Lycée Desfontaines – MELLE 1/1
Qu
’est ce qu
’une suite géométrique ? Quelles sont ses propriétés ?
On appelle suite géométrique, toute suite
( )
un telle que ┐n, un+1=q×un avec q☻Ë.Le réel q est appelé raison de la suite
Comment montre-t-on qu’une suite est géométrique ? La méthode qu’on retiendra est la suivante :
On montre que un+1 peut s’écrire sous la forme q×un. Cette constante q est alors la raison de la suite.
D’autres méthodes sont possibles (voir fiche méthode : "comment montrer qu’une suite est géométrique ?")
Comment exprimer le terme général d’une suite géométrique en fonction de n ?
Soit
( )
un une suite de premier terme u0 et de raison r alors :┐n, un=u0×qn
┐nÃp, un=up×qn−p
Quelle est la limite d’une suite géométrique ?
• Si q>1 alors lim
n↔+õqn=+õ donc lim
n↔+õun=õ (le signe est donné par u0)
• Si q=1 alors
( )
un est constante. Sa limite est n’importe quel terme, u0 par exple• Si -1<q<1 alors lim
n↔+õqn=0 donc lim
n↔+õun=0
• Si q<-1 alors la suite
( )
qn diverge donc la suite( )
un divergeComment exprimer la somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique ?
• Cas général : o
∑
i=0 n
ui=u0+u1+…+un=u0×1−qn+1 1−q
o pour nÃp,
∑
i=p n
ui=up+up+1+…+un=up× 1−qn−p+1 1−q o Somme de termes consécutifs :
S=
(
1er terme)
×1−qnombre de termes1−q
• Cas particulier : Somme des n premiers nombres entiers naturels : 1+q+q2+…+qn=1−qn+1
1−q
