Nom Prénom :

Nom Prénom :

Exercices types.

Exercice 1

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par

f(x) = 2 + 3x 4 +x .

Partie A

On considère la suite(u_n)définie par :

u0= 3et pour tout entier naturel n, un+1=f(un). On admet que cette suite est bien définie.

1. Calculeru1.

2. Montrer que la fonctionf est croissante sur l’intervalle [0 ; 4].

3. Montrer que pour tout entier natureln,

16u_n+16u_n63.

4. (a) Montrer que la suite(un)est convergente.

(b) On appelle `la limite de la suite(un); montrer l’égalité :

`= 2 + 3`

4 +` .

(c) Déterminer la valeur de la limite`.

Partie B

On considère la suite(vn)définie par :

v0= 0,1et pour tout entier naturel n, vn+1=f(vn).

1. On donne enAnnexe, à rendre avec la copie, la courbe représentative,Cf, de la fonctionf et la droiteDd’équation y=x.

Placer sur l’axe des abscisses par construction géométrique les termesv₁, v₂ et v₃ sur l’annexe, à rendre avec la copie.

Quelle conjecture peut-on formuler sur le sens de variation et le comportement de la suite (vn) quand n tend vers l’infini ?

2. (a) Montrer que pour tout entier natureln,

1−v_n+1=

2

4 +vn

(1−v_n).

(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,

061−v_n6

1

2 ⁿ

. 3. La suite(vn)converge-t-elle ? Si oui, préciser sa limite.

Denis Augier Lycée Paul Rey Page 1/2

Nom Prénom :

Exercice 2

(un)est la suite définie paru0= 1et, pour tout entiern,un+1= 2 3un−1

6. Pour tout entiern, on posevn = 2un+ 1.

1. Démontrer que(vn)est une suite géométrique.

2. En déduire une expression devn, puis deun en fonctionn.

3. Déterminer les variations de(vn)et sa limite. Idem pour(un).

Exercice 3

Soit la suite(un)définie paru0= 2et, pour tout entiern,un+1=√ un+ 5.

Montrer que, pour tout entiern,06un6un+163.

Exercice 4

Soit(un)définie paru0= 1et ∀n∈N, un+1=un+ 1

u²_n. Étudiez cette suite.

Denis Augier Lycée Paul Rey Page 2/2