La somme des𝑛 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈1 est :
La somme des𝑛 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈1 est :
𝑆𝑛=
∑𝑛 𝑖=1
𝑈𝑖 =𝑈1+𝑈2+. . .+𝑈𝑛−1+𝑈𝑛= 𝑛(𝑈1+𝑈𝑛) 2
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛
1.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme :
La somme des𝑛 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈1 est :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈0 est :
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛
1.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈0 est :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite arithm´etique (𝑈𝑛) de premier terme𝑈0 est :
𝑆𝑛=
∑𝑛 𝑖=0
𝑈𝑖=𝑈0+𝑈1+. . .+𝑈𝑛−1+𝑈𝑛= (𝑛+ 1)(𝑈0+𝑈𝑛) 2
Somme = nb de termes×(1𝑒𝑟terme + dernier terme) 2
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛
1.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple
Question : quelle est la somme des𝑛premiers nombres impairs ?
Question : quelle est la somme des𝑛premiers nombres impairs ? Soit la suite arithm´etique de premier terme𝑈1 = 1 et de raison 2.
𝑆𝑛=𝑈1+𝑈2+. . .+𝑈𝑛−1+𝑈𝑛= 1+3+5. . .+(2𝑛−1)
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
1.1 D´efinition d’une suite arithm´etique 1.2 D´emontrer qu’une suite est arithm´etique 1.3 Calcul du terme de rang𝑛
1.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple
Question : quelle est la somme des𝑛premiers nombres impairs ? Soit la suite arithm´etique de premier terme𝑈1 = 1 et de raison 2.
𝑆𝑛=𝑈1+𝑈2+. . .+𝑈𝑛−1+𝑈𝑛= 1+3+5. . .+(2𝑛−1) 𝑆𝑛= (1+2𝑛2−1)(𝑛) =𝑛2
Question : quelle est la somme des𝑛premiers nombres impairs ? Soit la suite arithm´etique de premier terme𝑈1 = 1 et de raison 2.
𝑆𝑛=𝑈1+𝑈2+. . .+𝑈𝑛−1+𝑈𝑛= 1+3+5. . .+(2𝑛−1) 𝑆𝑛= (1+2𝑛2−1)(𝑛) =𝑛2
Conclusion : la somme des 𝑛premiers nombres impairs est ´egale `a𝑛2
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
D´ efinition
∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en multipliantle terme pr´ec´edent par le mˆeme r´eel𝑞, appel´e raison, lasuiteest diteg´eom´etrique.
ℝ
𝑉0 𝑉1 𝑉2 𝑉𝑛 𝑉𝑛+1
∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en multipliantle terme pr´ec´edent par le mˆeme r´eel𝑞, appel´e raison, lasuiteest diteg´eom´etrique.
ℝ
𝑉0 𝑉1 𝑉2 𝑉𝑛 𝑉𝑛+1
×𝑞 ×𝑞 ×𝑞 ×𝑞
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
D´ efinition
∙Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en multipliantle terme pr´ec´edent par le mˆeme r´eel𝑞, appel´e raison, lasuiteest diteg´eom´etrique.
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemples
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3 et de raison
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemples
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3 et de raison 𝑞= 4.
∙La suite dont les premiers termes sont 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3 et de raison 𝑞= 4.
∙La suite dont les premiers termes sont 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 20
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemples
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3 et de raison 𝑞= 4.
∙La suite dont les premiers termes sont 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 20 et de raison
∙La suite dont les premiers termes sont 3 ; 12 ; 48 ; 192 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 3 et de raison 𝑞= 4.
∙La suite dont les premiers termes sont 20 ; 10 ; 5 ; 2,5 ; . . .est une suite g´eom´etrique, de premier terme 20 et de raison 1
2.
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
M´ ethode
Pour d´emontrer qu’une suite (𝑉𝑛) est g´eom´etrique il faut :
Pour d´emontrer qu’une suite (𝑉𝑛) est g´eom´etrique il faut :
∙montrer qu’il existe un r´eel𝑞 constanttel que pour tout𝑛∈ℕ on a une relation𝑉𝑛+1 =𝑞×𝑉𝑛.
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
M´ ethode
Pour d´emontrer qu’une suite (𝑉𝑛) est g´eom´etrique il faut :
∙montrer qu’il existe un r´eel𝑞 constanttel que pour tout𝑛∈ℕ on a une relation𝑉𝑛+1 =𝑞×𝑉𝑛.
∙si on sait que les termes sont non nuls, montrer que pour tout 𝑛∈ℕ le quotient 𝑉𝑛+1
𝑉𝑛
est ´egal `a un r´eel𝑞 constant.
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 =
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 = 30 = 1 ;𝑉1 =
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 = 30 = 1 ;𝑉1 = 31 = 3 ; 𝑉2 = 32 = 9 ;𝑉3= 33= 27. La suite semble donc ˆetre
g´eom´etrique de raison𝑞=
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
g´eom´etrique de raison𝑞= 3 et de premier terme
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 = 30 = 1 ;𝑉1 = 31 = 3 ; 𝑉2 = 32 = 9 ;𝑉3= 33= 27. La suite semble donc ˆetre
g´eom´etrique de raison𝑞= 3 et de premier terme 𝑉0 = 1.
∙Pour tout𝑛∈ℕ on a
𝑉𝑛= 3𝑛donc 𝑉𝑛∕= 0 et𝑉𝑛+1 =
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 = 30 = 1 ;𝑉1 = 31 = 3 ; 𝑉2 = 32 = 9 ;𝑉3= 33= 27. La suite semble donc ˆetre
g´eom´etrique de raison𝑞= 3 et de premier terme 𝑉0 = 1.
∙Pour tout𝑛∈ℕ on a
𝑉𝑛= 3𝑛donc 𝑉𝑛∕= 0 et𝑉𝑛+1 = 3𝑛+1= 3𝑛×31 = 3𝑛×3 ; d’o`u 𝑉𝑛+1
𝑉𝑛
=
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛= 3𝑛 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les quatre premiers termes sont𝑉0 = 30 = 1 ;𝑉1 = 31 = 3 ; 𝑉2 = 32 = 9 ;𝑉3= 33= 27. La suite semble donc ˆetre
g´eom´etrique de raison𝑞= 3 et de premier terme 𝑉0 = 1.
∙Pour tout𝑛∈ℕ on a
𝑉𝑛= 3𝑛donc 𝑉𝑛∕= 0 et𝑉𝑛+1 = 3𝑛+1= 3𝑛×31 = 3𝑛×3 ; d’o`u 𝑉𝑛+1
𝑉𝑛
= 3.
Conclusion :
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 1
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛=𝑛2+ 1 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 2
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛=𝑛2+ 1 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les trois premiers termes sont
Question : La suite (𝑉𝑛)𝑛∈ℕd´efinie par 𝑉𝑛=𝑛2+ 1 est-elle g´eom´etrique ?
Solution :
∙Les trois premiers termes sont𝑉0 = 1 ;𝑉1 = 2 ;𝑉2= 5.
On a 𝑉1 𝑉0 ∕= 𝑉2
𝑉1
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple 2
n’est pas constant, et la suite (𝑉𝑛) n’est pas g´eom´etrique.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
∙ 𝑉1 =𝑉1×𝑞= 5×(−3) =−15
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
∙ 𝑉1 =𝑉1×𝑞= 5×(−3) =−15
∙ 𝑉2 =𝑉2×𝑞= (𝑉0×𝑞)×𝑞=𝑉0×𝑞2 = 5×(−3)2 = 45
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
∙ 𝑉1 =𝑉1×𝑞= 5×(−3) =−15
∙ 𝑉2 =𝑉2×𝑞= (𝑉0×𝑞)×𝑞=𝑉0×𝑞2 = 5×(−3)2 = 45
∙ 𝑉3 =𝑉3×𝑞= (𝑉0×𝑞2)×𝑞=𝑉0×𝑞3 = 5×(−3)3=−135
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
∙ 𝑉1 =𝑉1×𝑞= 5×(−3) =−15
∙ 𝑉2 =𝑉2×𝑞= (𝑉0×𝑞)×𝑞=𝑉0×𝑞2 = 5×(−3)2 = 45
∙ 𝑉3 =𝑉3×𝑞= (𝑉0×𝑞2)×𝑞=𝑉0×𝑞3 = 5×(−3)3=−135
la question est, comment calculer simplement le terme𝑉100?
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3. Alors
∙ 𝑉0 = 5 d’apr`es l’´enonc´e
∙ 𝑉1 =𝑉1×𝑞= 5×(−3) =−15
∙ 𝑉2 =𝑉2×𝑞= (𝑉0×𝑞)×𝑞=𝑉0×𝑞2 = 5×(−3)2 = 45
∙ 𝑉3 =𝑉3×𝑞= (𝑉0×𝑞2)×𝑞=𝑉0×𝑞3 = 5×(−3)3=−135
la question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? et plus g´en´eralement, trouver une formule explicite donnant le terme𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100?
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3)
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Pour atteindre𝑉3 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3)
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Pour atteindre𝑉3 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) trois fois de suite, donc par (−3)3.
Donc pour atteindre𝑉100 `a partir de𝑉0, on a multipli´e par (-3)
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Pour atteindre𝑉3 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) trois fois de suite, donc par (−3)3.
Donc pour atteindre𝑉100 `a partir de𝑉0, on a multipli´e par (-3) cent fois de suite, donc par (−3)100.
Donc𝑉100=
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, comment calculer simplement le terme𝑉100? Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3)
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Pour atteindre𝑉3 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3)
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛.
Pour atteindre𝑉1 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) une seule fois.
Pour atteindre𝑉2 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) deux fois de suite, donc par (−3)2.
Pour atteindre𝑉3 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3) trois fois de suite, donc par (−3)3.
Donc on peut g´en´eraliser : pour atteindre𝑉𝑛 `a partir de 𝑉0, on a multipli´e par (-3)
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Probl´ ematique
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛. a multipli´e par (-3) un nombre𝑛fois de suite.
Consid´erons la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 = 5 et de raison de−3.
La question est, trouver une formule explicite donnant le terme 𝑉𝑛 en fonction de 𝑛. a multipli´e par (-3) un nombre𝑛fois de suite.
Donc𝑉𝑛= 5×(−3)𝑛.
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme
On admet le r´esultat suivant :
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 et de raison𝑞 est :
On admet le r´esultat suivant :
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 et de raison𝑞 est :
𝑉𝑛=𝑉0×𝑞𝑛
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme
On admet le r´esultat suivant :
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 et de raison𝑞 est :
𝑉𝑛=𝑉0×𝑞𝑛
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 et de raison𝑞 est :
On admet le r´esultat suivant :
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 et de raison𝑞 est :
𝑉𝑛=𝑉0×𝑞𝑛
Le terme de rang𝑛 d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 et de raison𝑞 est :
𝑉𝑛=𝑉1×𝑞𝑛−1
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple
Soit la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 = 12 et de raison 7. Calculer𝑉50.
Soit la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 = 12 et de raison 7. Calculer𝑉50.
Le terme de rang 50 est
𝑉50=𝑉1×𝑞50−1
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple
Soit la suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 = 12 et de raison 7. Calculer𝑉50.
Le terme de rang 50 est
𝑉50=𝑉1×𝑞50−1= 12×749
La somme des𝑛 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 est :
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme :
La somme des𝑛 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 est :
La somme des𝑛 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉1 est :
𝑆𝑛=
∑𝑛 𝑖=1
𝑉𝑖 =𝑉1+𝑉2+. . .+𝑉𝑛−1+𝑉𝑛=𝑉1×1−𝑞𝑛 1−𝑞
Somme = 1𝑒𝑟 terme×1−𝑞nb de terme 1−𝑞
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2.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 est :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 est :
𝑆𝑛=
∑𝑛 𝑖=0
𝑉𝑖 =𝑉0+𝑉1+. . .+𝑉𝑛−1+𝑉𝑛=𝑉0×1−𝑞𝑛+1 1−𝑞
Plan 1. Suites arithm´etiques 2. Suites g´eom´etriques
2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Th´ eor` eme :
La somme des𝑛+ 1 premiers termes d’une suite g´eom´etrique (𝑉𝑛) de premier terme𝑉0 est :
Question : quelle est valeur de la somme 𝑆𝑛= 1 + 2 + 4 +. . .+ 2𝑛−1?
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes
Exemple
Question : quelle est valeur de la somme 𝑆𝑛= 1 + 2 + 4 +. . .+ 2𝑛−1?
𝑆𝑛= 1 + 2 + 4 +. . .+ 2𝑛−1 est la somme des 𝑛 premiers termes de la suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme 1.
𝑆𝑛= 1×1−2𝑛
1−2 = 2𝑛−1 est la somme des𝑛 premiers termes de la suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme 1.
Question : quelle est valeur de la somme 𝑆𝑛= 1 + 2 + 4 +. . .+ 2𝑛−1?
𝑆𝑛= 1 + 2 + 4 +. . .+ 2𝑛−1 est la somme des 𝑛 premiers termes de la suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme 1.
𝑆𝑛= 1×1−2𝑛
1−2 = 2𝑛−1 est la somme des𝑛 premiers termes de la suite g´eom´etrique de raison 2 et de premier terme 1.
Conclusion : la somme𝑆𝑛 est 2𝑛−1.
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2.1 D´efinition d’une suite g´eom´etrique 2.2 D´emontrer qu’une suite est g´eom´etrique 2.3 Calcul du terme de rang𝑛
2.4 Somme des𝑛premiers termes