Lycée Paul Rey Denis Augier
Chapitre 11
Représentations paramétriques et équations cartésiennes.
Notation :Dans ce chapitre l’on noteraE l’espace rapporté au repère orthonormé´
O;~i,~j, ~k¯ .
I Représentations paramétriques de droites
A Caractérisation d’une droite.
On peut caractériser une droite :
• A partir d’un point et d’un vecteur directeur.
• A partir de deux points.
Proposition 1
B Déterminer une représentation paramétrique
SoientApxA, yA, zAqun point de l’espace etÝÑu
¨
˝ a b c
˛
‚un vecteur non nul de l’espace.
Si l’on considère la droiteD passant parA et de vecteur directeurÝÑu, alors :
Mpx, y, yq PDô DtPR, ÝÝÑ
AM “tÝÑu ô DtPR,
$
’&
’%
x “xA`at y “yA`bt z “zA`ct Définition-Proposition 2
Exemple de détermination d’une représentation paramétrique.
Vidéo 1
1 à 9 page 390
C Interpréter une représentation paramétrique
Soitpa, b, cq PR3 différent dep0,0,0qet pα, β, γq PR3, alors si l’on défini l’ensemble ∆ par :
∆“ tMpα`at;β`bt;γ`ctq PE, tPRu
Alors ∆ est la droite passant par le pointApα, β, γqet vecteur directeurÝÑu
¨
˝ a b c
˛
‚
Souvent ∆ est présenté comme étant l’ensemble des points Mpx, y, zq P E vérifiant la représentation paramé- trique :
DtPR,
$
’&
’%
x “xA`at y “yA`bt z “zA`ct Proposition 3
TS 1 2019-2020 1
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D Position relative de deux droites
Deux droites de l’espace peuvent être :
• soit coplanaires et alors :
˝ sécantes (et possiblement perpendiculaires)
˝ parallèles (et possiblement confondues)
• Soit non coplanaires (et possiblement orthogonale mais sans être sécante) Proposition 4
Ex 10 à 16 page 391
II Équations cartésiennes d’un plan
A Vecteur normal à un plan - Plans perpendiculaires
Dire qu’un vecteurÝÑn non nul estnormalà un planP signifie que toute droite de vecteur directeurÝÑn est orthogonale au planP.
Définition 1
Ý d Ñn
P
SoitAun point de l’espace etÝÑn un vecteur non nul.
L’ensemble des pointsM de l’espace tels queÝÝÑ
AM .ÝÑn “0 est le planP passant par Aet de vecteur normalÝÑn.
Proposition 5
SoitP etP1 deux plans de vecteurs normauxÝÑn etÝÑ n1.
Dire que les plansPetP1sontperpendiculairessignifie queÝÑn .ÝÑ n1 “0.
Définition 2 ÝÑn
P
Ý Ñn1
P1
Déterminer un vecteur normal à un plan : Exemple 1 et Exemple 2.
Vidéo 2
B Équations cartésiennes d’un plan
L’espace est muni d’un repère orthonormé. Soienta,betctrois réels non tous nuls. SoitP un plan de l’espace.
Le planPa pour vecteur normalÝÑn
¨
˝ a b c
˛
‚si et seulement siPadmet une équation de la formeax`by`cz`d“0, oùddésigne un nombre réel.
Proposition 6
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Exemple 1. Dans un repère orthonormé,P est le plan passant parAp1;´3; 2qet de vecteur normalÝÑnp´1; 1; 4q.
Déterminer une équation cartésienne de P.
Exemple 2. Dans un repère orthonormé,P etP1 sont les plans d’équations respectives : 2x`y`1“0 et ´1
2x`y`3
2z´4“0.
Les plans P etP1 sont-ils perpendiculaires ?
Déterminer une équation cartésienne de plan Vidéo 3
Exercices 17 à 26 page 292.
C Positions relatives d’une droite et d’un plan.
Soientdune droite de l’espace de vecteur directeurÝÑu et P un plan de l’espace de vecteur normalÝÑn. Alors
• SoitÝÑu etÝÑn sont orthogonaux et doncd{{P et alors :
˝ SoitdĂP
˝ SoitdXP“∅
• SoitÝÑu et ÝÑn sont non orthogonaux et doncdet P sont sécants. Dans ce cas, si ÝÑu etÝÑn sont colinéaires si et seulement sidetP sont perpendiculaires.
Proposition 7
Déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan et Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan Vidéo 4
Exercices 33 à 49 page 294
D Positions relatives de deux plans.
SoientP et P1 deux plans de l’espace de vecteur normal respectivementÝÑn et ÝÑ n1. Alors
• SoitÝÑn etÝÑ
n1 sont colinéaires et doncP {{P1 et alors :
˝ SoitP1“P
˝ SoitPXP1“∅
• SoitÝÑn etÝÑ
n1 sont non colinéaires et doncP etP1sont sécants etPXP1 est une droite. SiÝÑn etÝÑ n1 sont orthogonaux alors les plans P etP1 sont perpendiculaires.
Proposition 8
Déterminer l’intersection de deux plans
Démontrer que deux plans sont perpendiculaires Vidéo 5
Exercices 27 à 32 page 292
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