Suites arithm´ etiques, Suites g´ eom´ etriques

Suites arithm´ etiques, Suites g´ eom´ etriques

JPS

2009

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1. Suites arithm´etiques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang 𝑛

1.4 Somme des 𝑛premiers termes 2. Suites g´eom´etriques

2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang 𝑛

2.4 Somme des 𝑛premiers termes

∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutantau terme pr´ec´edent le mˆeme r´eel𝑟, appel´e raison, la suiteest dite arithm´etique.

ℝ

𝑈₀ 𝑈₁ 𝑈₂ 𝑈𝑛 𝑈𝑛+1

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

D´ efinition

∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutantau terme pr´ec´edent le mˆeme r´eel𝑟, appel´e raison, la suiteest dite arithm´etique.

ℝ

𝑈₀ 𝑈₁ 𝑈₂ 𝑈𝑛 𝑈𝑛+1

+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟

∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutantau terme pr´ec´edent le mˆeme r´eel𝑟, appel´e raison, la suiteest dite arithm´etique.

ℝ

𝑈₀ 𝑈₁ 𝑈₂ 𝑈𝑛 𝑈𝑛+1

+𝑟 +𝑟 +𝑟 +𝑟

∙La suite (𝑈𝑛) est arithm´etique de raison 𝑟 si et seulement si pour tout𝑛∈ℕ, on a : 𝑈𝑛+1=𝑈𝑛+𝑟

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemples

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemples

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison 3.

∙La suite dont les premiers termes sont 6 ; 2 ; -2 ; -6 ; . . . est une suite arithm´etique, de premier terme

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemples

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison 3.

∙La suite dont les premiers termes sont 6 ; 2 ; -2 ; -6 ; . . . est une suite arithm´etique, de premier terme 6

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison 3.

∙La suite dont les premiers termes sont 6 ; 2 ; -2 ; -6 ; . . . est une suite arithm´etique, de premier terme 6 et de raison

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemples

∙La suite dont les premiers termes sont 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . . est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison 3.

∙La suite dont les premiers termes sont 6 ; 2 ; -2 ; -6 ; . . . est une suite arithm´etique, de premier terme 6 et de raison−4.

Pour d´emontrer qu’une suite (𝑈𝑛) est arithm´etique il faut :

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

M´ ethode

Pour d´emontrer qu’une suite (𝑈𝑛) est arithm´etique il faut : montrer que pour tout𝑛∈ℕla diff´erence𝑈𝑛+1−𝑈𝑛est ´egale `a un r´eel𝑟 constant.

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀=

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁=

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10.

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟=

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1=

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a

𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1= 3(𝑛+ 1) + 1 =

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a

𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1= 3(𝑛+ 1) + 1 = 3𝑛+ 3 + 1 = 3𝑛+ 4 ; d’o`u 𝑈𝑛+1−𝑈𝑛=

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a

𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1= 3(𝑛+ 1) + 1 = 3𝑛+ 3 + 1 = 3𝑛+ 4 ; d’o`u 𝑈𝑛+1−𝑈𝑛= 3𝑛+ 4−(3𝑛+ 1) = 3.

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a

𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1= 3(𝑛+ 1) + 1 = 3𝑛+ 3 + 1 = 3𝑛+ 4 ; d’o`u 𝑈𝑛+1−𝑈𝑛= 3𝑛+ 4−(3𝑛+ 1) = 3.

Conclusion :

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 1

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les quatre premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 4 ;𝑈₂ = 7 ; 𝑈₃= 10. La suite semble donc ˆetre arithm´etique de raison 𝑟= 3 et de premier terme𝑈₀ = 1.

∙Pour tout𝑛∈ℕ on a

𝑈𝑛= 3𝑛+ 1 et𝑈𝑛+1= 3(𝑛+ 1) + 1 = 3𝑛+ 3 + 1 = 3𝑛+ 4 ; d’o`u 𝑈𝑛+1−𝑈𝑛= 3𝑛+ 4−(3𝑛+ 1) = 3.

Conclusion : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ est une suite arithm´etique de premier terme𝑈₀ = 1 et de raison 3.

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛=𝑛²+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 2

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛=𝑛²+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les trois premiers termes sont

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛=𝑛²+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les trois premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 2 ;𝑈₂= 5.

On a𝑈₁−𝑈₀ ∕=𝑈₂−𝑈₁

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple 2

Question : La suite (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ d´efinie par 𝑈𝑛=𝑛²+ 1 est-elle arithm´etique ?

Solution :

∙Les trois premiers termes sont𝑈₀= 1 ;𝑈₁= 2 ;𝑈₂= 5.

On a𝑈₁−𝑈₀ ∕=𝑈₂−𝑈₁ donc la diff´erence𝑈𝑛+1−𝑈𝑛 n’est pas constante, et la suite (𝑈𝑛) n’est pas arithm´etique.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

∙ 𝑈₁ =𝑈₀+𝑟= 5−3 = 2

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

∙ 𝑈₁ =𝑈₀+𝑟= 5−3 = 2

∙ 𝑈₂ =𝑈₁+𝑟= (𝑈₀+𝑟) +𝑟 =𝑈₀+ 2𝑟 = 2−3 =−1

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

∙ 𝑈₁ =𝑈₀+𝑟= 5−3 = 2

∙ 𝑈₂ =𝑈₁+𝑟= (𝑈₀+𝑟) +𝑟 =𝑈₀+ 2𝑟 = 2−3 =−1

∙ 𝑈₃ =𝑈₂+𝑟= (𝑈₀+2𝑟)+𝑟=𝑈₀+3𝑟=−1−3 =−4

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

∙ 𝑈₁ =𝑈₀+𝑟= 5−3 = 2

∙ 𝑈₂ =𝑈₁+𝑟= (𝑈₀+𝑟) +𝑟 =𝑈₀+ 2𝑟 = 2−3 =−1

∙ 𝑈₃ =𝑈₂+𝑟= (𝑈₀+2𝑟)+𝑟=𝑈₀+3𝑟=−1−3 =−4 la question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀?

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3. Alors

∙ 𝑈₀ = 5 d’apr`es l’´enonc´e

∙ 𝑈₁ =𝑈₀+𝑟= 5−3 = 2

∙ 𝑈₂ =𝑈₁+𝑟= (𝑈₀+𝑟) +𝑟 =𝑈₀+ 2𝑟 = 2−3 =−1

∙ 𝑈₃ =𝑈₂+𝑟= (𝑈₀+2𝑟)+𝑟=𝑈₀+3𝑟=−1−3 =−4 la question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? et plus g´en´eralement, trouver une formule explicite donnant le terme𝑈𝑛 en fonction de 𝑛.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀?

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc pour atteindre𝑈₁₀₀ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc pour atteindre𝑈₁₀₀ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 cent fois de suite.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc pour atteindre𝑈₁₀₀ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 cent fois de suite.

Donc𝑈₁₀₀ =5−100×3 =

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, comment calculer simplement le terme𝑈₁₀₀? Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc pour atteindre𝑈₁₀₀ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 cent fois de suite.

Donc𝑈₁₀₀ =5−100×3 = 5−300 =−295.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc on peut g´en´eraliser : pour atteindre𝑈𝑛 `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc on peut g´en´eraliser : pour atteindre𝑈𝑛 `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 un nombre𝑛fois de suite.

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc on peut g´en´eraliser : pour atteindre𝑈𝑛 `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 un nombre𝑛fois de suite.

Donc𝑈𝑛= 5−𝑛×3 =

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Probl´ ematique

Consid´erons la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀= 5 et de raison de−3.

La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑈𝑛 en fonction de𝑛.

Pour atteindre𝑈₁ `a partir de𝑈₀, on a soustrait 3 une seule fois.

Pour atteindre𝑈₂ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 deux fois de suite.

Pour atteindre𝑈₃ `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 trois fois de suite.

Donc on peut g´en´eraliser : pour atteindre𝑈𝑛 `a partir de 𝑈₀, on a soustrait 3 un nombre𝑛fois de suite.

Donc𝑈𝑛= 5−𝑛×3 = 5−3𝑛.

La formule g´en´erale est donc𝑈 = 5−3𝑛pour tout𝑛∈ℕ

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Th´ eor` eme

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₁ et de raison𝑟 est :

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Th´ eor` eme

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₁ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₁+ (𝑛−1)𝑟

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

Le terme de rang 50 est

𝑈₅₀=𝑈₁+ (50−1)×𝑟

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

Le terme de rang 50 est

𝑈₅₀=𝑈₁+ (50−1)×𝑟= 12 + 49×3 = 159

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 =

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 +

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ +

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 +

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 =

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 = 101×

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 = 101×100 donc

𝑆 = 101×100

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 =

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On s’aper¸coit que les termes apparaissent deux fois

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On s’aper¸coit que les termes apparaissent deux fois mais on se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e :

???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

+ 𝑈

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

+ 𝑈

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉)

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉) Or c’est le cas puisque𝑈₂ =𝑈₁+𝑟 et

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

+ 𝑈

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

+ 𝑈

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉)

Or c’est le cas puisque𝑈₂ =𝑈₁+𝑟 et𝑈₉₉=𝑈₁₀₀−𝑟.

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

+ 𝑈

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

+ 𝑈

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉)

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉) On a donc

2𝑆 =

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

+ 𝑈

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

+ 𝑈

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉) On a donc

2𝑆 = (𝑈₁+𝑈₁₀₀)×