Dérivation Chapitre 5 M. Delfour

(1)

Dérivation

Chapitre 5

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistique Université de Montréal

11 novembre 2009

M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 5. Dérivation 11 novembre 2009 1 / 119

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Plan

1 Fonctions différentiables ou dérivables

2 Opérations sur les fonctions dérivables

3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat

4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy

5 Règle de l’Hôpital

6 Formule de Taylor

7 Extrema d’une fonction

8 Méthode de Newton

9 Références

(3)

Dérivées

Le calcul différentiel et la notion de dérivée

Lecalcul différentiela été créé auXVIIe siècle.

La première idée du calcul différentiel et de larègle pour le calcul des extrema¹ remontent àPierre Fermat²(1637).

La notion dedérivéea vu le jour dans les écrits deLeibniz³(1684⁴) et deNewton⁵ (1691) qui la nommefluxionet qui la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

La condition obtenue par Fermat pour l’extremum d’une fonction algébrique est donc en même temps généralisée par Leibniz sous la forme f^′(x) =0 en 1684.

Cette condition est utilisée en 1691 dans la démonstration duThéorème de Rolle⁶ qui mène et à larègle de L’Hôpitalen 1696⁷.

1.Methodus ad disquirendam Maximam et Minimam, 1637.

2. Pierre Fermat, 17 août 1601 (Beaumont-de-Lomagne, France) - 12 janvier 1665.

3. Gottfried Wilhelm Leibniz, 1 juillet 1646 (Leipzig, Allemagne) - 14 novembre 1716.

4.Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus(Une nouvelle méthode pour les maxima et minima ainsi que les tangentes, qui ne sont limités à des expressions ni fractionnaires ni irrationnelles, et un type remarquable de calcul pour celles-ci), dansActa Eruditorum, 1684, un journal fondé à Leipzig deux ans plus tôt.

5. Sir Isaac Newton, 4 janvier 1643 (Woolsthorpe-by-Colsterworth, Angleterre) - 31 mars 1728.

6. Michel Rolle, 21 avril 1652 (Ambert, France)- 8 novembre 1719 (Paris).

7. Guillaume François Antoine de l’Hôpital (1661-1704)

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Dérivées

Gottfried Wilhelm von Leibniz

FIGURE:Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

est un philosophe, scientifique, mathématicien, diplomate, bibliothécaire et homme de loi allemand qui a écrit en latin, français et allemand.

ll est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique. Il y reste jusqu’en 1676 et y rencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il se consacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur laquadrature arithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera lecalcul infinitésimal. Il conçoit en 1673 unemachine à calculerqui permet d’effectuer les quatre opérations, et qui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar, Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’Isaac Newton, jetant, tous les deux, les bases ducalcul intégral et différentielen 1684 (Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec

irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus).

◮Pascaline : Blaise Pascal (1623-1662).

(5)

Dérivées

Sir Isaac Newton

FIGURE:Sir Isaac Newton (1643-1727)

Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais. Figure emblématique des sciences, il est surtout reconnu pour sathéorie de la gravitation universelleet, en mathématiques, la création, en concurrence avec Leibniz, ducalcul infinitésimalen 1691 (Leibniz, 1684). Il nommefluxionce qui deviendra la notion de dérivée et la définit comme « le quotient ultime de deux accroissements évanescents ».

Il est aussi connu pour la généralisation duthéorème du binômeet l’invention dite de laméthode de Newtonpermettant de trouver des approximations d’un zéro (ou racine) d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles.

(6)

Dérivées

Fonctions différentiables ou dérivables

La notion intuitive de dérivée est celle de droite tangente à une courbe régulière en un point donné. Comme il faut approcher ce point, elle n’a de sens qu’en un point d’accumulation du domaine de définition de la fonction et fait appel à la notion de limite du chapitre précédent.

Définition (Notion classique)

Soient f :D→Rune fonction et x0∈int D unpoint intérieur. La fonction f estdérivable au point x0si la limite duquotient différentiel

xlim→x₀

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

On l’appelledérivéeet on la notera par f^′(x0), d

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

Lorsquex0∈int D, il existe un voisinageV(x0, ε)de x0contenu dans D et la dérivée ne dépend que du point x0et de f ,mais pas du domaine D. SiD= [a,b], on parle de dérivée aux points de(a,b)en excluant les bordsaetbqui ne peuvent être approchés qu’en venant de la droite ou de la gauche.

(7)

Dérivées

Définition (Notion classique)

Soit f:D→Rune fonction et x0∈int D unpoint intérieur. La fonction f estdérivable au point x0si la limite duquotient différentiel

xlim→x₀

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

Exemple

La fonction x7→x:R→Rest différentiable et f^′(x) =1. La fonction

x7→1/x:R\{0} →Rest différentiable et f^′(x) =−1/x².La fonction x7→ |x|:R→R est différentiable sauf en 0 et f^′(x) =−1, si x<0 et+1 si x >0. En effet, les suites {1/n}et{−1/n}tendent toutes deux vers 0, mais les quotients différentiels (1/n−0)/(1/n−0) =1 et(−1/n−0)/(1/n−0) =−1 ne convergent pas vers la même limite.

(8)

Dérivées

Bien que ce ne soit pas une notion vraiment naturelle pour lecalcul différentiel, Labelle et Mercier introduisent une généralisation de la notion de dérivées des points intérieurs aux points d’accumulation.

Il faut se souvenir queint D⊂D^′

∀x0∈int D, ∃δ0>0 tel que V(x0, δ0)⊂D

∀δ >0,V^′(x0, δ)∩D⊃V^′(x0,min{δ, δ0})6=∅.

CommeD⊂D=int D∪∂D, en généralisant à des points de D∩D^′, on incluera des points frontières, c’est-à-dire les points deD∩∂D.

Définition (Labelle et Mercier, p. 126)

Soit f:D→Rune fonction et x0∈D∩D^′unpoint d’accumulation. La fonction f est dérivableau point x0si la limite

xlim→x₀ x∈D

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

(9)

Dérivées

xlim→x₀ x∈D

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

Lorsque x0n’est pas un point intérieur, alors c’est unpoint frontière. Pour l’exemple D= [a,b], les dérivées en∂D={a,b}correspondront à ce que l’on appelle plutôt la dérivée à droitef^′(a⁺)et ladérivée à gauchef^′(b⁻):

f^′(a⁺) = lim

x→a⁺

f(x)−f(a) x−a f^′(b⁻) = lim

x→b⁻

f(x)−f(b) x−b .

Ici, le domaine D= [a,b]ne permet d’approcher a ou b que d’un côté.

(10)

Dérivées

xlim→x₀ x∈D

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

Cette définition peut aussi être utilisée pour des fonctions définies sur des domaines du typeD={1/n:∀n∈N} ∪ {0}, où 0 est le seul point d’accumulation et toutes les suites qui convergent vers 0 sont des sous-suites de{1/n}. Par exemple,

x7→x²:D→R, dont la dérivée en 0 est f^′(0) = lim

n→∞

(1/n)²−0² 1/n−0 = lim

n→∞1/n=0.

(11)

Dérivées

xlim→x₀ x∈D

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas de la continuité.

Théorème

•Soit f :D→Rune fonction et x0∈D∩D^′unpoint d’accumulation.

f estdérivableau point x0

⇐⇒

∃L∈R,∀{xn} ⊂D tel que xn6=x0et xn→x0, lim

n→∞

f(xn)−f(x0) xn−x0

=L.

(12)

Dérivées

lim

x→x₀ x∈D

f(x)−f(x0) x−x0

existe.

dxf(x)

˛˛

x=x0

ou df dx(x0).

En invoquant la caractérisation de la limite par les suites, on a comme dans le cas de la continuité.

Théorème

◮f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0.

(13)

Dérivées

Théorème

◮f dérivable en x0 ⇒ f continue en x0. Démonstration.

Pour tout x∈D, x6=x0,

f(x)−f(x0) = f(x)−f(x0) x−x0

(x−x0)

=

»f(x)−f(x0)

x−x0 −f^′(x0) –

(x−x0) +f^′(x0) (x−x0)

⇒ |f(x)−f(x0)| ≤

„˛˛

˛˛

f(x)−f(x0)

x−x0 −f^′(x0)

˛˛

˛˛+|f^′(x0)|

«

|x−x0|.

Pour toutε >0, il existeδ, 0< δ≤ε/(ε+|f^′(x0)|), tel que

∀x∈D,0<|x−x0|< δ,

»f(x)−f(x0)

x−x0 −f^′(x0) –

< ε

⇒ |f(x)−f(x0)|<`

ε+|f^′(x0)|´ δ< ε et f est continue en x0.

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Plan

1 Fonctions différentiables ou dérivables

2 Opérations sur les fonctions dérivables

3 Extrema d’une fonction - la règle de Fermat

4 Théorèmes de Rolle et de la moyenne, formule de Cauchy

5 Règle de l’Hôpital

6 Formule de Taylor

7 Extrema d’une fonction

8 Méthode de Newton

9 Références

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Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables

On retrouve les 4 opérations de base.

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d’accumulationx0∈D∩D^′. (i) f+g est dérivable en x0et(f+g)^′(x0) =f^′(x0) +g^′(x0).

(ii) f g est dérivable en x0et(f g)^′(x0) =f^′(x0)g(x0) +f(x0)g^′(x0).

(iii) Si, pour tout x ∈D, g(x)6=0, f/g est dérivable en x0et

„f g

«′

(x0) = f^′(x0)g(x0)−f(x0)g^′(x0) g(x0)²

Théorème

•f :Df →Ret g:Dg→Rtel quef(Df)⊂Dg.

•f dérivableenx0et gdérivableenf(x0).

◮Lacompositiong◦f de f et g,(g◦f)(x)^déf=g(f(x)) :Df →Restdérivableen x0et (g◦f)^′(x0) =g^′(f(x0))f^′(x0).

(16)

Dérivées

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d’accumulationx0∈D∩D^′. (i) f+g est dérivable en x0et(f+g)^′(x0) =f^′(x0) +g^′(x0).

(ii) f g est dérivable en x0et(f g)^′(x0) =f^′(x0)g(x0) +f(x0)g^′(x0).

(iii) Si, pour tout x ∈D, g(x)6=0, f/g est dérivable en x0et

„f g

«′

(x0) = f^′(x0)g(x0)−f(x0)g^′(x0) g(x0)²

Démonstration.

On passe par les suites.(i)est évident. On démontre(ii)et on laisse(iii)comme exercice.

(17)

Dérivées

Théorème

•Soit f,g:D→Rdeux fonctionsdérivablesen unpoint d’accumulationx0∈D∩D^′. (ii) f g est dérivable en x0et(f g)^′(x0) =f^′(x0)g(x0) +f(x0)g^′(x0).

Démonstration.

(ii)On passe par les suites : f est dérivable au point x0si et seulement si

∃L∈R,∀{xn} ⊂D tel que xn6=x0et xn→x0, lim

n→∞

f(xn)−f(x0) xn−x0

=L.

On a le quotient différentiel (f g)(xn)−(f g)(x0)

xn−x0

=f(xn)g(xn)−f(x0)g(x0) xn−x0

=f(xn)g(xn)−g(x0) xn−x0

+g(x0)f(xn)−f(x0) xn−x0

Par dérivabilité, les quotients différentiels convergent vers f^′(x0)et g^′(x0)et, par continuité, f(xn)→f(x0).

(18)

Dérivées

Exemple

On a vu que pour f(x) =x, f^′(x) =1. Par application directe de la partie (ii)du théorème

x²=f(x)f(x), ⇒ d

dxx²=f^′(x)f(x) +f(x)f^′(x) =2x. Par induction, on suppose que

d

dxxⁿ=nxⁿ⁻¹

d’où

xⁿ⁺¹=x xⁿ ⇒ d

dxxⁿ⁺¹=1 xⁿ+xd

dxxⁿ=xⁿ+x nxⁿ⁻¹= (n+1)xⁿ.

◮Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivée d’un polynôme d’ordre n

p(x)^déf=anxⁿ+· · ·+a1x+a0, p^′(x) =n anxⁿ⁻¹+· · ·+a1.

◮On peut, bien sûr, continuer à dériver...

(19)

Dérivées

Exemple

On a vu que pour f(x) =x, f^′(x) =1. Par application directe de la partie (ii)du théorème

x²=f(x)f(x), ⇒ d

dxx²=f^′(x)f(x) +f(x)f^′(x) =2x. Par induction, on suppose que

d

dxxⁿ=nxⁿ⁻¹

d’où

xⁿ⁺¹=x xⁿ ⇒ d

dxxⁿ⁺¹=1 xⁿ+xd

dxxⁿ=xⁿ+x nxⁿ⁻¹= (n+1)xⁿ.

◮Toujours en utilisant les règles d’opération sur les fonctions dérivables, la dérivée d’un polynôme d’ordre n

(20)

Dérivées

Exemple (polynômes)

Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’un polynôme d’ordre n

p⁽²⁾(x)^déf= d dx

„d dxp(x)

«

et p^(k+1)(x)^déf= d dx

„d^k dx^kp(x)

« .

On obtient ainsien adoptant la convention 0! =1 p^(k)(x) = n!

(n−k)!anxⁿ⁻^k + (n−1)!

(n−k−1)!an−1xⁿ⁻^k⁻¹+· · ·+k!

0!ak,

⇒ p^(k)(0)= k!

0!ak=k!ak ⇒ p(x) = Xn

k=0

1

k!p^(k⁾(0)x^k, en posant par conventionp⁽⁰⁾(x) =p(x).

(21)

Dérivées

Exemple (polynômes)

Toujours en utilisant les règles d’opérations sur les fonctions dérivables, la dérivée d’un polynôme d’ordre n

p⁽²⁾(x)^déf= d dx

„d dxp(x)

«

et p^(k+1)(x)^déf= d dx

„d^k dx^kp(x)

« .

On obtient ainsien adoptant la convention 0! =1 p^(k)(x) = n!

(n−k)!anxⁿ⁻^k + (n−1)!

(n−k−1)!an−1xⁿ⁻^k⁻¹+· · ·+k!

0!ak,

⇒ p^(k)(0)= k!

0!ak=k!ak ⇒ p(x) = Xn

k=0

1

k!p^(k⁾(0)x^k, en posant par conventionp⁽⁰⁾(x) =p(x).

(22)

Dérivées

Paramétrisation des polynômes

La formule

p(x) = Xn

k=0

1

k!p^(k)(0)x^k

est uneparamétrisationdes polynômes d’ordre k en terme de p et de ses dérivées en 0. Cependant, il y en a d’autres. Par exemple, les polynômes d’ordre un peuvent s’écrire en terme de leurs valeurs aux points0et1

p(x) =p(0)(1−x) +p(1)x,

où(1−x)etxsont lespolynômes de baseen0et1. De façon générale, un polynôme d’ordre k peut être paramétrisé à l’aide de ses valeurs en k+1 points distincts.

(23)

Dérivées

Théorème

•f :D_f →Ret g:Dg→Rtelles quef(Df)⊂Dg.

◮Lacompositiong◦f de f et g,(g◦f)(x)^déf=g(f(x)) :D_f →Restdérivableen x0et (g◦f)^′(x0) =g^′(f(x0))f^′(x0).

Démonstration.

Soit une suite{xn} ⊂D, xn6=x0, qui converge vers x0. On a le quotient (g◦f)(xn)−(g◦f)(x0)

xn−x0

=g(f(xn))−g(f(x0)) xn−x0

Si f(xn)6=f(x0), → =

„g(f(xn))−g(f(x0)) f(xn)−f(x0)

« „f(xn)−f(x0) xn−x0

«

Si f(xn) =f(x0), → =0=g^′(f(x0))

„f(xn)−f(x0) xn−x0

«

Par dérivabilité,le quotient différentiel de ftend versf^′(x0)et la suite {f(xn)} tend vers f(x0).Il reste l’autre terme qui doit tendre vers g^′(f(x0)).

(24)

Dérivées

Démonstration (suite).

On voudrait donc que la suite suivante tende vers g^′(f(x0))

sn déf=

8

<

:

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) , si f(xn)6=f(x0)et xn6=x0

g^′(f(x0)), si f(xn) =f(x0)et xn6=x0

9

=

; .

Soit I⁺={n∈N:f(xn)6=f(x0)}. Il y a deux cas : ou bienI⁺est finiet la suite est constante et égale à g^′(f(x0))à partir d’un certain rang ;ou bien I⁺est infini. Dansce dernier cas, comme g^′(f(x0))existe,

∀{yn} ⊂Dg,yn6=f(x0),yn→f(x0), lim

n→∞

g(yn)−g(f(x0))

yn−f(x0) =g^′(f(x0)) et nécessairement, pour la suite convergente{f(xn) :n∈I⁺}, puisque n∈I⁺, f(xn)6=f(x0)et f(xn)→f(x0)par continuité de f . Donc, on a

lim

n→∞,n∈I⁺

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) =g^′(f(x0))

⇒ ∀ε >0,∃N∈N,∀n>N et n∈I⁺,

˛˛

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) −g^′(f(x0))

˛˛

˛˛< ε.

(25)

Dérivées

sn déf=

8

<

:

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) , si f(xn)6=f(x0)et xn6=x0

g^′(f(x0)), si f(xn) =f(x0)et xn6=x0

9

=

; .

Soit I⁺={n∈N:f(xn)6=f(x0)}. Il y a deux cas : ou bienI⁺est finiet la suite est constante et égale à g^′(f(x0))à partir d’un certain rang ;ou bien I⁺est infini. Dansce dernier cas, comme g^′(f(x0))existe,

∀{yn} ⊂Dg,yn6=f(x0),yn→f(x0), lim

n→∞

g(yn)−g(f(x0))

yn−f(x0) =g^′(f(x0)) et nécessairement, pour la suite convergente{f(xn) :n∈I⁺}, puisque n∈I⁺, f(xn)6=f(x0)et f(xn)→f(x0)par continuité de f . Donc, on a

lim

n→∞,n∈I⁺

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) =g^′(f(x0))

⇒ ∀ε >0,∃N∈N,∀n>N et n∈I⁺,

˛˛

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) −g^′(f(x0))

˛˛

˛˛< ε.

(26)

Dérivées

sn déf=

8

<

:

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) , si f(xn)6=f(x0)et xn6=x₀ g^′(f(x0)), si f(xn) =f(x0)et xn6=x0

9

=

; .

Soit I⁺={n∈N:f(xn)6=f(x0)}. Il y a deux cas : ou bienI⁺est finiet la suite est constante et égale à g^′(f(x0))à partir d’un certain rang ;ou bien I⁺est infini. Dansce dernier cas, on a vu que

lim

n→∞,n∈I⁺

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) =g^′(f(x0))

⇒ ∀ε >0,∃N∈N,∀n>N et n∈I⁺,

˛˛

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) −g^′(f(x0))

˛˛

˛˛< ε.

◮Mais pour lesn∈/I⁺, sn=g^′(f(x0)). On a finalement

∀ε >0,∃N∈N tel que∀n>N, ˛

˛sn−g^′(f(x0))˛

˛< ε et la limite de la suite{sn}est bien g^′(f(x0)).

(27)

Dérivées

sn déf=

8

<

:

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) , si f(xn)6=f(x0)et xn6=x₀ g^′(f(x0)), si f(xn) =f(x0)et xn6=x0

9

=

; .

Soit I⁺={n∈N:f(xn)6=f(x0)}. Il y a deux cas : ou bienI⁺est finiet la suite est constante et égale à g^′(f(x0))à partir d’un certain rang ;ou bien I⁺est infini. Dansce dernier cas, on a vu que

lim

n→∞,n∈I⁺

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) =g^′(f(x0))

⇒ ∀ε >0,∃N∈N,∀n>N et n∈I⁺,

˛˛

g(f(xn))−g(f(x0))

f(xn)−f(x0) −g^′(f(x0))

˛˛

˛˛< ε.

◮Mais pour lesn∈/I⁺, sn=g^′(f(x0)). On a finalement

∀ε >0,∃N∈N tel que∀n>N, ˛

˛sn−g^′(f(x0))˛

˛< ε et la limite de la suite{sn}est bien g^′(f(x0)).

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Dérivées

Théorème

•f :Df →Ret g:Dg→Rtelles quef(Df)⊂Dg.

•f dérivableenx₀et gdérivableenf(x0).

Remarque

(g◦f)^′(x0)peut exister sans que les hypothèses du théorème soient vérifiées.

On prendf(y) =|y|pour laquelle f^′(0)n’existe pas etg(x) =x⁴ce qui donne f(g(x)) =|x⁴|=x⁴pour laquelle(g◦f)^′(0) =0.

(29)

Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables : exemples

Exemple Soit la fonction

f(x)^déf=

(x cos(1/x), si x6=0

0, si x=0.

Aux points x06=0, les opérations sur les fonctions dérivables donnent f^′(x) =cos

„1 x

« +1

xsin

„1 x

« .

Au point x0=0, on revient à la définition de la dérivée : pour x 6=0 f(x)−f(0)

x−0 =cos(1/x) qui n’a pas de limite lorsque x→0.

(30)

Dérivées

f(x)^déf=

(x cos(1/x), si x6=0

0, si x=0.

„1 x

« +1

xsin

„1 x

« .

(31)

Dérivées

f(x)^déf=

(x cos(1/x), si x6=0

0, si x=0.

„1 x

« +1

xsin

„1 x

« .

(32)

Dérivées

Exemple

La fonctionlog(x)pour x>0 est dérivable et d

dx log(x) = 1 x. La fonction log(−x)pour x <0 est dérivable et

d

dx log(−x) = 1

−x(−1) = 1 x. On a donc pourx6=0

d

dx log|x|=1 x.

Sif est dérivable et non-nulle, il vient par la dérivée de la composition d

dx log|f(x)|=f^′(x)

f(x), f(x)6=0.

(33)

Dérivées

Exemple

On a donc pour x6=0

d

dx log|x|=1 x. Si f est dérivable et non-nulle, il vient

d

f(x), f(x)6=0.

d

f(x), f(x)6=0.

◮On applique ce résultat à la dérivée def(x) =x^a, a∈Ret x>0. On a log f(x) =log x^a=a log x ⇒ f^′(x)

f(x) = a

x ⇒ f^′(x) = a

xx^a=a x^a⁻¹.

(34)

Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque

Théorème

•f :Df →Ret g:Dg→Rtelles quef(Df)⊂Dg.

Corollaire

•f :Df →Rune fonction bijective.

•f dérivableenx0.

◮Si f^′(x0)6=0, la fonction réciproque f⁻¹estdérivableen f(x0)et (f⁻¹)^′(f(x0)) = 1

f^′(x0) ou(f⁻¹)^′(y0) = 1 f^′(f⁻¹(y0)). Démonstration.

On applique le théorème avec g=f⁻¹en notant que(f⁻¹◦f)(x) =x ce qui donne 1= (f⁻¹)^′(f(x0))f^′(x0).

(35)

Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables : fonction réciproque

Corollaire

•f :Df →Rune fonction bijective.

•f dérivableenx0.

◮Si f^′(x0)6=0, la fonction réciproque f⁻¹estdérivableen f(x0)et (f⁻¹)^′(f(x0)) = 1

f^′(x0) ou (f⁻¹)^′(y) = 1 f^′(f⁻¹(y)). Exemple

On a vu que f(x) =xⁿ, n∈N, est bijective de[0,∞)à[0,∞)etf⁻¹(y) =√ⁿ

y. Comme f^′(x) =n xⁿ⁻¹, il vient

(f⁻¹)^′(f(x0)) = 1

n x₀ⁿ⁻¹ ou d dy

√n

y= 1

n(√ⁿy)ⁿ⁻¹ =1 ny¹ⁿ⁻¹.

(36)

Dérivées

Formule de Leibniz

Théorème

•f,g:D→Rsontn-fois dérivablesen un point d’accumulation x ∈D∩D^′.

◮ dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x)) = Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x).

en posant f⁽⁰⁾(x) =f(x)et g⁽⁰⁾(x) =g(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction).Par un des théorèmes précédents le résultat est vrai pour n=1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n+1 :

dⁿ⁺¹

dxⁿ⁺¹(f(x)g(x)) = d dx

„dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x))

«

= d dx

Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x)

!

= Xn

k=0

„n k

«

f^(k+1)(x)g⁽ⁿ⁻^k)(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k⁾(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

(37)

Dérivées

Formule de Leibniz

Théorème

◮ dⁿ

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction).Par un des théorèmes précédents le résultat est vrai pour n=1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n+1 :

dⁿ⁺¹

„dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x))

«

= d dx

Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x)

!

= Xn

k=0

„n k

«

f^(k+1)(x)g⁽ⁿ⁻^k)(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k⁾(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

(38)

Dérivées

Formule de Leibniz

Théorème

◮ dⁿ

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultat est vrai pour n=1.On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n+1 :

dⁿ⁺¹

„dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x))

«

= d dx

Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x)

!

= Xn

k=0

„n k

«

f^(k+1)(x)g⁽ⁿ⁻^k)(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k⁾(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

(39)

Dérivées

Formule de Leibniz

Théorème

◮ dⁿ

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultat est vrai pour n=1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n+1 :

dⁿ⁺¹

„dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x))

«

= d dx

Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x)

!

= Xn

k=0

„n k

«

f^(k+1)(x)g⁽ⁿ⁻^k)(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k⁾(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

(40)

Dérivées

Formule de Leibniz

Théorème

◮ dⁿ

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x).

Démonstration.

On procède par récurrence (induction). Par un des théorèmes précédents le résultat est vrai pour n=1. On le suppose vrai pour n et on cherche à l’établir pour n+1 :

dⁿ⁺¹

„dⁿ

dxⁿ(f(x)g(x))

«

= d dx

Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁻^k⁾(x)

!

= Xn

k=0

„n k

«

f^(k+1)(x)g⁽ⁿ⁻^k)(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k⁾(x) + Xn

k=0

„n k

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

(41)

Dérivées

Formule de Leibniz

Démonstration.

dⁿ⁺¹

dxⁿ⁺¹(f(x)g(x))

= Xn+1

k=1

„ n k−1

«

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)+ Xn

k=0

„n k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

= Xn

k=1

»„ n k−1

« +

„n k

«–

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x)

+

„n n

«

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)g⁽⁰⁾(x)+

„n 0

«

f⁽⁰⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

= Xn

k=1

»„ n k−1

« +

„n k

«–

f^(k)(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x) +

„n+1 n+1

«

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)g⁽⁰⁾(x) +

„n+1 0

«

f⁽⁰⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

= Xn+1

k=0

„n+1 k

«

f^(k⁾(x)g⁽ⁿ⁺¹⁻^k)(x).

(42)

Dérivées

Formule de Leibniz

Exemple

Soit la fonction f(x) =xe^x. On sait que d^k

dx^kx=

(1, k=1 0. k>1 )

d^k

dx^ke^x=e^x.

dⁿ dxⁿxe^x=

X1

k=0

„n k

« d^kx

dx^k e^x =xe^x

|{z}

k=0

+n1e^x

| {z }

k=1

.