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Une suite possédant une valeur d’adhérence qui n’e limite d’aucune sous-suite
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Rappel sur les ultrafiltres : UnfiltreF sur un ensembleE non vide eune partie non vide de P(E) (i.e. un ensemble non vide de sous-sensembles deE) qui vérifie les 3 axiomes suivants : A:∅<F .
A: siA, B∈F alorsA∩B∈F. A: siA∈F etA⊂B⊂EalorsB∈F .
Unebase filtreBsur un ensembleEnon vide eune partie non vide deP(E) (i.e. un ensemble non vide de sous-sensembles deE) qui vérifie lesaxiomes suivants :
B:∅<F .
B: siA, B∈F alors il exieC∈F tel queC⊂A∩B.
Il eimmédiat que tout filtreF eune base de filtre et, dans cette situation, le filtre engendré parF en tant que base de filtre eégal àF . Il eaussi immédiat que siB⊂P(E) eune partie able par interseion finie, alorsBeune base de filtre surE.
Proposition.—SiB⊂P(E)désigne une base de filtre, alors il exie un plus petit filtreF surEtel queB⊂F . Ce filtre eappelé le "filtre engendré" parB.
Preuve :On considère l’ensemble
F ={B⊂E/∃A∈B/ A⊂B}
Il eclair queB⊂F et que tout filtre contenantBcontientF . Il ree donc à montrer que F eun filtre.
A: eimmédiat car∅<B.
A: siA, B∈F alors il exieA0, B0∈Btels queA0⊂AetB0⊂B. SoitC∈Btel queC⊂A0∩B0, on aC⊂A0∩B0⊂A∩Bet doncA∩B∈F .
A: soientA∈F etA⊂B⊂E. Il exieC∈Btel queC⊂A⊂Bet doncB∈F .
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Un ultrafiltre surE, eun élémént maximal (pour l’inclusion) dans l’ensemble des filtres sur E: c’edonc un filtreF tel que siF 0désigne un autre filtre et queF ⊂F 0alors on aF =F 0. Proposition.—Un filtreF surEeun ultrafiltre si et seulement si, il vérifie l’axiome supplémentaire suivant :
A: siA⊂Ealors, soitA∈F , soitAc∈F (Acdésigne le complémentaire deAdansE).
Preuve :Supposons qu’un filtreF vérifie l’axiome Aet considérons un filtreF 0tel queF ⊂F 0. SiF ,F 0 il exie alors un élémentAdeF 0qui n’epas dansF . Dans ces conditions, à cause de A, on aAc∈F ⊂F 0, mais alors∅=A∩Ac∈F 0ce qui econtraire à l’axiome A.
Réciproquement, supposons queF soit un ultrafiltre surEet considérons un élementA⊂E tel queA<F . SiAc<F , alors pour toutX∈F, on aA∩X,∅. En effet, s’il exiait unX∈F tel queA∩X=∅, alors on auraitX⊂Acet doncAc∈F . Considérons alors
B={A∩X/ A∈F}
Il eclair queB vérifie l’axiome Bet donc, d’après ce qui précède c’eune base de filtre. Le filtreF0engendré parBcontient visiblementF et l’on a donc, par maximalité,F0=F . Ceci e absurde car, commeA∩X⊂A(pour n’importe quel élémentX∈F ), on aurait doncA<F .
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Etant donné un élémenta∈E, on considère l’ensemble Fa={A⊂E/ a∈A}
dont il eaisé de voir que c’eun ultrafiltre surE. Cet ultrafiltre possède un élément minimal (pour l’inclusion) qui ed’ailleurs un plus petit élément : le singleton{a}. On dira d’un ultrafiltre qu’il eprincipals’il possède un élément minimal.
Proposition.—SiF désigne un ultrafiltre sur un ensembleEalors les proprositions suivantes i)F eprincipal,
ii) il exiea∈Atel queF =Fa, iii)F contient une partie finie, sont équivalentes.
Preuve : i) =⇒ii) SoientAun élément minimal deF eta∈A. La partieA− {a}n’e donc pas élément deF et commeF eun ultrafiltreAc∪ {a}= (A− {a})c∈F. Donc{a}=A∩(Ac∪ {a})∈F , ce qui montre queA={a}et queFa⊂F . PuisqueFaeun ultrafiltre, on a bienF =Fa.
iii) =⇒ii) SoientA∈F une partie finie eta∈A. Si{a} ∈∈F alorsF ⊂Fa, mais commeF e maximal pour l’inclusion, on aF =Fa.
Si{a}<∈F , alors puisqueF eun ultrafiltre,E− {a} ∈F et doncA− {a}=A∩(E− {a})∈F . Ainsi, F contient un ensembleriement inclus dans A. En opérant par récurrence sur le nombre d’élément deA, on voit finalement queF contient bien un singleton.
ii) =⇒i) etii) =⇒iii) sont triviales.
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En particulier, siEeun ensemble fini, alors tout ultrafiltre surEeprincipal. Le théorème qui suit ecapital dans l’étude des ultrafiltres sur des ensembles infinis :
Théorème.—SiEdésigne un ensemble infini, alors il exie un ultrafiltre non principal surE.
Preuve : On considère l’ensembleE conitué des filtres surEqui ne contiennent aucune partie finie :∀F ∈E,∀A∈F ,]A= +∞. L’ensembleE ecertainement non vide puisque le filtreF = {E}lui appartient. Maintenant, muni de l’inclusion, l’ensemble (E,⊂) ecertainement induif : si (Fi)idésigne une chaine d’éléments deE, alorsF =S
iFiecertainement un élément deE. Le lemme de Zorn assure alors de l’exience d’un élément maximalF0∈E. Ce filtre possède la propriété suivante : toute partie confinieX0⊂Eeélément deF0. En effet, l’ensemble
B=F0∪ {X∩X0/ X∈F0}
e able par interseion et ne contient pas∅. Il s’agit donc d’une base de filtre et l’on conate queBne contient que des ensembles infinis. Il en ealors de même du filtreF engendré parB.
Mais commeF0⊂F , par maximalité on a finalementF0=F . Il s’ensuit queX0=X0∩E∈F0. SiF0n’était pas un ultrafiltre, il serait donc contenuriement dans un filtreF1. Par maxi- malité deF0, ce nouveau filtre contiendrait nécessairement une partie finieA. Mais alors, puisque X0=E−Aeune partie cofinie, on auraitX0∈F0⊂F1et on en déduirait donc que∅=A∩X0∈F1, ce qui ebien sur absurde.
En conclusion,F0 e un ultrafiltre. Il sera alors nécessairement non principal puisqu’il ne possède pas de partie finie.
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On considère un ultrafiltre non principalF sur un ensembleE infini. On établit ici deux lemmes utiles pour la suite.
lemme.—SiA1,· · ·, An∈F , alors l’ensemble
\n
i=1
Ai eune partie infinie.
Preuve :S’obtient par récurrence sur l’entiernen utilisant l’axiome A.
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lemme.—SiX⊂Eeune partie infinie, alors il exieA∈F tel queX∩Acsoit une partie infinie.
Preuve :SiX<F , alors d’après l’axiome A, on aA=Xc∈F et doncX∩Ac=Xebien infinie.
SiX∈F, on considère l’ensemble de parties
FX={X∩A/ A∈F }={A∈F / A⊂X} ⊂F
(la deuxième égalité provient du fait queX∈F et de l’axiome A). L’ensembleFXeen fait un ultrafiltre surX.
A: eclair.
A: siA, B∈F alors (X∩A)∩(X∩B) =X∩(A∩B)∈FX.
A: siA∈FXetA⊂B⊂Xalors commeA∈F on aB∈F et donc finalementB∈FX.
A: siA⊂Xet queA<FX alorsA<F et doncAc∈F . PuisqueX∈F , on aX∩Ac∈FX. Dans l’ensembleX, on aX∩Ac= (X∩A)c∈FX.
CommeXeinfini, il exie une partieA0⊂Xtelle que les partiesA0etX−A0soient infinies.
CommeFX eun ultrafiltre surX, l’une des deux partiesA0 ouX−A0 eun élément deFX, donc deF . Cette partieAvérifie bien queX∩Aceune partie infinie.
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Exemple de suite possédant une valeur d’adhérence qui n’elimite d’aucune sous-suite : On considère l’intervalleI= [0,1] et l’espace topologique produitE =IIqui correspond à l’ensemble {f : I −→ I} muni de la convergence simple (E e compa). On se donne un ultrafiltre non principalF sur l’ensembleNdes entiers naturels. Le cardinal deF ela puissance du continu (ceci eune conséquence de la théorie des ensembles) et l’on peut donc énumérerF ={Ax}x∈I.
On définit alors la suite (fn)nd’éléments deE de la manière suivantes : pourn≥0 etx∈[0,1], on pose :
fn(x) =
Ax(n)où
E désigne, pour tout ensemble E, la fonion caraériique deE. On considère aussi la fonionf ∈E conante égale à 1.f eune valeur d’adhérence de la suite (fn)n : il s’agit de montrer que pour tout voisinage U de f, il exie une sous-suite (fϕ(n))n telle quefϕ(n)∈U pour toutn. Eu égard à la définition de la topologie produit, on peut choisirUde la formeU=Ux1×· · ·×Uxk×I[0,1]−{x1,···,xk}oùx1,· · ·, xk∈[0,1]
désignekpoints diins et pour chaquei= 1,· · ·, k,Ui désigne un voisinage de 1 dans [0,1].
Le lemmemontre que la partieA=
\n
i=1
Axi einfinie, on peut donc l’énumérer en une suite riement croissante (ϕ(n))n. Pour touti= 1,· · ·, k, on a alorsfϕ(n)(xi) = 1 pour toutnet donc fϕ(n)∈U.
f n’elimite d’aucune sous-suite de (fn)n : il suffit de montrer que pour toute suiteriement croissante (ϕ(n))n il exie un réelxϕ∈[0,1] tel que la suite (fϕ(n)(xϕ))n ne vonverge pas vers 1.
On considère la partieX={ϕ(n)/ n∈N}qui evisiblement infinie. En utilisant alors le lemme 2, il exiexϕ∈[0,1] tel que la partieX∩Acxϕ soit infinie. On énumèreX∩Acxϕ en une suite (θn)n. La suite (fθ(n))n eune sous-suite de la suite (fϕ(n))n qui vérifiefθ(n)(xϕ) = 0 pour toutn. Ainsi, (fθ(n))net donc (fϕ(n))nne convergent pas versf.
