) On obtient donc la fréquentation à l’année 2006` pn`1qen augmentant la fréquentation de l’année 2006`n de 7,5%. On obtient doncun`1“ p1`0,75q ˆu_n“1,075u_n. La suite pu_nqest donc une suite géométrique de raison 1,075 et de premier termeu₀“2678.

(b) Doncu_n “qⁿˆu₀“1,075ⁿˆ2678.

3. Utilisation de la formule en fonction den.

4. On a 2015“2006`9. Donc la fréquentation journalière moyenne en 2015 est donc de : u₉“1,075⁹ˆ2678»5134individus

5. On obtient :u11»5933 etu12»6378. Donc le nombre moyen journalier dépassera 6000 connexions, l’année 2018 (=2006+12)

Exercice 1. La suitepu_nqest géométrique de raison 0,9 et de premier terme 10.

1. Détermineru1,u2,u10 etu50.

2. Déterminer lim

nÑ`8un.

On notera dans la suiteSn“u0`u1`u2`...`un. 3. Déterminer :

(a) S₇“u₀`u<sub>1</sub>`...`u₇

2018-2019 1

Lycée Paul Rey Denis Augier

(b) u₃`u<sub>4</sub>`...`u₁₂ 4. Déterminer lim

nÑ`8S_n.

Exercice 2. Calculer 3⁴`3<sup>5</sup>`...`3<sup>1</sup>2 Exercice 3. Calculer 5`7`9`...`55

Interrogation suite géométrique

Exercice 4. La suitepu_nqest géométrique de raison 0,7 et de premier terme 100.

1. Détermineru₁“100ˆ0,7“70,u₂“70ˆ0,7“49,u₁₀»2,82 etu₅₀“0,7⁵⁰ˆ100»1,8ˆ 10^´6. 2. Déterminer lim

nÑ`8u_n.

Comme 0ă0,7ă1 on a lim

nÑ`80,7ⁿ“0 donc lim

nÑ`8un“0.

On notera dans la suiteSn“u₀`u<sub>1</sub>`u₂`...`un. On a

1^iertermeˆ1´qnb de termes

1´q 3. Déterminer :

(a) S8“u0`u1`...`u8“100ˆ1´0,7⁹

1´0,7 »323,9.

(b) u3`u4`...`u12“u31´0,7<sup>12´3`1</sup>

1´0,7 “0,7³ˆ100ˆ^1´0,7

10

1´0,7 “111,1 4. Déterminer lim

nÑ`8Sn.

Comme 0ă0,7ă1 on a lim

nÑ`80,7ⁿ“0. On a

Sn “100ˆ1´0,7ⁿ 1´0,7 On a donc lim

nÑ`81´0,7ⁿ“1 puis lim

nÑ`8

1´0,7ⁿ

1´0,7 “ _1´0,7¹ “ _0,3¹ Et enfin :

nÑ`8lim S<sub>n</sub>“100 0,3 »333 Exercice 5. Calculer 2<sup>2</sup>`2³`...`2⁸“2²ˆ2⁷´1

2´1 “4ˆ127“508 Exercice 6. Calculer 5`8`11`...`35.

On a ici une progression arithmétique de raison 3. Pour déterminer le nombre de termes : 35´5

3 `1“10`1“11. Il y a donc 11 termes.

5`8`11`...`35“ 5`35

2 ˆ11“220 .

2018-2019 2