Résumé sur la dérivation.

Lycée Paul Rey Denis Augier

Résumé sur la dérivation.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

• Pour tout nombre réel aPI eth un réel non nul et tel que pa`hq PI, on appelle taux d’accroissement de la fonctionf en a, le nombre :

τaphq “ fpa`hq ´fpaq h

• On dit que la fonctionf estdérivable ena, lorsque le taux d’accroissement τ_aphq tend vers un nombre L lorsquehtend vers 0.

• Ce nombreL, lorsqu’il existe, est appelé le nombre dérivé de f en a, et est notéf¹paq :

f¹paq “ lim

hÑ0τaphq “ lim

hÑ0

fpa`hq ´fpaq

h “L

• Le nombre dérivé f¹paq, lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscissea.

Définition 1 (Nombre dérivé enad’une fonction)

Soit f une fonction définie sur un intervalleI et dérivable en tout point deI. Alors on note f¹ la fonction qui, à toutx de I associe le nombref¹pxq.

Définition 2 (Fonction dérivée)

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctionf Dérivée f¹ f est dérivable sur

k(constante) 0 R

x 1 R

x² 2x R

xⁿ (nPN) nx^n´1 R 1

x ´ 1

x² R^˚

1

xⁿ ´ n

x^n`1 R^˚

?x 1

2?

x R^˚`“s0;`8r

lnx 1

x R^˚`“s0;`8r

e^x e^x R

.

Opérations sur les dérivées

u et v désignent deux fonctions quelconques, définies et dé- rivables sur un intervalle I.

Fonction Dérivée ku,kPR ku¹

u`v u<sup>1</sup>`v¹ uv u¹v`uv¹

u v

u¹v´uv¹ v²

u² 2u¹u

1

u ´u¹

u² uⁿ (nPZ^˚) nu¹u^n´1

?u u¹

2? u upvpxqq v¹pxq ˆu¹pvpxqq

Soit uet v deux fonctions dérivablesR, etf “u˝v, c’est-à-dire, pour toutxPR,fpxq “upvpxqq. Alorsf est dérivable surRavec, f¹“v¹ˆu¹˝v, c’est-à-dire pour tout xPR,f¹pxq “v¹pxq ˆu¹pvpxqq.

Proposition 1(Dérivée d’une fonction composée)

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalleI, etaPI.

Alors, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentativeC_f def au point d’abscisseα est : y“f¹paqpx´aq `fpaq .

Proposition 2(Équation de la tangente)

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Exemple 1. Soitfpxq “?

x²`1. Alorsf “u˝v, avec upxq “?

x etvpxq “x²`1.

On a alorsf¹pxq “v¹pxq ˆu¹pvpxqq “2x 1 2?

x²`1 “ x

?x²`1.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si pour toutxPI,f¹pxq ą0, alorsf est strictement croissante surI.

• Si pour toutxPI,f¹pxq ă0, alorsf est strictement décroissante sur I.

• Si pour toutxPI,f¹pxq “0, alorsf est constante surI. Proposition 3(Sens de variation d’une fonction)

Exercice 1. Soit f une fonction définie et dérivable surr´2; 5set dont le tableau de variation est le suivant :

x ´2 1 4 5

4 10

f

Õ Œ Õ

1 -3

Déterminer le nombre de solutions, et l’intervalle où elles se situent, de l’équation a)fpxq “0 b) fpxq “2 c)fpxq “ ´5

Exercice 2. f est la fonction définie sur Rpar fpxq “4x²´6x`2.

Montrer que la courbeC_f représentative def est toujours au-dessus de n’importe laquelle de ses tangentes.

Exercice 3. Déterminer la fonction dérivéef¹ de la fonctionf dans chacun des cas : a)fpxq “3 b) fpxq “3x c)fpxq “ 5

2x d) fpxq “x² e)fpxq “x⁷ f)fpxq “2x³ g)fpxq “3x`2 h) fpxq “x` 1

x i)fpxq “ ´x²`x´7

2 j) fpxq “ 2x

x`1 k)fpxq “ ´x<sup>2</sup>´x`1

x`1 l) fpxq “ 4 x m)fpxq “ 1

x⁴ n) fpxq “2x⁵`?

x o)fpxq “ p3x`2qx<sup>2</sup> p) fpxq “ p´2x`1qpx`1q Exercice 4. Dresser le tableau de variation des fonctions suivantes :

q)fpxq “2x²`4x´3 r)fpxq “2x<sup>3</sup>`3x²´36x`4 s)fpxq “ ´2x`1

x`1 t)fpxq “ 3

x`3´ 2 x`2 Exercice 5. f est la fonction définie par l’expression fpxq “ 1

´2x²`4x´3.

1. On définit la fonction g surRpar l’expressiongpxq “ ´2x²`4x´3. Étudier les variations deg.

2. En déduire les variations de f puis le minimum de f sur R.

Exercice 6. Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente àC_f au pointadonné : a) fpxq “3x²`5x´2 et a“ ´2 b) fpxq “ 1

2p´3`x`x²q eta“4. c) fpxq “ p2x`1q² et a“0.

Exercice 7. f est la fonction définie sur Rparfpxq “ ´2x²`4x, etC_f est sa courbe représentative.

1. Donner une équation de la tangente T à C_f au pointA d’abscisse 3.

2. a) Etudier le signe de fpxq ´ p´8x`18q.

b) En déduire la position relative deC_f par rapport àT.

Exercice 8. 1. Soit f une fonction définie et dérivable surRetC_f sa courbe représentative.

Montrer que la tangente à C_f au point Ad’abscisse apasse par l’origine du repère si et seulement sifpaq “af¹paq.

2. Soit f définie surR parfpxq “2x²´3x`1.

Quels sont les points de C_f en lesquels la tangente passe par l’origine.

Exercice 9. Soit f la fonction définie sur r´10; 10sparfpxq “ ´x³`6x²´10.

Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux def.

Exercice 10. Soit la fonctionf définie surRparfpxq “ax²`bx`c,a­“0.

Déterminer les coordonnées de l’extremum def. Est-ce un minimum ou un maximum ?

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