Résumé du chapitre 5 sur la dérivation.

Résumé du chapitre 5 sur la dérivation.

I Dérivation des polynômes du second degré.

A Fonction dérivée d’une fonction du second degré.

Pour déterminer la fonction dérivée.

Soitf une fonction polynôme du second degré définie par :

fpxq “3x²´2x`6 . On "transforme" :

• x² en 2x • x en 1 • "6" en 0.

On obtient donc :

f¹pxq “3ˆ2x´2ˆ1`0 loomo“on

simplif ication

6x´2 Méthode-exemple 1

B Tableau de variation d’une fonction polynôme du second degré.

Soit une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle I.

• Si f¹pxq ě0, alors f est croissante. • Sif¹pxq ď0, alors f est décroissante.

Proposition 1

Pour dresser un tableau de variation.

Soitf une fonction polynôme du second degré définie surr0,3spar :

fpxq “3x²´2x`6 donc f¹pxq “6x´2

1^ièreétape : On cherche la valeur oùf¹ s’annule

6x´2“0loomoôon

`2

6x“2loomoôon

{6

x“ 2 6 “ 1

3

2^ième étape : On étudie le signe de f¹.

Icia “6 ą 0 donc dans le tableau pour le signe de f¹, on "mettra" un "`" à "droite".

3^ième étape : On dresse le tableau de variation de la fonction f :

x f¹pxq

fpxq

1 3

´ 0 `

6 6

17 3 17

3

27 27

4^ième étape : On détermine les valeurs aux ex- trémités :

f ˆ1

3

˙

“3ˆ ˆ1

3

˙₂

´2ˆ 1

3`6“ 17 3 fp0q “6 enf in fp3q “27

On peut ainsi finir de compléter le tableau précédent.

Méthode-exemple 2

1

C Équation de la tangente.

Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, et aPI.

Alors, l’équation réduite de la tangente à la courbe représentativeC_f de f au point d’abscisseaest : y“f¹paqpx´aq `fpaq .

Proposition 2

Détermination de la tangente à une courbe par le calcul.

Pour déterminer l’équation de la tangente en 1 de la représentation graphique de la fonction définie surR par :

fpxq “3x²´2x`6

1^ière étape :On détermine la fonction dérivée : f¹pxq “6x´2

2^ième étape :On détermine les valeurs :

fp1q “3ˆ1²´2ˆ1`6“7 et f¹p1q “6ˆ1´2“4 3^ième On applique la formule précédente :

T₁ :y“f¹p1qpx´1q `fp1q “4px´1q `7“4x`3 On peut vérifier que l’on obtient bien l’équation trouvé graphiquement précédemment.

Méthode-exemple 3

II Dérivation des polynômes du troisième degré.

A Fonction dérivée d’une fonction polynôme de degré 3.

Pour déterminer la fonction dérivée.

Soitf une fonction polynôme du troisième degré dé- finie par :

fpxq “5x³´6x²´3x`4

. On "transforme" :

• x³ en 3x²

• x² en 2x

• x en 1

• "4" en "0".

On obtient donc :f¹pxq “5ˆ3x²´6ˆ2x´3ˆ1`0 loomo“on

simplif ication

15x²´12x´3 Méthode-exemple 4

B Équation de la tangente.

Détermination de la tangente à une courbe par le calcul.

Pour déterminer l’équation de la tangente en´1 de la représentation graphique de la fonction définie par :

fpxq “5x³´6x²´3x`4et f¹pxq “15x²´12x´3

On détermine les valeurs :

fp´1q “5ˆ p´1q³´6ˆ p´1q²´3ˆ p´1q `4“ ´4 f¹p´1q “15ˆ p´1q²´12ˆ p´1q ´3“24 Puis l’on applique la formule précédente :

y “f¹p´1qpx`1q `fp´1q “24px`1q ´4“24x`20 Méthode-exemple 5

2

C Tableau de variation d’une fonction polynôme de dregé 3.

Pour dresser le tableau de variation def : Soitf une fonction polynôme du troisième degré dé- finie surr´1,2spar :

fpxq “5x³´6x²´3x`4 Alors, au vu du calcul précédent :

f¹pxq “15x²´12x´3

On doit maintenant déterminer le signe de la fonction dérivée qui précède. Or cette fonction est du second degré. Donc :

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“ p´12q²´4ˆ15ˆ p´3q “324ą0 2^ième étape : Si f¹ possède des racines (discri- minant positif)

x₁“ ´b´?

∆

2a “ ´p´12q ´? 324

2ˆ15 “ ´0,2 x₁“ ´b`?

∆

2a “ ´p´12q `? 324 2ˆ15 “1 f¹ est du signe dea“15ą0 à l’extérieur des racines.

3^ième étape : On dresse le tableau de la fonction f :

x f¹pxq

fpxq

´1 ´0.2 1 2

` 0 ´ 0 `

´4

´4

3.36 3.36

0 0

14 14

4^ième étape : On détermine les valeurs remarquables : "extrémités des flèches"

Ici on calcul les images de -1, -0,2, 1 et 2 pour compléter le tableau. Par exemple pour calculer l’image de

´1 par f :

fp´1q “5ˆ p´1q³´6ˆ p´1q²´3ˆ p´1q `4“ ´4 De la même façon, on obtient :fp´0,2q “3,36 puisfp1q “0 et enfinfp2q “14.

Méthode-exemple 6

3

Pour dresser le tableau de variation deg : Soitg une fonction polynôme du troisième degré dé- finie surr´1,2spar :

gpxq “ ´x³`3x<sup>2</sup>´3x`4 On obtient

g¹pxq “ ´3x²`6x´3

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“6²´4ˆ p´3q ˆ p´3q “0 2^ième étape : Ici g¹ possède une racine double (discriminant nul)

x₀ “ ´b

2a “ ´6

2ˆ p´3q “1 f¹ est du signe dea“ ´3ă0.

3^ième étape : On dresse le tableau de variation de la fonction g :

x g¹pxq

gpxq

´1 1 2

´ 0 ´

11 11

2 2 3

4^ième étape : On détermine les valeurs remar- quables

Ici on calcul les images de -1, 1 et 2 pour complé- ter le tableau. On obtient : fp´1q “ 11,fp1q “3 et fp2q “2.

Méthode-exemple 7

Pour dresser le tableau de variation deh : Soith une fonction polynôme du troisième degré dé- finie surr´1,2spar :

hpxq “ ´x³`x<sup>2</sup>´3x`4 On obtient

h¹pxq “ ´3x²`2x´3

1^ière étape : On détermine le discriminant :

∆“b²´4ac“2²´4ˆ p´3q ˆ p´3q “ ´32 2^ième étape : Ici h¹ ne possède aucune racine (discriminant négatif) donc h¹ est du signe de a“ ´3ă0.

3^ième étape : On dresse le tableau de variation de la fonction h :

x h¹pxq

hpxq

´1 2

´ 9

9

-6 -6

4^ième étape : On détermine les valeurs remar- quables

Ici on calcul les images de -1 et 2 pour compléter le tableau. On obtient : fp´1q “9 etfp2q “ ´6.

Méthode-exemple 8

4