TS7 DS 1 24 septembre 2019 Dur´ee 120 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1 : Quelques limites pour s’´echauffer (20 minutes) (41/2 points) Calculer les limites des suites suivantes, d´efinies pour tout entier naturel n, lorsqu’elles existent :
1. un= 3n3−6n+ 5
n3+ 9n2−5 2. vn= 1−(−1)n n+ 5
3. wn= 7n−50×6n
Exercice 2 : Une jolie r´ecurrence (20 minutes) (31/2 points) Soit (un) d´efinie pour tout entier naturelnparun= 4n+ 8
Justifier par r´ecurrence que pout tout entier natureln,
n
X
k=0
uk= 2n2+ 10n+ 8
Exercice 3 : Probl`eme 1 (45 minutes) (7 points)
On consid`ere la suite (un) `a valeurs r´eelles d´efinie paru0 = 1 et, pour tout entier natureln,un+1 = un
un+ 8. Partie A : Conjectures
Les premi`eres valeurs de la suite (un) ont ´et´e calcul´ees `a l’aide d’un tableur dont voici une capture d’´ecran :
A B
1 n un
2 0 1
3 1 0,111 111 11
4 2 0,013 698 63
5 3 0,001 709 4
6 4 0,000 213 63
7 5 2,670 3E−05
8 6 3,337 9E−06
9 7 4,172 3E−07
1. Quelle conjecture peut-on faire sur les variations de la suite (un) ? 2. Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un) ?
3.
On consid`ere l’algorithme ci-contre :
(a) Quelle est la valeur affich´ee par l’algorithme.
(b) Expliquer cette valeur dans le contexte de l’exercice.
u←1 n←0
Tant queu>10−6 u← u
u+ 8 n←n+ 1 Fin tant que Afficher n Partie B : Recherche d’une expression du terme g´en´eral
On d´efinit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n,vn= 1 + 7 un
.
1. D´emontrer que la suite (vn) est une suite g´eom´etrique de raison 8 dont on d´eterminera le premier terme.
2. Justifier que, pour tout entier naturel n, 7 8n+1−1. 3. D´eterminer la limite de la suite (un)
Exercice 4 : Un petit probl`eme pour finir (40 minutes) (5 points) On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0 = 0 etun+1=un+ 3n2+ 3n+ 1 pour tout entier naturel n.
1. Calculeru1, u2 etu3. Quelle conjecture pouvait vous faire sur les variations de la suite ? 2. Calculerun+1−un. Conclure.
3. (a) D´emontrer que, pour tout entier natureln>2, un>n2. (b) Quelle est la limite de la suite (un) ?
4. Conjecturer une expression deun en fonction de n, puis d´emontrer la propri´et´e ainsi conjectur´ee.
