Th´ eor` eme

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₁ et de raison𝑟 est :

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Th´ eor` eme

On admet le r´esultat suivant :

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₀ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₀+𝑛𝑟

Le terme de rang𝑛 d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈₁ et de raison𝑟 est :

𝑈𝑛=𝑈₁+ (𝑛−1)𝑟

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

Le terme de rang 50 est

𝑈₅₀=𝑈₁+ (50−1)×𝑟

Soit la suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme 𝑈₁= 12 et de raison 3. Calculer𝑈₅₀.

Le terme de rang 50 est

𝑈₅₀=𝑈₁+ (50−1)×𝑟= 12 + 49×3 = 159

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 =

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 +

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ +

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 +

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 =

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

Exemple :

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 = 101×

On cherche `a calculer la somme des 100 premiers entiers : 𝑆 = 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ 99 + 100 =???

Une m´ethode consiste `a consid´erer 2𝑆 :

𝑆 = 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 99 + 100

𝑆 = 100 + 99 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2 + 1

2𝑆 = 101 + 101 + ⋅ ⋅ ⋅ + 101 + 101 On a donc

2𝑆 = 101×100 donc

𝑆 = 101×100

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 =

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +

Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques

1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On s’aper¸coit que les termes apparaissent deux fois

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation ?

Peut-on g´en´eraliser `a la somme des termes cons´ecutifs d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de raison𝑟?

𝑆=𝑈₁+𝑈₂+⋅ ⋅ ⋅+𝑈₉₉+𝑈₁₀₀=???

Une m´ethode consiste `a consid´erer `a nouveau 2𝑆 :

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈⁹⁹ +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈¹

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On s’aper¸coit que les termes apparaissent deux fois mais on se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e :

???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

₁

+ 𝑈

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

₉₉

+ 𝑈

₁₀₀

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉)

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉) Or c’est le cas puisque𝑈₂ =𝑈₁+𝑟 et

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

₁

+ 𝑈

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

₉₉

+ 𝑈

₁₀₀

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On se demande si en plus on n’a pas l’´egalit´e : (𝑈₁+𝑈₁₀₀)^???= (𝑈₂+𝑈₉₉)

Or c’est le cas puisque𝑈₂ =𝑈₁+𝑟 et𝑈₉₉=𝑈₁₀₀−𝑟.

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

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1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛

1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

₁

+ 𝑈

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

₉₉

+ 𝑈

₁₀₀

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉)

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉) On a donc

2𝑆 =

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

₁

+ 𝑈

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

₉₉

+ 𝑈

₁₀₀

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉) On a donc

2𝑆 = (𝑈₁+𝑈₁₀₀)×100 donc

𝑆= (𝑈1+𝑈₁₀₀)×100 2

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

G´ en´ eralisation : 𝑆 = 𝑈

₁

+ 𝑈

₂

+ ⋅ ⋅ ⋅ + 𝑈

₉₉

+ 𝑈

₁₀₀

= ???

𝑆 = 𝑈1 +𝑈2 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈99 +𝑈100

𝑆 = 𝑈100 +𝑈99 +⋅ ⋅ ⋅+ 𝑈2 +𝑈1

2𝑆 = (𝑈1+𝑈100) +(𝑈2+𝑈99) +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑈99+𝑈2) +(𝑈100+𝑈1)

On a l’´egalit´e :(𝑈₁+𝑈₁₀₀)=(𝑈₂+𝑈₉₉) On a donc

2𝑆 = (𝑈₁+𝑈₁₀₀)×100 donc

𝑆= (𝑈1+𝑈₁₀₀)×100 2

Pour la somme𝑆, que repr´esente (𝑈₁+𝑈₁₀₀) ? Que repr´esente

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1.4 Somme des𝑛premiers termes

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