Normes et suites Feuille 16
Exercice16.1
Soient (un) et (vn) deux suites de réels et a, b ∈ Rtels que, pour tout n ∈ N, un ≤ a, vn ≤ b, et tels que un+vn−−−−−→
n→+∞ a+b.
Montrer queun−−−−−→
n→+∞ aetvn−−−−−→
n→+∞ b.
Exercice16.2
On suppose queu0= 0, u1 = 1et, pour toutn >0, un+2 = 2un+1−3un. Exprimerunen fonction den.
Exercice16.3
On suppose queu0= 2, u1 = 4et, pour toutn≥0, un+2 = u4n+1
u3n .Exprimerunen fonction den.
Exercice16.4
Soientaetbdeux réels tels que 0 < a < b. On définit les deux suites(un) et(vn)par :u0 = a, v0 = bet :
∀n∈N, un+1=√
unvnetvn+1= un+vn 2 1. Montrer que :∀n∈N, un< vn.
2. Montrer que(un)est croissante et que(vn)est décroissante.
3. En déduire que(un)et(vn)converge vers une même limite.
Exercice16.5
Soient(un)et(vn)deux suites convergentes de réels. Calculer lim
n→+∞max(un, vn).
Exercice16.6
Soit(un)une suite telle que les sous-suites(u2n),(u2n+1) et(u3n)convergent. Montrer que la suite(un)est convergente.
Exercice16.7
On noteE =C1([0,1], R)et pour toutf ∈E, on posekfk=kfk∞+kf0k∞.Montrer quek · kest une norme surE. Est-elle équivalente àk · k∞?
Exercice16.8
Une personne a dépensé tout ce qu’elle avait en poche dansN magasins. Dans chacun elle a dépensé dix euros de plus que la moitié de ce qu’elle avait en entrant. Combien avait-elle en poche au départ ?
Exercice16.9
E est un espace vectoriel normé.B etC sont deux parties non vides deE.Montrer queδ(B∪C) ≤δ(B) + δ(C) + d(B, C).
Exercice16.10
On noteE l’ensemble des applications de classeC1 de[0, 1]dansRtelles quef(0) = 0.Sif ∈ E, on note N(f) =kfk∞+kf0k∞etn(f) =kf +f0k∞.
1. Montrer queN etnsont des normes.
2. Montrer queN etnsont équivalentes.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XVI - NORMES ET SUITES
Exercice16.11
On considère une suite de complexes(zn)vérifiant la relation de récurrencezn+1 = 1
2(zn+|zn|). Déterminer la limite deznlorsquentend vers+∞en fonction dez0.
Exercice16.12
On suppose queu0= 1et que, pour toutn∈N, un+1 = 1 + 1
un.Déterminerunen fonction den.
En déduire la valeur deΦ = 1 + 1 1 + 1
1+1+···1
.
Exercice16.13
Soitf une application injective deNdansN.Démontrer que(f(n))n∈Ndiverge vers+∞.
Exercice16.14
Soit(an)une suite réelle telle que : 1. ∀n∈N, an≥1et :
2. ∀(m, n)∈N2, am+n≤aman. Montrez que la suitebn= ln(an)
n converge vers sa borne inférieure.
Exercice16.15
Démontrer que la suite(sinn)n∈Nn’a pas de limite.
Exercice16.16
NotonsE l’ensemble des applications de classeC1 de[0,1]damsR. Soitϕune application continue de[0,1]
dansRtelle que Z 1
0
ϕ6= 0. Pour toutf ∈E, on pose
N(f) =|f(0)|+ Z 1
0
|f0(t)|dtetN0(f) =
Z 1
0
f(t)ϕ(t) dt
+ Z 1
0
|f0(t)|dt.
Montrer queN etN0sont des normes équivalentes surE.
Exercice16.17
Eest unR-espace vectoriel normé etAest une partie non vide deE.
Soitf :A −→ Rune applicationk-lipschitzienne aveck > 0. Pour toutx ∈ E, on poseg(x) = sup
t∈A
(f(t)−
kkx−tk)
1. Montrer quegest bien définie.
2. Montrer quegprolongef surE.
3. Montrer quegestk-lipschitzienne.
Exercice16.18
On noteEl’ensemble des applications continues de[0,1]dansR, que l’on munit de la norme infinie (norme de la convergence uniforme).
1. Pour toutn∈N, on notePn: [0,1]−→ R x7−→
n
X
k=0
xk k!
Déterminer la limite de la suite(Pn)d’éléments deE.
2. On noteP l’ensemble des applications polynomiales de[0,1]dansR.Montrer queP n’est pas complet.
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FEUILLE XVI - NORMES ET SUITES
3. Montrer que(E, k · k∞)est un espace complet.
Exercice16.19
On dira qu’une partieT deN∗ est négligeable si et seulement si |Tn|
n −−−−−→
n→+∞ 0,oùTn=T ∩[1 ; n]et où|Tn| désigne le cardinal deTn.
Une suite(an)n∈N∗ de complexes est dite presque convergente vers` ∈ Csi et seulement si il existe une partie négligeableT ⊂N∗telle que :
∀ε >0, ∃p∈N∗, ∀n∈N∗, [n≥p]∧[n6∈T] =⇒ |an−`| ≤ε.
`est alors unique, on ne demande pas de le démontrer.
1. Montrer que l’ensembleP ={n∈N∗/∃m∈N∗, n=m2}des carrés parfaits est ne’gligeable.
2. (a) Montrer que(an), définie paran=nsin∈P etan= 1
n sinon, est presque convergente vers0.
(b) Une sous-suite d’une suite presque convergente est-elle presque convergente ? Dans les deux questions qui suivent,(an)est une suite de réels,(bn) =
a1+· · ·+an
n
est sa moyenne de Cesaro et on suppose quebn−−−−−→
n→+∞ 0.
3. On suppose dans cette question que lesansont positifs ou nuls.
(a) Montrer qu’il existe une suite décroissante (un)de réels strictement positifs telle que un −−−−−→
n→+∞ 0et bn
un −−−−−→
n→+∞ 0.
(b) SoitT ={k∈N∗/ ak ≥uk}. Montrer queT est négligeable.
(c) En déduire queanest presque convergente vers0.
4. Montrer que l’hypothèse de positivité en question 3 est essentielle en donnant un exemple de suite(an) de réels telle que|an| −−−−−→
n→+∞ +∞alors quebn−−−−−→
n→+∞ 0.
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