Résumé de cours sur le chapitre : « Comment étudier une fonction ?»

Résumé de cours sur le chapitre : « Comment étudier une fonction ?»

Dans tout ce chapitre, les lettres A, B, ... désignent des parties de R

I Généralités sur les fonctions

I.1 Vocabulaire

Soit f : A → B une fonction. Si x est un élément de A , le nombre f ( x ) est appelé l’image de x par f . On dit aussi que x est un antécédent de f ( x ) par f . Un élément y de B peut avoir plusieurs antécédents par f mais aussi aucun antécédent (par exemple si f est la fonction carrée x 7→ x ² , le nombre 9 admet deux antécédents 3 et − 3, mais le nombre − 1 n’admet pas d’antécédents par f ).

L’ensemble des images par f des éléments de A est noté f ( A ) = {f ( x ) | x ∈ A} (on l’appelle l’image de f ). L’image de f est incluse dans l’espace d’arrivée qui est B . On dit aussi que f est à valeurs dans B .

Attention, dire que f est à valeurs dans B ne signifie pas que son image vaut B tout entier.

Par exemple, on peut dire que la fonction f : x 7→ x ² + 1 définie sur R est à valeurs dans R, mais aussi dans R ⁺ car pour tout x ∈ R, x ² + 1 > 0. Mais son image n’est pas R ⁺ tout entier mais seulement [1+ , ∞ [.

I.2 Représentation graphique d’une fonction

Une fonction numérique peut être représentée graphiquement dans le plan muni d’un repère par une courbe C _f définie par :

M ( x, y ) ∈ C _f ⇔ y = f ( x ) .

A partir des courbes des fonctions usuelles, on peut parfois obtenir les courbes des «fonctions associées» :

Exemple : on pose f ( x ) = x ² , g ( x ) = x ² + 1 , h ( x ) = ( x − 3) ² , i ( x ) = −x ² , j ( x ) = 2 x ² . Comment obtenir les courbes des fonctions suivantes à partir de celle de f ?

I.3 Symétries : parité, périodicité, centre de symétrie

Définition 1 (Fonction périodique) Soit f : A → R et T > 0. On dit que f est T - périodique (ou que T est une période de f ) si :

∀x ∈ A, x + T ∈ A et f ( x + T ) = f ( x ) .

Exemple : un signal sinusoïdal de pulsation ω > 0 de la forme t 7→ A cos( ωt + φ ) a pour

(plus petite) période T = ^2π _ω .

Définition 2 (Fonction paire, impaire) Soit f : A → R. On dit que f est paire (resp.

impaire) si :

∀x ∈ A, −x ∈ A et ∀x ∈ A, f ( −x ) = f ( x ) (resp. f ( −x ) = −f ( x )) .

Remarque : si f est paire (resp. impaire), la courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (resp. l’origine du repère).

Exercice : Graphe et axe de symétrie de x 7→ ( x − 2) ³ + 1, puis de x 7→ ( x − 2)( x − 8).

Exercice : Graphe et centre de symétrie de la fonction homographique x 7→ ^2x+1 _x−3 = 2 + _x−3 ⁷ .

I.4 Une nouvelle opération sur les fonctions : la composée

Définition 3 Soit f : A → R et g : B → R telles que ∀x ∈ A, f ( x ) ∈ B , on définit la fonction g ◦ f : A → R par : g ◦ f ( x ) = g ( f ( x )). On dit que g ◦ f est la composée de f par g .

II Monotonie

Définition 4 (Monotonie) Soit f : A → R avec A une partie de R.

1. f est dite croissante sur A , si elle conserve l’ordre des éléments de A , c’est-à-dire si :

∀x, x ⁰ ∈ A, ( x 6 x ⁰ ⇒ f ( x ) 6 f ( x ⁰ )) .

2. f est dite décroissante sur A , si elle renverse l’ordre des éléments de A , c’est-à-dire si :

∀x, x ⁰ ∈ A, ( x 6 x ⁰ ⇒ f ( x ) > f ( x ⁰ )) . 3. f est dite strictement croissante sur A si :

∀x, x ⁰ ∈ A, ( x < x ⁰ ⇒ f ( x ) < f ( x ⁰ )) . 4. f est dite strictement décroissante sur A si :

∀x, x ⁰ ∈ A, ( x < x ⁰ ⇒ f ( x ) > f ( x ⁰ )) .

5. Une fonction est dite (resp. strictement) monotone si elle est (resp. strictement) crois- sante ou décroissante.

Exemples : la fonction inverse est décroissante sur ] − ∞ [ et sur ]0 , + ∞ [, mais ne l’est pas sur R ^∗ . La fonction partie entière est croissante sur R mais pas strictement décroissante.

Proposition 5 (Composée de fonctions monotones)

• La composée de deux fonctions (resp. strictement) monotones de même monotonie est

une fonction (resp. strictement) croissante.

• La composée de deux fonctions (resp. strictement) monotones de monotonie contraire est une fonction (resp. strictement) décroissante.

Exemples : monotonie des fonctions suivantes

1. x 7→ ^√ _e

¹ +3 2. x 7→ (e ^x − 3) ² 3. x 7→ sin ^{√ 1} _x sur [1 , + ∞ [.

Proposition 6 (Somme de fonctions croissantes) La somme de deux fonctions croissantes (resp. décroissantes) est une fonction croissante (resp. décroissante).

Ex : x 7→ _1+x ¹

+ e ^−x est décroissante sur R ⁺ .

III L’outil dérivation

III.1 Définition et interprétation géométrique

Définition 7 Soit f : A → R. On dit que f est dérivable en a ∈ A si lim x→a f (x)−f (a)

x−a existe et est finie, on note alors f ⁰ ( a ) cette limite. On dit que c’est le nombre dérivé de f en a .

Si f est dérivable en tout point de A , on note f ⁰ la fonction définie sur A qui à x associe le nombre dérivé f ⁰ ( x ).

Remarque : on utilise aussi f dérivable en a ssi lim h→0 f (a+h)−f(a)

h existe et est finie.

Exemples : la fonction carré, la fonction racine carrée (attention pas dérivable en 0) et une fonction affine par morceaux.

Remarque : on reconnaît souvent graphiquement un point de non dérivabilité par la présence d’un point dit anguleux.

Définition 8 (Notion de tangente en un point) Soit f une fonction dérivable en a . La tangente à la courbe de f au point d’abscisse a , est la droite passant par le point ( a, f ( a ) dont le coefficient directeur est f ⁰ ( a ). Elle a pour équation cartésienne y = f ⁰ ( a )( x − a ) + f ( a ).

Morale : localement, c’est-à-dire au voisinage de a , la courbe de f ressemble à sa tangente en a , cela se traduit par algébriquement par : pour x au voisinage de a , f ressemble la fonction affine représentée par la tangente.

Exercice : démontrer que sur R, la courbe de exp est au-dessus de sa tangente en 0. On retiendra ainsi l’inégalité

∀x ∈ R ⁺ , exp( x ) > x + 1 .

Exercice : On note C la courbe d’équation y = −x ⁴ + 2 x ² + x . La tangente en C au point

A ( − 1 , 0) est aussi tangente à C en un autre point.

III.2 Opérations sur les dérivées

Proposition 9 (Opérations sur les dérivées) Une combinaison linéaire, un produit et un quotient (le dénominateur ne s’annulant pas) de fonctions dérivables est encore une fonction dérivable. De plus si f et g sont dérivables, pour tout réel λ et µ , on a :

( λf + µg ) ⁰ = λf ⁰ + µg ⁰ ( f g ) ⁰ = f ⁰ g + f g ⁰

f g

! 0

= f ⁰ g − f g ⁰ g ²

Attention : la notation f ( x ) ⁰ est incorrecte, à ne pas confondre avec f ⁰ ( x ).

Proposition 10 (Théorème de dérivation des fonctions composées) : si f est dérivable sur I , g dérivable sur J et que pour tout x ∈ I, f ( x ) ∈ J , alors g ◦ f est dérivable sur I et

∀x ∈ I, ( g ◦ f ) ⁰ ( x ) = g ⁰ ( f ( x )) f ⁰ ( x ) . Exercice : calculer la dérivée des fonctions définies par :

1. f ( x ) = _x

_−5x ¹ 2. f ( x ) = _(x

_−5x) ¹

3. f ( x ) = √ 2 + e ^x 4. f ( x ) = cos (exp(2 x + 3)) 5. f ( x ) = (ln(3 x ² − 5)) ³

Exemples :

1. Ensemble de dérivabilité de f ( x ) = ^q x ³ ( x − 1).

2. La dérivée d’une fonction paire (resp. impaire) est une fonction impaire (resp. paire).

Résultat faux avec primitive.

Attention : pourquoi est-il incorrect de dire que «la fonction x 7→ √

x ² + 1 est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R» ?

III.3 Caractérisation de la monotonie pour les fonctions dérivables

Proposition 11 Soit f une fonction réelle dérivable sur un intervalle I . Alors :

• f est constante sur ssi f ⁰ est nulle.

• f est croissante ssi f ⁰ > 0.

• f est strictement croissante ssi ( f ⁰ > 0 et f ⁰ ne s’annule pas sur un intervalle ouvert) Remarques :

• si f ⁰ > 0 et f ⁰ ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors f ⁰ ne peut s’annuler sur un intervalle ouvert et donc f est strictement croissante. Par exemple, la fonction cube notée pour dérivée x 7→ 3 x ² qui est positive ou nulle sur R et qui ne s’annule qu’en 0.

Donc la fonction cube est strictement croissante sur R.

• Attention, le théorème principal est faux si I n’est pas un intervalle. Par exemple, la

fonction f définie sur R ^∗ par f ( x ) = 1 si x > 0 et f ( x ) = − 1 si x > 0 a une dérivée nulle

sur R ^∗ mais n’est pas une fonction constante.

III.4 Dérivée n-ième d’une fonction f , notée f ⁽ⁿ⁾

Définition 12 (Dérivée n-ième) C’est une définition récursive : soit n ∈ N ^∗ une fonction est dite n -fois dérivable si sa dérivée ( n − 1)-ième et dérivable et on pose alors f ⁽ⁿ⁾ = ( f ⁽ⁿ⁻¹⁾ ) ⁰ . On pose aussi par convention que f ⁽⁰⁾ = f . On note ∆ ⁿ ( I, R ) l’ensemble des fonctions f : I → R n -fois dérivables.

Exo : dérivée n -ième de f ( x ) = 5 x ³ − 3 x + 8, f ( x ) = ln( x + 1), f ( x ) = exp(3 x + 2).

Proposition 13 (Opérations sur les fonctions ∆ ⁿ ) Une combinaison linéaire, un produit, un quotient et une composée de fonctions n -fois dérivable est encore une fonction n -fois déri- vable.

Cas du produit, formule de Leibniz : soit f et g deux fonctions n -fois dérivables sur I , alors la fonction f g est n -fois dérivable et on a

( f g ) ⁽ⁿ⁾ = ^{X n}

k=0

n k

!

f ^(k) g ^(n−k) .

III.5 Convexité

Nous donnons la définition provisoire suivante de fonction convexe :

Définition 14 (Fonction convexe) Soit I in intervalle et f : I → R une fonction dérivable.

On dit que f est convexe (resp. concave) sur I si sa dérivée f ⁰ est croissante (resp. décroissante) sur I .

Proposition 15 Soit f : I → R une fonction convexe. La courbe de f est au-dessus de chacune de ses tangentes.

Ex : on retrouve ainsi les inégalités de «convexité» de exp et ln.

IV Comment préciser l’allure d’une courbe de fonction tendant vers l’infini ?

On considère une fonction f définie au voisinage de + ∞ . Si f admet une limite finie l , on dit que la courbe de f admet une asymptote (horizontale) d’équation y = l .

Supposons maintenant que f tend vers + ∞ . Peut-on préciser l’allure de la courbe ? Pour cela, on compare sa vitesse de divergence à celle de la fonction étalon x 7→ x . On cherche pour cela la limite l de ^{1 f (x)} _x :

• si l = + ∞ , on dit que f ( x ) est prépondérant devant x , (comme par exemple x ² ), alors la courbe de f a l’allure d’une branche parabolique d’axe vertical

1. Il n’est pas suffisant de chercher la limite de la différence. En effet, par exemple on note f et g les fonctions définies par f(x) = x

et g(x) = (x + 1)

. Leurs courbes sont deux paraboles qui se déduisent l’une de l’autre par une translation de vecteur − →

i . On a envie de dire qu’elles ont même comportement à l’infini, qu’elles sont

équivalentes. Pourtant g(x) − f (x) = 2x + 1 tend vers +∞, tandis que

tend vers 1.

• si l = 0, on dit que f ( x ) est négligeable devant x , (comme par exemple x ), alors la courbe de f a l’allure d’une branche parabolique d’axe horizontal

• si l ∈ R ^∗ , on dit que f ( x ) est équivalent à lx et on cherche alors à préciser l’allure en cherchant la limite de f ( x ) − lx pour une éventuelle asymptote oblique :

– si lim f ( x ) − lx = p ∈ R, alors la droite d’équation y = lx + p est asymptote à la courbe.

– si lim f ( x ) − lx = ∞ , on dit que la branche infinie est une branche parabolique d’axe parallèle à la droite d’équation y = lx .

Exemples : courbe de ln ( à l’aide de l’inégalité ln( x ) 6 2( √

x − 1) pour x > 1). et autres Remarque : une fraction rationnelle de degré 1 admet toujours une asymptote oblique que l’on peut obtenir rapidement par une division euclidienne. Exemples :

f ( x ) = _2x ^5x

_−4x ^−3x+2

₊₁ .

V Autour du théorème des valeurs intermédiaires

Définition 16 Une fonction f : A → R est dite continue en a ∈ A si lim ^x→a f ( x ) = f ( a ). Elle est dite continue sur A si elle est continue en chaque point de A .

Exemple : la fonction partie entière est continue sur R \ Z et discontinue en chaque entier.

Proposition 17 Si f est dérivable en a alors f est continue en a .

Remarque : la réciproque est fausse (CEX : valeur absolue ou racine carrée en 0).

Théorème 18 (des valeurs intermédiaires (TVI)) : Si f : [ a, b ] → R est continue, alors toute valeur m comprise entre f ( a ) et f ( b ) est atteinte par la fonction f . Cela revient à dire que si m est un réel compris entre f ( a ) et f ( b ), alors l’équation f ( x ) = m admet au moins une solution dans [ a, b ].

Remarques :

• attention, l’image du segment [ a, b ] n’est pas forcément égale au segment [ f ( a ) , f ( b )] ou [ f ( b ) , f ( a )]. C’est vrai lorsque f est monotone.

• si f est de plus strictement monotone , alors cette solution (ou cet antécédent) est unique car f ne peut prendre deux fois la même valeur.

• on utilise souvent le TVI sous la forme suivante : une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s’y annule.

Exercice : démontrer que l’inverse de exp admet un unique point fixe dans R

Exercice : démontrer que l’équation x ln x = 1 possède une unique solution sur ]0 , + ∞ [.

-5

-5 -4.5-4.5 -4-4 -3.5-3.5 -3-3 -2.5-2.5 -2-2 -1.5-1.5 -1-1 -0.5-0.5 0.50.5 11 1.51.5 22 2.52.5 33 3.53.5 44 4.54.5 55 5.55.5 66 6.56.5 77 7.57.5 88 8.58.5 99 9.59.5 1010

-2 -2 -1.5 -1.5 -1 -1 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 2 2 2.5 2.5 3 3 3.5 3.5 4 4 4.5 4.5 5 5 5.5 5.5

0 0

Figure 1 – Courbe de exp et ln

VI Quelques fonctions usuelles

VI.1 Les fonctions polynomiales et fonctions rationnelles

Définition 19 (Notion de fonction polynomiale et de fractions rationnelles) Une fonc- tion P : R → R est dite polynomiale si c’est une combinaison linéaire de puissances entières de x , c’est-à-dire s’il existe des réels a ₀ , a ₁ , . . . , a _n tels que :

∀x ∈ R , P ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + . . . + a _n x ⁿ . Une fraction rationnelle est un quotient de fonctions polynomiales.

Proposition 20 Une fonction polynomiale (resp. une fraction rationnelle) est indéfiniment dérivable sur R (resp. sur son ensemble de définition).

VI.2 Les deux célèbres fonctions réciproques : ln et exp

On vérifie qu’on sait tracer leurs courbes et les branches infinies,

En particulier, on a des inégalités classiques de «convexité» à savoir interpréter graphique- ment en terme de position de courbe par rapport à une tangente :

∀x > 0 , ln( x ) 6 x − 1 et ∀x ∈ R , e ^x > x + 1 .

Proposition 21 (Propriétés algébriques) Les logarithmes transforment les produits en sommes.

∀x, y > 0 , ln( xy ) = ln x + ln y, ln 1

x = − ln x et ln x

y = ln x − ln y

Les exponentielles transforment les sommes en produit.

∀x, y ∈ R , exp( x + y ) = exp( x ) exp( y ) , exp( −x ) = 1

exp( x ) et exp( x − y ) = exp( x ) exp( y )

VI.3 Une généralisation des fonctions puissances

Définition 22 (Puissance alpha) Si α est un réel (pas forcément un entier), on définit le nombre x ^α pour x ∈ ]0 , + ∞ [ par :

x ^α = exp( α ln x ) . Remarques :

• cette définition généralise celle où α est un entier : x ^α = x × · · · × x . Les propriétés algébriques sont les mêmes.

• ∀x ∈ R, exp( x ) est égal à e puissance x .

Proposition 23 (Règles de calcul) Pour x, y > 0 et α, β ∈ R, on a : ( xy ) ^α = x ^α y ^α , x ^α x ^β = x ^α+β , ( x ^α ) ^β = x ^αβ , x ^α

x ^β = x ^α−β , ln( x ^α ) = α ln x.

Remarques :

• si x > 0, ( x ^1/2 ) ² = x et x ^1/2 > 0 donc x ^1/2 = √ x .

• nous verrons dans le chapitre suivant, que lorsque n est un entier impair, on peut prolonger à R tout entier les fonctions x 7→ x

.

Exercice : résoudre l’inéquation 9 ^x − 3 ^x − 2 > 0.

Proposition 24 (Étude des fonctions puissances) Soit α ∈ R et f définie sur ]0 , + ∞ [ par f ( x ) = x ^α . La fonction f est dérivable sur ]0 , + ∞ [ et on a ^dx _dx

= αx ^α−1 .

Si α > 0, on peut prolonger f par continuité en 0 en posant f (0) = 0.

Les limites et variations de f sont résumés par le graphique suivant.

Exercice : ensemble de définition et dérivée de x 7→ _x ^{1 x}

2

.

Proposition 25 (Croissances comparées) La fonction exp est donc prépondérante par rap- port aux fonctions puissances qui sont elles-mêmes prépondérantes par rapport à ln, que l’on note : ln x << x ^α << exp( x ), c’est-à-dire : Pour α > 0, on a

x→+∞ lim ln x

x ^α = 0 et lim _x→0 x ^α ln x = 0

x→+∞ lim e ^x

x ^α = + ∞ et _x→+∞ lim x ^α e ^−x = 0

Exercice modèle : étude de x 7→ x ^x

Figure 2 – Courbe des fonctions puissances alpha

VI.4 Fonctions hyperboliques

Définition-Proposition 26 (Fonctions sinus et cosinus hyperboliques) On pose ∀x ∈ R , ch x = ^e

^+e ₂

et sh x = ^e

^−e ₂

. Les fonctions ch et sh sont appelées cosinus et sinus hyperboliques.

Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R et on a ch ⁰ = sh et sh ⁰ = ch.

La fonction sh est croissante sur R, la fonction ch est croissante sur R ⁺ et décroissante sur R ⁻ .

On a la relation suivante de trigonométrie hyperbolique : ∀t ∈ R , ch ² t − sh ² t = 1.

-13

-13 -12-12 -11-11 -10-10 -9-9 -8-8 -7-7 -6-6 -5-5 -4-4 -3-3 -2-2 -1-1 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212

-6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

0 0 ff

p p q

q

Figure 3 – Courbes de ch et sh

La relation ch t − sh t = 1 s’interprète graphiquement : le point de coordonnées (ch t, sh t ) est sur l’hyperbole d’équation x ² − y ² = 1.

Définition-Proposition 27 (Fonction tangente hyperbolique) On pose pour x ∈ R , th( x ) =

sh x ch x .

La fonction th appelée tangente hyperbolique est dérivable sur R et ∀x ∈ R , th ⁰ ( x ) = _ch ¹

_x = 1 − th ² x .

La fonction th «réalise une bijection» de R sur ] − 1 , 1[.

Remarque : les fonctions hyperboliques réciproques ne sont plus au programme . On

peut néanmoins les aborder en exercice. th( x ) = 12