M ath ematiques ´ - ECS1
4
E l ements d ´ ’ int egration ´
Lyc´eeLaBruy`ere 30avenue deParis 78000 Versailles
2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
4.1 Objectifs
Primitive d’une fonction continue sur un intervalle.
Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.
Résultat admis.
Intégrale d’une fonction continue sur un segment.
Relation de Chasles.
Si f est continue sur un intervalle I, pour tout (a,b)∈I2, on définit l’intégrale de f deaàbpar :
Z b a
f(t) dt=F(b)−F(a),
oùFest une primitive def surI. Cette définition est indépendante du choix de la primitiveF de f surI.
Linéarité, relation de Chasles, positivité et croissance.
Cas d’une fonction continue, positive sur [a,b] et d’intégrale nulle.
Si f est continue sur [a,b] eta6b,
Z b a
f(t)dt
6 Z b
a
|f(t)|dt.
Intégration par parties.
4.2 Rappels d’intégration (sur un segment) 4.2.1 Définition de l’intégrale
Définition 1. Soit Jun intervalle deRnon vide non réduit à un point et f : J −→R une fonction.
Une primitive de f désigne toute fonctionF:J−→Rdérivable vérifiantF0= f.
Exemple 1. Une primitive dex7−→ 1
xsur ]0,+∞[ est la fonction ln.
Exemple 2. Soitαun nombre réel non nul. Une primitive dex7−→ eαxsurRest la fonction x7−→ eαx
α .
Exemple 3. Une primitive dex7−→ x
√ 1+x2
surRest la fonctionx7→
√ 1+x2. Exemple 4. Une primitive dex7−→ x+1
x2+2x+3sur ]0,+∞[ est la fonctionx7−→ 1 2ln(|x2+ 2x+3|).
Exemple 5. Soit αun nombre réel non nul. Une primitive dex 7−→ sinαxsurRest la fonctionx7−→ −cosαx
α .
Exemple 6. Une primitive dex7−→x(1+x2)4surRest la fonctionx7→ 1
10(1+x2)5. 2
4.2 Rappels d’intégration (sur un segment) 3
Théorème 1. Si f est une fonction continue sur J alors f possède au moins une primi- tive sur J.
Si F est l’une d’entre elle, alors l’ensemble des primitives de f sur J est l’ensemble des fonctions x∈J7→F(x)+k où k est un réel quelconque.
Le deuxième point se reformule en disant que deux primitives d’une même fonction continue diffèrent par une constante
Définition 2. Soit fune fonction continue sur l’intervalleJetFune primitive de f sur J.
La quantitéF(b)−F(a) ne dépend pas de la primitiveFchoisie.
L’intégrale de f sur le segment [a,b], notée Z b
a
f(t) dt, est définie par Z b
a
f(t) dt=F(b)−F(a)
Remarque1.Si f : J→Rune fonction continue sur un intervalleJeta,bdeux points de Jalors
Z a a
f(t) dt=0et Z a
b
f(t) dt=− Z b
a
f(t) dt Exemple 7. Calculer l’intégrale
Z 1
−1
t4(1+t5)5dt
Exemple 8. Calculer l’intégrale Z e2
1
lnt t dt Exemple 9. Calculer l’intégrale
Z π 4
0
sintcos3tdt
4.2.2 Lien entre primitive et intégrale
Théorème 2. Soit g:J−→Rune fonction continue et a∈J.
Si g est une fonction continue sur J, la fonction G définie sur J par G(x)=Z x
a
g(t) dt est une primitive de g sur J.
C’est la primitive de g qui s’annule en a.
Exemple 10. Trouver une primitive dex7→ 1
x(x+1) sur ]0,+∞[.
Exemple 11. Trouver une primitive dex7→cos2xsin(3x) surR. Exemple 12. La fonctionAdéfinie sur RparA(x) = Z x
0
1
1+t2 dt est une primitive de x7→ 1
1+x2 surR.
Exemple 13. La fonction E définie sur R par E(x) = Z x 0
e−t2dt est une primitive de x7→ e−x2surR.
4.3 Propriétés de l’intégrale 4.3.1 Linéarité
Proposition 1. Soient f,g: [a,b]→Rdeux fonctions continues etλ∈R. Z b
a
(λf(t)+g(t)) dt=λZ b a
f(t) dt+Z b a
g(t) dt
4.3.2 Propriété d’additivité
Proposition 2. Soient f : [a,b]→Rune fonction continue et c∈]a,b[.
Z b a
f(t) dt=Z c a
f(t) dt+Z b c
f(t) dt
Cette propriété se généralise à un nombre fini de points.
Proposition 3. Soit c1,c2, . . . ,cnune suite finie de points de[a,b].
Zb a
f(t) dt=Zc1 a
f(t) dt+Zc2 c1
f(t) dt+· · ·+Zcn cn−1
f(t) dt+Zb cn
f(t) dt
4.3.3 Positivité et stricte-positivité
Positivité de l’intégrale .Soienta,bdeux réels tels quea<bet f,g: [a,b]→Rdeux fonctions continues.
Si f est positive sur [a,b] alors
Z b a
f(t) dt>0
Remarque2.Bien évidemment, la positivité de l’intégrale implique aussi que sif est conti- nue et négative sur[a,b]alors
Z b a
f(t) dt>0.
Proposition 4. Soient a,b deux réels tels que a<b et f,g: [a,b]→Rdeux fonctions continues.
4.4 Intégration par parties. 5
Si f >g sur[a,b]alors
Z b a
f(t) dt>
Z b a
g(t) dt
Stricte-positivité de l’intégrale .Si f : [a,b]→Rest une fonction
— continue
— positive
— et telle que Z b
a
f(t) dt=0 alors
∀x∈[a,b], f(x)=0.
Exemple 14. Soit f : [0,1]→Rune fonction polynômiale de degré au plus 2. On suppose que
Z 1 0
f(t) dt=Z 1 0
t f(t) dt=Z 1 0
t2f(t) dt=0.
Montrer que f est nulle.
Inégalité triangulaire intégrale .Soientaetbdeux réels tels quea<bet f : [a,b]→ Rune fonction continue.
Z b a
f(t) dt 6
Z b a
|f(t)|dt
4.4 Intégration par parties.
4.4.1 Fonctions de classeC1
Définition 3. SoitJun intervalle deRnon vide, non réduit à un point et f : J−→R une fonction.
On dit que f est de classeC1surJsi
— f est dérivable surJet
— sa dérivée f0est continue surJ.
Le graphique ci-dessous repr´sente une fonction continue qui n’est pas de classeC1car elle n’est pas dérivable en certains points (lesquels ?). Les tangentes ne varient pas continûment le long de la courbe.
~i
~j
0 x
y
y= f(x)
En revanche, sur le graphique ci-dessous, les tangentes à la courbe existent et varient conti- nûment donc la courbe représentée est celle d’une fonction de classeC1.
~i
~j
0 x
y
y=g(x)
Un autre exemple de fonction qui n’est pas de classeC1(vue en classe) : la fonction définie surRpar
h(x)=
(x2sin(1x) si x,0
0 si x=0
dont l’allure est représentée ci-dessous :
~i
~j
0 x
y
y=h(x)
Exemple 15. Les fonctions affinesx7→mx+p, polynômes de degré deuxx7→ax2+bx+c et plus généralement les fonctions polynômes de degré quelconque sont de classeC1surR. Exemple 16. Les fonctions exp et ln sont de classeC1sur leur intervalle de définition.
Exemple 17. Les fonctions sin et cos sont de classeC1surR
Proposition 5. Soit J un intervalle deRnon vide, non réduit à un point.
— La somme, le produit de fonctions de classeC1sur J sont encore des fonctions de classeC1sur J.
4.5 Formulaire d’intégration 7
— Un quotient défini de fonctions de classeC1sur J est encore une fonction de classe C1sur J.
— La composée de deux fonctions de classeC1est encore une fonction de classeC1 sur le domaine où elle est définie.
Exemple 18. Les fonctions rationnelles (quotient de fonctions polynômes) sont de classe C1sur leur intervalle de définition.
Exemple 19. La fonctionx7→ln(1+x2) est une fonction de classeC1surR. Exemple 20. La fonctionx7−→ ex+1
ex−1 est une fonction de classeC1sur ]− ∞,0[ et sur ]0,+∞[.
4.4.2 Formule d’intégration par parties
Formule fondamentale du calcul intégral .Si f est de classeC1sur [a,b] alors f(b)−f(a)=Z b
a
f0(t) dt
Théorème d’intégration par parties .Si f etgsont de classeC1sur [a,b]
Z b a
f(t)g0(t) dt= f(b)g(b)−f(a)g(a)− Z b
a
f0(t)g(t) dt
Notation :f(t)g(t)b
a= f(b)g(b)−f(a)g(a) Exemple 21. Calculer, pourx>0, l’intégrale
Z x 1
lntdt
Exemple 22. Calculer, pourx∈R, l’intégrale Z x
1
tcostdt
Exemple 23. Calculer, pourx∈R, l’intégrale Z x
0
te−tdt
4.5 Formulaire d’intégration
Primitives usuelles.
Notation: si f est continue sur un intervalleI alors Z
f(t) dtdésigne la valeur ent de l’une quelconque des primitives de f. La lettreCdésigne une constante arbitraire.
Z
eαt dt = eαt
α +C (α,0) I=R
Z
tα dt = tα+1
α+1 +C (α,−1) I=]0,+∞[
Z 1
1+t2 dt = Arctant +C I=R
Z
cos(αt) dt = sin(αt)
α +C (α,0) I=R
Z
sin(αt) dt = −cos(αt)
α +C (α,0) I=R
Z 1
cos2t dt = tant +C I=
−π 2 +kπ,π
2+kπ ,k∈Z
Z
tant dt = −ln|cost| +C I=
−π 2 +kπ,π
2+kπ ,k∈Z
Z 1
t dt = ln|t| +C I=]− ∞,0[ ou ]0,+∞[
Z 1
1−t2 dt = 1 2ln
1+t 1−t
+C I=]− ∞,−1[ ou ]−1,1[ ou ]1,+∞[
Z
lntdt = tlnt−t +C I=]0,+∞[
Formes usuelles à connaître.
4.6 Exercices 9
Z
u0(t)u(t)n dt = u(t)n+1
n+1 +C (n,−1)
Z u0(t)
u(t)2 dt = − 1
u(t) +C
Z u0(t)
u(t) dt = ln(|u(t)|) +C
Z u0(t)
u(t)n dt = − 1
(n−1)u(t)n−1 +C (n,1) Z u0(t)
2√
u(t) dt = √
u(t) +C
Z
u0(t) cos(u(t)) dt = sin(u(t)) +C Z
u0(t) sin(u(t)) dt = −cos(u(t)) +C Z
u0(t) eu(t) dt = eu(t) +C Z u0(t)
1+u(t)2 dt = Arctan u(t) +C Z
u0(t)f(u(t)) dt = F(u(t)) +C Fest une primitive de f
4.6 Exercices
Exercice1. Calculer les intégrales suivantes : Z x
0
t
1+t2 dt, Z x 0
t
1+t dt, Z x 1
1
t(lnt)3 dt, Z
√x
0
te−t
2
2 dt, Z π2
π 6
cos(3t) dt, Z 1
−1
(2t+1)3dt, Z x 0
√ t 1+2t2
dt, Z π4
−π3
tantdt, Z π 0
cos 2xsinxcosxdx, Z 0
x
et
1+ et dt, Z π3
−π 6
cost
1−sint dt, Z e 1
cos(πlnt)
t dt
Z
√ 3
√ 2
1
t6 dt, Z π2
π 6
cos(3t) dt, Z 1 0
t−2
(2t−3)2 dt, Z 1 0
t3 (1+t4)2 dt
Exercice2. Sachant que la fonctionx7→(√
3 cos 2x−sin 2x) exadmet une primitive de la formex7→(acos 2x+bsin 2x) ex, calculer l’intégrale
Z π4
0
(
√
3 cos 2x−sin 2x) exdx
Exercice3. SoientI,J,Kles intégrales suivantes I=Z π8
0
e−2tcos2tdt, J=Z π8
0
e−2tsin2tdt, K=Z π8
0
e−2tcos(2t) dt (1) A l’aide de deux intégrations par parties successives, calculerK.
(2) CalculerI+JetI−J. En déduireIetJ.
Exercice4. SoientI,J,Kles intégrales suivantes I=Z π2
0
cost
1+2 sint dt, J=Z π2
0
sin 2t
1+2 sint dt, K=I+J (1) CalculerKpuisI.
(2) En déduireJ.
Exercice5. A l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes Z x
1
t3lntdt, Z π3
−π 6
tsintdt, Z π4
0
tcos2tdt, Z x 0
ln(t+√
1+t2) dt Z 2
0
(t2−2t+5) e−tdt
Exercice6.(1) Déterminer des réels a,b,ctels que : pour tout x ∈ R∗, 1 t(1+t2) = a
t +bt+c 1+t2.
(2) A l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégraleH(x)=Z √1x
1
2tlnt (1+t2)2 dt.
(3) Etudier la limite lim
x→0x>0
H(x).
(4) Justifier la dérivabilité de la fonctionHsur ]0,+∞[ et exprimerH0(x).
Exercice7. Pour tout nombre entier non nuln,on pose :In=Z 1 0
xn 1+xn dx
(1) A l’aide d’un encadrement convenable deIn,déterminer la limite de la suite (In).
(2) Montrer que lim
n→+∞
Z 1 0
1
1+xn dx=1.
(3) Pour tout nombre entier naturel non nuln,on pose :Jn=nIn. (a) Montrer que :Jn=ln 2−
Z 1 0
ln(1+xn) dx.
(b) Montrer que, pour tout nombre réel positift: 06ln(1+t)6t.En déduire la limite de la suite (Jn).
4.6 Exercices 11
Exercice 8. Pourn ∈ N, on poseIn = Z π 4
0
cosnx
cosnx dx. Etablir une relation entreIn et In+1.
Exercice9.Intégrales de Wallis.On poseIn=Z π 2
0
cosn(x) dxsin∈N(Ins’appelle intégrale de Wallis de rangn).
(a) Montrer que la suite (In)nest positive et décroissante.
(b) Montrer queIn+2 =n+1
n+2Inet expliciterInen discutant suivant la parité den.
(c) En déduire, pour toutp∈N, les valeurs deI2petI2p+1.
Exercice10.Lemme de Riemann-Lebesgue.Soit f une fonction de classeC1 sur un intervalle [a,b] (aveca<b). Montrer que lim
n→+∞
Z b a
f(t) cos(nt) dt=0.
Exercice11. Soientmetndeux entiers. Déterminer une primitive de la fonction x7→
cos(mx) sin(nx).
Exercice12. Soitf la fonction définie surR− {−1,2}par f(x)= x2+2
(x+1)3(x−2) (1) Déterminer des réelsa,b,c,dtels que
∀x>2, x2+2
(x+1)3(x−2) = a
(x+1)3 + b
(x+1)2 + c x+1 + d
x−2 (2) En déduire une primitive de f sur ]2,+∞[ puis sur ]−1,2[ et sur ]− ∞,−1[.
Exercice13. A l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonc- tionx7→ e2xsin(3x) surR.
Exercice14. A l’aide d’une intégration par parties, déterminer une primitive de la fonc- tionx7→cos(lnx) sur ]0,+∞[.
Exercice15. Pour toutn∈N∗, on poseIn=Z 1 0
xnex2dx.
(1) CalculerI1.
(2) Trouver une relation entreInetIn+2.
Exercice16. Pour toutn∈N,m∈N, montrer l’égalité Z 1
0
xm(1−x)ndx= m!n!
(m+n+1)!
Exercice17. On considère pour tout nombre entierp>0 les deux intégrales suivantes :
Ip= π Z2
0
cos2p(t) dt, Jp= π Z2
0
t2cos2p(t) dt et la suite (Sn) définie par
Sn=
n
X
p=1
1 p2.
(1) Convergence de la suite (Jp
Ip).
(a) Etablir, pour tout nombre réel t tel que 0 6 t 6 π
2, l’inégalité suivante : t6π
2sin(t).
(b) Etablir l’inégalité suivante pour tout nombre entierp>0 : 06Jp6π2
4(Ip−Ip+1).
(c) ExprimerIp+1en fonction deIpen intégrant par parties l’intégraleIp+1. Indication :on pourra poser u0(t) =cos(t)et v(t) = cos2p+1(t)dans l’inté- gration par parties.
(d) Déduire des résultats précédents que Jp
Ip tend vers 0 quandptend vers+∞.
(2) Convergence et limite de la suite (Sn).
(a) ExprimerIpen fonction deJpetJp−1en intégrant deux fois par parties l’in- tégraleIp(p>1).
(b) En déduire la relation suivante pourp>1 : Jp−1
Ip−1
−Jp Ip
= 1 2p2.
(c) CalculerJ0etI0, puis déterminer la limiteS de la suite (Sn).
4.7 Indications pour les exercices
Indication pour l’exercice11. Linéariser.
