Interrogation suite géométrique

Lycée Paul Rey Denis Augier

Correction DS 1 : Suite numérique. TES1

Exercice 1. On considére la suite (un) définie paru0“65 et pour tout entier natureln:un`1“0,8un`18 1. Calculeru1“u0ˆ65`18“70 etu2“74.

2. Pour tout entier natureln, on pose :v_n “u_n´90.

(a) Démontrer que la suitepv_nqest géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur dev₀. On av_n“u_n´90ôu_n “v_n`90.

v_{n`1</sub>“u<sub>n`1}´90“0,8u_n`18´90“0,8pv<sub>n</sub>`90q ´72“0,8v_n`72´72“0,8v<sub>n</sub>. Commevn`1“0,8vn, la suitepvnqest géométrique de raison 0,8.

On av0“u0´90“65´90“ ´25. On a doncvn“ ´25ˆ0,8ⁿ.

(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n :un“90´25ˆ0,8ⁿ. On aun “vn`90“90´25ˆ0,8ⁿ´24 3. On considère l’algorithme ci-dessous :

ligne 1 uÐ65 ligne 2 nÐ0

ligne 3 Tant queuď85 ligne 4 nÐn`1 ligne 5 uÐ0,8ˆu´90 ligne 6 Fin de Tant que

(a) Recopier et compléter les ligne 3 et 5 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel n tel queu_n ą85.

Ici la valeur deuest initialementu₀puis a chaque boucle on effectue 0,8u´90. On calcul donc le terme suivant que l’on réaffecte àu. Les valeurs de la suite sont ainsi successivement calculé ainsi que l’indice correspondant par la ligne "nÐn`1". Cette boucle est répété jusqu’à ce que la valeur de la suite dépasse 85, on obtient alors le première indice pour lequelu_n dépasse 85.

(b) Quelle est la valeur de la variablenà la fin de exécution de l’algorithme ?

4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de recevoir chaque semaine ce panier bio. En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement. Les responsables de la société, Biocagette font les hypothèses suivantes :

• d’un mois à l’autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;

• chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.

(a) Justifier que la suitepu_nqpermet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio len^ièmemois qui suit le mois de juillet 2017.

Si l’on noteu_n le nombre d’abonnement souscrit au n^ième mois après le mois de juillet 2017.

u_n`1“ p1´0,2q ˚u_n looooooomooooooon

20% des abonnements sont résiliés

` 18

loomoon

18particulierssupplémentaires souscriventà l¹abonnement.

“0,8u_n`18

(b) Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4420e durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.

Si on note rn la recette mensuelle de la société Biocagette au n^ième mois après le mois de juillet 2017, on a rn“unˆ52 en euros.

rně4420ôunˆ52ě4420ôun ě85loomoôon

voir3b

ně8

2018-2019 1

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(c) Selon le modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la socièté Biocagette ? Argumenter la réponse.

On au_n“90´25ˆ0,8ⁿ. Or 0ă0,8ă1 donc lim

nÑ`80,8ⁿ “0.

Ainsi lim

nÑ`8´25ˆ0,8ⁿ “0 et enfin lim

nÑ`8un “ lim

nÑ`890´25ˆ0,8ⁿ“90.

Il semble que le nombre d’abonnements tend à s’approcher de 90 abonnements mensuels. Soit donc une recette de 90ˆ52“4680e.

Exercice 2. On poseSn “⁴₅``₄

5

˘2

`...``₄

5

˘n

.

On a la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique 1^ierterme1´qnb de termes

1´q .

1. DéterminerS10“⁴₅ˆ1´`₄

5

˘10

1´⁴₅ “⁴₅ˆ1´`₄

5

˘10 1 5

“4ˆ

´ 1´`₄

5

˘10¯

»3,57 2. DéterminerS₂₀“4ˆ

´ 1´`₄

5

˘20¯

»3,95.

3. Déterminer`₄

5

˘11

``₄

5

˘12

`...``₄

5

˘20

“S20´S10“4

´`₄

5

˘20

´`₄

5

˘10¯

»0,38 4. Déterminer lim

nÑ`8S_n. On a 0ă ⁴₅ ă1 donc lim

nÑ`8

`₄

5

˘n

“0. Donc lim

nÑ`81´`₄

5

˘n

“1. Et enfin lim

nÑ`8Sn“ lim

nÑ`84ˆ` 1´`₄

5

˘n˘

“4.

Correction Dm 1 : Suite numérique. TES1

Exercice 36 page 24 :

a) Le capital restant sur le compte l’année (2012+n) (c’est-à-direS_n) est augmenté de 2%. Donc :

Sn`1“ Snˆ p1`0,02q

loooooooomoooooooon

Le capital restant sur le compte l¹annéep2012`nqaugmentéde2%

. La suitepSnqest donc une suite géométrique de raison p1`0,02q “1,02 est de premier terme S0“1000. On a donc : S_n“qⁿˆS₀“1,02ⁿˆ1000

b) Le capital disponible sur le compte en 2017“2012`5 est donc :S5“1,02⁵ˆ1000»1104e. c) On obtient alors :

un`1“ unˆ p1`0,02q loooooooomoooooooon

u_naugmenté de2%

` lo600omoon

Les600euros en plus.

d) Ici nous reconnaissons une suite arithmético-géométrique (ni arithmétique ni géométrique) Exercice 49 page 25 :

Ici nous utilisons la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : 1^iertermeˆ1´qnb de termes

1´q a) 5`5ˆ0,2`5ˆ0,2²`...`5ˆ0,2¹⁰“5^1´0,2_1´0,2¹¹ “ ^5´5ˆ0,2

11

0,8 “ _0,8⁵ ´_0,8⁵ ˆ0,2¹¹“6,25´6,25ˆ0,2¹¹»6,25 b) 0,8`0,8ˆ1,3`0,8ˆ1,3²`...`0,8ˆ1,3¹⁵“0,8^1´1,3_1´1,3¹⁶ “ 0,8´0,8ˆ1,3¹⁶

´0,3 “ _´0,3^0,8 ´_´0,3^0,8 ˆ1,3¹¹“^´8₃ `⁸₃ˆ1,3¹⁶»174,78.

c) 4`<sup>4</sup><sub>3</sub>`₃⁴2`...`₃⁴10 “4ˆ1´`₁

3

˘1

1 1´¹₃ »6.

d) 1` 7 10` 7

10² `...` 7 10⁸ loooooooooooomoooooooooooon

Suite géométrique

“1`7ˆ1´`₁

10

˘8

1´₁₀¹ »8,78.

Ex 84 page 31.

1. On obtient le tableau :

Année 2006 2007 2008 2009

Fréq moy journalière 2678 2879 3085 3327 Taux d’accroissement 7,5 % 7,5 % 7,5 %

On constate que le taux annuel est toujours le même de 7,5 %.

2. Chaque mois la fréquentation subit une augmentation de 7,5 % .

2018-2019 2

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(a) On obtient donc la fréquentation à l’année 2006` pn`1qen augmentant la fréquentation de l’année 2006`n de 7,5%. On obtient doncun`1“ p1`0,75q ˆu_n“1,075u_n. La suite pu_nqest donc une suite géométrique de raison 1,075 et de premier termeu₀“2678.

(b) Doncun “qⁿˆu₀“1,075ⁿˆ2678.

3. Utilisation de la formule en fonction den.

4. On a 2015“2006`9. Donc la fréquentation journalière moyenne en 2015 est donc de : u₉“1,075⁹ˆ2678»5134individus

5. On obtient :u₁1»5933 etu₁2»6378. Donc le nombre moyen journalier dépassera 6000 connexions, l’année 2018 (=2006+12)

Exercice 3. La suitepunqest géométrique de raison 0,9 et de premier terme 10.

1. Détermineru1,u2,u10 etu50.

2. Déterminer lim

nÑ`8un.

On notera dans la suiteS_n“u₀`u<sub>1</sub>`u₂`...`u_n. 3. Déterminer :

(a) S7“u0`u1`...`u7

(b) u3`u4`...`u12

4. Déterminer lim

nÑ`8Sn.

Exercice 4. Calculer 3⁴`3<sup>5</sup>`...`3<sup>1</sup>2 Exercice 5. Calculer 5`7`9`...`55

Interrogation suite géométrique

Exercice 6. La suitepunqest géométrique de raison 0,7 et de premier terme 100.

1. Détermineru1“100ˆ0,7“70,u2“70ˆ0,7“49,u10»2,82 etu50“0,7⁵⁰ˆ100»1,8ˆ 10^´6. 2. Déterminer lim

nÑ`8un.

Comme 0ă0,7ă1 on a lim

nÑ`80,7ⁿ“0 donc lim

nÑ`8u_n“0.

On notera dans la suiteSn“u0`u1`u2`...`un. On a

1^iertermeˆ1´qnb de termes

1´q 3. Déterminer :

(a) S₈“u₀`u<sub>1</sub>`...`u₈“100ˆ1´0,7⁹

1´0,7 »323,9.

(b) u₃`u<sub>4</sub>`...`u<sub>12</sub>“u<sub>3</sub><sup>1´0,7</sup><sub>1´0,7</sub><sup>12´3`1</sup> “0,7³ˆ100ˆ^1´0,7

10

1´0,7 “111,1 4. Déterminer lim

nÑ`8Sn.

Comme 0ă0,7ă1 on a lim

nÑ`80,7ⁿ“0. On a

S_n “100ˆ1´0,7ⁿ 1´0,7 On a donc lim

nÑ`81´0,7ⁿ“1 puis lim

nÑ`8

1´0,7ⁿ

1´0,7 “ _1´0,7¹ “ _0,3¹ Et enfin :

nÑ`8lim S<sub>n</sub>“100 0,3 »333 Exercice 7. Calculer 2<sup>2</sup>`2³`...`2⁸“2²ˆ2⁷´1

2´1 “4ˆ127“508 Exercice 8. Calculer 5`8`11`...`35.

On a ici une progression arithmétique de raison 3. Pour déterminer le nombre de termes : 35´5

3 `1“10`1“11. Il y a donc 11 termes.

5`8`11`...`35“ 5`35

2 ˆ11“220 .

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