Note sur la base des logarithmes népériens

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L ECLERC

Note sur la base des logarithmes népériens

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 14 (1855), p. 225-228

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(2)

NOTE SUR LA BASE BgS LOGARITHMES NÉPÉRIENS.

PAR M. LECLERC, Conducteur des Ponts et Chaussées,

a Neufchâtel-en-Bray.

On trouve dans la Note IV de la Géométrie de Le*

gendre la formule suivante :

e* —- e-x __ x _ _ _ _ _ _ -^

3 4 - ^ - 1 Je remplace d'abord x par -> ce qui me donne

**5*'+-4-**

OU

On tire de cette équation la formule générale

3* + ^ — - ( a )

i

x — i H

Ann. cfc Mathémat., t. XIV. (Juin i855). 15

(3)

( 2*6 )

En y faisant x = 2 , on a donc

1 0 14 + ..

1 H -

IO H-

puis, successivement,

5 _i ! „

io + . . . \ io-K..,

i

io-h. . .

= 2 H :

i

6 + i

et enfin

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•4 + ^

I

7 + I

io -4- - —

-4

_{i8-f- .}

Les réduites de même rang, dans les deux fractions continues qui entrent dans cette formule, ayant mêmes dénominateurs, il suffira, pour obtenir des valeurs (\, f j , e8, etc., de plus en plus approchées du nombre e, de calculer les numérateurs de ces réduites. On, trouve

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ainsi

e2— 2 4 = 2 , 7 1 8 . , 71 "

. 5 i . i 4 4-5 ⁰^{o m}

i ' '

~——= 2 + 71.14 -+- 7 iooi

Remarque sur la Note précédente.

Si l'on prend la première valeur de e , on peut l'écrire ainsi :

I -4-

1O 14+...'

en sorte que l'irrationnelle e se trouve développée en une fraction continue très-simple et très-rapidement conver- gente.

Il est facile ensuite de transformer en série la fraction continue [Nouvelles Annales, tome VIII, page 170), et Ton trouve

= !-+- 9.

1 7 7 . 7 1 1

1001.18089

E. C.

Note du Rédacteur, M. Leclerc indique la formule générale

5 ( ~

extraite de la Science du 4 et du 19 avril i855, journal scientifique quotidien, le premier de ce genre et auquel les

5

(5)

( 2*8 )

noms des collaborateurs promettent un grand succès, pourvu que ces noms soient autre chose que des noms.