Lycée Paul Rey Denis Augier
Chapitre 10 : Logarithme népérien.
A Définition
On dit que la fonction exp est une bijection deRsurs0 ; `8r. Si ex“y, on dit quexest le logarithme népérien dey.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie sur s0;`8rqui, à tout réel xą0, associe le nombre noté lnpxqou lnxdont l’exponentielle vautx.
Définition 1
Pour la fonction exponentielle.
La fonction dérivée est @xPR, exp1pxq “exppxq. on a le tableau de variation :
x exp1pxq “exppxq
exp
´8 `8
`
0 0
`8
`8 0
1
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur R. D’après le TVI chaquey valeur de s0,`8radmet un unique antécédent que l’on notera lny :
exppxq “yôx“lny
On définit ainsi la fonction ln défini surs0,`8r. On a :
xÞÑ0lim`lnx“ ´8 et lim
xÞÑ`8lnx“ `8
En utilisant l’expression
f´1pfpxqq “xdonc ` f´1˘1
pfpxqq “ 1 f1pxq
On obtient ln1pXq “ 1
X en posantX “exPs0,`8r. La tableau de variation est :
x ln1pxq “ 1
x ln
0 `8
`
´8
`8
`8 1
0
x y
´5 ´4 ´3 ´2 ´1 1 2 3 4 5
e e
0
´5
´4
´3
´2
´1 1 2 3 4 5
6 y“exppxq
y“lnx y“x
Terminale spécialité. 2020-2021 1
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• @xP s0,`8r, elnx“x. • @xPR, lnpexq “x.
Proposition 1
Soientaetb deux réels des0,`8r.
• lna“lnbôa“b.
• lnaălnbôaăb.
• lnaă0ôaă1.
• lnaą0ôaą1.
Proposition 2
B Propriétés algébriques
Pourpx, yq P s0,`8r2 et, pournPZon a :
‚ lnpxyq “lnpxq `lnpyq ‚ ln´y x
¯
“lnpyq ´lnpxq ‚ lnpxnq “nlnpxq ‚ lnp? xq “ 1
2lnpxq Proposition 3
C Limites remarquables et croissance comparée.
Pour tout nombre réelαą0 : lim
xÑ`8
lnx
xα “0 et, lim
xÑ`8
ex
xα “ `8. En particulier : lim
xÞÑ`8
lnx x “0 Ordre de prépondérance en`8: " lnxăăxαăăex "
Pour toutαą0, lim
xÑ0 xαlnx“0 et lim
xÑ´8 xαex“0. En 0, on a l’ordre de prépondérance : "exăăxαăălnx"
En particulier, pourα“1, lim
xÑ0 xlnx“0 et lim
xÑ´8 xex“0.
Taux d’accroissement remarquable :
xÞÑ0lim
lnpx`1q
x “1 et lim
xÞÑ0
ex´1 x “1
(Ce sont les coefficients directeurs des tangentes respectivement en 1 et 0 des courbes représentatives des fonctions ln et exp. )
Proposition 4
D Dérivation
ln1pxq “ 1
x et pln˝uq1“u1 u Proposition 5
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