Suites arithm´etiques

Plan 5.4 Suites arithm´etiques

Suites arithm´ etiques

KBIDA A.

mardi 14 f´evrier 2006

Plan 5.4 Suites arithm´etiques

5.4 Suites arithm´etiques

5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme des npremiers termes

Plan 5.4 Suites arithm´etiques

5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

D´ efinition

• Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutant au terme pr´ec´edent le mˆeme r´eel, appel´e raison, la suite est dite arithm´etique.

• la suiteU est arithm´etique de raison r, signifie que pour toutn∈N, on a :U_n+1=U_n+r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

D´ efinition

• Lorsqu’on obtient chaque terme d’une suite en ajoutant au terme pr´ec´edent le mˆeme r´eel, appel´e raison, la suite est dite arithm´etique.

• la suiteU est arithm´etique de raison r, signifie que pour toutn∈N, on a :Un+1=Un+r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

• 5 ; 8 ; 11 ; 14 ;. . .est une suite arithm´etique, de premier terme 5 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

M´ ethode :

Pour d´emontrer qu’une suiteU est arithm´etique il faut :

montrer que pour toutn∈Nla diff´erence U_n+1−U_n est un r´eel r constant

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

M´ ethode :

Pour d´emontrer qu’une suiteU est arithm´etique il faut :

montrer que pour toutn∈Nla diff´erence U_n+1−U_n est un r´eel r constant

Plan 5.4 Suites arithm´etiques

5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non a U_n= 3n+ 1 et

U_n+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.

La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non a U_n= 3n+ 1 et

U_n+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.

La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non a U_n= 3n+ 1 et

U_n+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.

La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non aU_n= 3n+ 1 et

Un+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u

U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3. La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non aU_n= 3n+ 1 et

Un+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.

La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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Exercices

Les suites (U_n)_n∈

N suivantes sont-elles arithm´etiques ?

a)U_n= 3n+ 1 b) U_n=n²+ 1

a) Les quatre premiers termes sontU₀ = 1 ; U₁ = 4 ;U₂ = 7 ;U₃ = 10.

Pour toutn∈Non aU_n= 3n+ 1 et

Un+1= 3(n+ 1) + 1 = 3n+ 3 + 1 = 3n+ 4 d’o`u U_n+1−U_n= 3n+ 4−(3n+ 1) = 3.

La suite (U_n)_n∈

N est une suite arithm´etique de premier termeU₀ = 1 et de raison 3.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

b) Les trois premiers termes sontU₀ = 1 ;U₁ = 2 ; U₂ = 5.

La diff´erenceU_n+1−U_n n’est pas constante en effet,U₁−U₀= 1 etU₂−U₁= 3.

La suite (U_n)_n∈

N n’est donc pas une suite arithm´etique.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

b) Les trois premiers termes sontU₀ = 1 ;U₁ = 2 ; U₂ = 5.

La diff´erenceU_n+1−U_n n’est pas constante en effet,U₁−U₀= 1 etU₂−U₁= 3.

La suite (U_n)_n∈

N n’est donc pas une suite arithm´etique.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exercices

b) Les trois premiers termes sontU₀ = 1 ;U₁ = 2 ; U₂ = 5.

La diff´erenceU_n+1−U_n n’est pas constante en effet,U₁−U₀= 1 etU₂−U₁= 3.

La suite (U_n)_n∈

N n’est donc pas une suite arithm´etique.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Introduction

• Consid´erons la suite arithm´etique U de premier termeU₁ = 5 et de raison de −3.

• U₂ =U₁+r = 5−3 = 2

• U3 =U2+r= (U1+r) +r =U1+ 2r = 2−3 =−1

• U4 =U3+r= (U1+2r)+r=U1+3r=−1−3 =−4

• On admet que pour tout entier n∈N^∗, on a : Un=U1+ (n−1)r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Introduction

• Consid´erons la suite arithm´etique U de premier termeU₁ = 5 et de raison de −3.

• U₂ =U₁+r= 5−3 = 2

• U3 =U2+r= (U1+r) +r =U1+ 2r = 2−3 =−1

• U4 =U3+r= (U1+2r)+r=U1+3r=−1−3 =−4

• On admet que pour tout entier n∈N^∗, on a : Un=U1+ (n−1)r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Introduction

• Consid´erons la suite arithm´etique U de premier termeU₁ = 5 et de raison de −3.

• U₂ =U₁+r= 5−3 = 2

• U3 =U2+r= (U1+r) +r =U1+ 2r = 2−3 =−1

• U4 =U3+r= (U1+2r)+r=U1+3r=−1−3 =−4

• On admet que pour tout entier n∈N^∗, on a : Un=U1+ (n−1)r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Introduction

• Consid´erons la suite arithm´etique U de premier termeU₁ = 5 et de raison de −3.

• U₂ =U₁+r= 5−3 = 2

• U3 =U2+r= (U1+r) +r =U1+ 2r = 2−3 =−1

• U4 =U3+r= (U1+2r)+r=U1+3r=−1−3 =−4

• On admet que pour tout entier n∈N^∗, on a : Un=U1+ (n−1)r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Introduction

• Consid´erons la suite arithm´etique U de premier termeU₁ = 5 et de raison de −3.

• U₂ =U₁+r= 5−3 = 2

• U3 =U2+r= (U1+r) +r =U1+ 2r = 2−3 =−1

• U4 =U3+r= (U1+2r)+r=U1+3r=−1−3 =−4

• On admet que pour tout entier n∈N^∗, on a : Un=U1+ (n−1)r.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme

Le terme de rangn d’une suite arithm´etique U de premier termeU₁ et de raisonr est :

U_n=U₁+ (n−1)r

Si le premier terme estU₀ alors le terme de rangn est :

Un=U0+nr.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme

Le terme de rangn d’une suite arithm´etique U de premier termeU₁ et de raisonr est :

U_n=U₁+ (n−1)r

Si le premier terme estU₀ alors le terme de rangn est :

Un=U0+nr.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme

Le terme de rangn d’une suite arithm´etique U de premier termeU₁ et de raisonr est :

U_n=U₁+ (n−1)r

Si le premier terme estU₀ alors le terme de rangn est :

Un=U0+nr.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme

Le terme de rangn d’une suite arithm´etique U de premier termeU₁ et de raisonr est :

U_n=U₁+ (n−1)r

Si le premier terme estU₀ alors le terme de rangn est :

Un=U0+nr.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

soit la suite arithm´etique de premier terme U₁ = 12 et de raison 3.

Le terme de rang 50

U₅₀=U₁+ (50−1)×r= 12 + 49×3 = 159.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

soit la suite arithm´etique de premier terme U₁ = 12 et de raison 3.

Le terme de rang 50

U₅₀=U₁+ (50−1)×r= 12 + 49×3 = 159.

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme :

La somme des npremiers termes d’une suite arithm´etique U de premier termeU1 est :

Sn=

n

X

i=1

Ui=U1+U2. . .+Un−1+Un= n(U1+Un) 2

Somme = nb de termes×(1^erterme + dernier terme) 2

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme :

La somme des npremiers termes d’une suite arithm´etique U de premier termeU1 est :

Sn=

n

X

i=1

Ui=U1+U2. . .+Un−1+Un= n(U1+Un) 2

Somme = nb de termes×(1^erterme + dernier terme) 2

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Th´ eor` eme :

La somme des npremiers termes d’une suite arithm´etique U de premier termeU1 est :

Sn=

n

X

i=1

Ui=U1+U2. . .+Un−1+Un= n(U1+Un) 2

Somme = nb de termes×(1^erterme + dernier terme) 2

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique de premier termeU₁ = 1 et de raison 2.

S_n=U₁+U₂. . .+Un−1+U_n= 1+3+5. . .+(2n−1) Sn= (1+2n−1)(n)

2 =n²

La somme des npremiers nombres impairs est

´egale `an²

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique de premier termeU₁ = 1 et de raison 2.

S_n=U₁+U₂. . .+Un−1+U_n= 1+3+5. . .+(2n−1)

Sn= (1+2n−1)(n)

2 =n²

La somme des npremiers nombres impairs est

´egale `an²

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique de premier termeU₁ = 1 et de raison 2.

S_n=U₁+U₂. . .+Un−1+U_n= 1+3+5. . .+(2n−1) Sn= (1+2n−1)(n)

2 =n²

La somme des npremiers nombres impairs est

´egale `an²

Plan 5.4 Suites arithm´etiques

5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

Exemple

Soit la suite arithm´etique de premier termeU₁ = 1 et de raison 2.

S_n=U₁+U₂. . .+Un−1+U_n= 1+3+5. . .+(2n−1) Sn= (1+2n−1)(n)

2 =n²

La somme des npremiers nombres impairs est

´egale `an²

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5.4.1 Notion de suite arithm´etique 5.4.2 Calcul du terme de rangn 5.4.3 Somme desnpremiers termes

FIN.