Lycée Paul Rey Denis Augier
Activité produit scalaire.
Notation : On notera P le plan et
´ O;ÝÑ
i;ÝÑ j
¯
un repère orthonormé du pan. Dans l’ensemble de ce chapitre on se situera dans ce plan
1 Définition géométrique.
Soit A, B et C trois points du plan (A et B distincts). Soit H l’intersection de la droite (AB) de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C. Le point H est appelé le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Dés lors le produit scalaire de ÝÝÑ
AB avec ÝÑ
AC est définie par : ÝÝÑ
AB¨ÝÑ
AC “ABˆ ˆAH
Si l’on a ÝÑu “ÝÝÑ
AB etÝÑv “ÝÑ
AC deux vecteurs du plan, alorsÝÑu ¨ ÝÑv “ÝÝÑ AB¨ÝÑ
AC.
Définition 1
Remarque 1. Si l’angle {BAC est obtus :
ÝÝÑ AB¨ÝÑ
AC ě0 .
Remarque 2. Si l’angle {BAC est nul :
ÝÝÑ AB¨ÝÑ
AC “0 .
Ex 35 à 41 page 217
Soit ÝÑu etÝÑv deux vecteurs du plan. Si l’un des vecteurs est nul alorsÝÑu ¨ ÝÑv “ÝÑ0 . Sinon : Ý
Ñu ¨ ÝÑv “kÝÑukˆkÝÑvkˆcospÝÑu;ÝÑvq Définition 2
Démonstration 1. Si l’on considère la configuration de la définition 1, et le triangle rectangle en H, AHC. En utilisant la la formule cospHACq “{ AH
AC si l’angle est aigu et l’opposé si l’on est obtus, on obtient la formule précédente puisquekÝÑvk“AH.
Soit ÝÑu etÝÑv deux vecteurs du plan, alorsÝÑu ¨ ÝÑu “kÝÑuk2 etÝÑu ¨ ÝÑv “ ÝÑv ¨ ÝÑu. Proposition 1
Premiére S 2018-2019 1
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Démonstration 2. On a cospÝÑu;ÝÑuq “cos 0“1 donc ÝÑu ¨ ÝÑu “kÝÑuk2
Démonstration 3. On a cospÝÑu;ÝÑvq “cospÝÑv;ÝÑuq doncÝÑu ¨ ÝÑv “ ÝÑv ¨ ÝÑu Ex 42 à 46 page 218
2 Définition analytique.
Exercice 1. Soient deux vecteurs ~u: ˆx
y
˙ et~v:
ˆx1 y1
˙
non nuls du planP repéré par le repère orthonormé
´ O;ÝÑ
i;ÝÑ j
¯ .
On considère les vecteurs représentant ÝÑ
OA“ ÝÑu etÝÝÑ
OC“ ÝÑv et H le projeté orthogonal deC surpOAq.
1. Justifiez :
DλPR˚, ÝÝÑ OH “λÝÑu 2. Montrer que les coordonnées du vecteurÝÝÑ
OH sont ÝÝÑ OH :
ˆλx λy
˙
3. Déterminer de même les coordonnées du vecteurÝÝÑ BH.
4. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle OHB, montrer que l’on obtient après simplifi- cation :
2λ2px2`y2q ´2λpxx1`yy1q “0
5. Le polynôme précédent est une équation du second degré en λ. Déterminer ses racines et en déduire la valeur deλ.
6. En remarquant queÝÑu ¨ ÝÑv “OAˆÝOH, montrer que :ÝÑ Ý
Ñu ¨ ÝÑv “xx1`yy1 (Indication : On utilisera queOH “λOA)
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