PanaMaths
[1 - 1]Février 2005
Démontrer que le logarithme népérien de la moyenne géométrique de n nombres strictement positifs est égal à la moyenne arithmétique de leurs logarithmes népériens.
Analyse
Un exercice classique qui requiert de connaître la propriété fondamentale du logarithme népérien et les notions de moyennes géométriques et arithmétique.
Résolution
Soit a1, , a2 ..., an n nombres strictement positifs.
Notons α la moyenne arithmétique de leurs logarithmes népériens.
On a donc, par définition :
1 2
lna lna ... lnan α = + n+ +
D’après la propriété fondamentale du logarithme népérien, le numérateur est égal au logarithme népérien du produit a a1 2...an et on a :
(
1 2) (
1 2)
ln ... 1
ln ...
n
n
a a a
a a a
n n
α= =
Soit :
(
1 2)
1ln a a ...an n α= ⎜⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠
Par définition,
(
a a1 2...an)
1n est la moyenne géométrique des nombres a1, , a2 ..., an. Le résultat est ainsi démontré.(
1 2)
1 1 2ln ln ... ln
ln ... n n a a an
a a a
n
+ + +
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
