Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2012-2013
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚2
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice 1 (´Equation polynomiale de degr´e 2 `a coefficients complexes) 8 pts 1. R´esoudre l’´equation
(E1) : z2 = 8−6i d’inconnue z ∈C.
2. Soit l’´equation
(E2) : iz2 −(13 +i)z+ 8−40i= 0 d’inconnue z ∈C. D´eterminer l’ensemble solution de (E2).
Exercice 2 (´Equation trigonom´etrique du type acos(x) +bsin(x) =c) 8 pts 1. ´Enoncer le cas d’´egalit´e de deux cosinus.
2. Soit l’´equation
(E) : cos
3x+π 4
=−1 2. D´eterminer l’ensemble ER des solutions de (E) sur R. 3. Soit l’´equation
(E′) : cos(3x)−sin(3x) =−
√2 2 . D´eterminer l’ensemble E]−π,π]′ des solutions de (E′) sur ]−π, π].
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Exercice 3 (Transformation d’une somme de cosinus en produit) 10 pts 1. ´Enoncer les relations d’Euler.
2. Soient p, q∈R. D´emontrer que :
cos(p) + cos(q) = 2 cos
p+q 2
cos
p−q 2
.
3. Soit l’´equation
(E) : 3 cos(5x) = cos(2x) + cos(12x)
d’inconnue x∈R. D´eterminer l’ensemble ER des solutions de (E) sur R.
Exercice 4 (Lin´earisation de sin5(x)) 10 pts
1. ´Enoncer la formule du binˆome de Newton.
2. ´Enoncer la formule de Moivre, puis la d´emontrer.
3. Soit x∈R. Lin´eariser sin5(x).
Exercice 5 (Autour des racines septi`emes de l’unit´e) 24 pts 1. Expliciter l’ensemble U7 des racines septi`emes de 1.
2. Soient n∈N et q∈C\ {1}. que vaut la somme suivante ?
n
X
k=0
qk
3. D´emontrer que la somme des racines septi`emes de 1 est nulle.
4. Soit S la somme d´efinie par : S = sin
2π 7
+ sin
4π 7
+ sin
6π 7
+ sin
8π 7
+ sin
10π 7
+ sin
12π 7
.
(a) ´Ecrire la somme S `a l’aide du symbole sommatoire X . (b) Calculer la somme S.
5. ´Enoncer le cas d’´egalit´e de deux formes trigonom´etriques.
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6. Soit l’´equation
(E) : z6 =z
d’inconnue z ∈C. D´eterminer l’ensemble solution de (E).
Exercice 6 (Autour des racines quatri`emes de −1) 26 pts 1. Soit l’´equation
(E1) : Z4 =−1
d’inconnue Z ∈C. D´eterminer l’ensemble solution de (E1).
2. Soit l’´equation
(E2) : (z−i)4+ (z+i)4 = 0 d’inconnue z ∈C.
(a) D´eterminer l’ensemble solution de (E2).
(b) Donner la forme alg´ebrique de chacune des solutions de (E2).
(c) Que remarque-t-on ?
Exercice 7 (Calcul d’une somme trigonom´etrique) 10 pts 1. D´eterminer l’ensemble des r´eels x tels que eix = 1.
2. Soient x∈R et soitn ∈N. Calculer la somme S(n, x) d´efinie par : S(n, x) =
n
X
k=0
cos(kx).
Exercice 8 (Autour d’une somme de termes de suite g´eom´etrique) 25 pts Soit n ∈N≥2. R´esoudre l’´equation
(E) : 1 + 2z+ 2z2+. . .+ 2zn−1+zn= 0 d’inconnue z ∈C.
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Exercice 9 (Fonction homographique) 24 pts 1. Soit f:E →F une fonction r´eelle de la variable r´eelle.
(a) Donner la d´efinition de l’assertion ≪f est bijective≫. (b) On suppose ici quef bijective.
(i) Donner la d´efinition de la bijection r´eciproque f−1 de f.
(ii) Citer trois propri´et´es fondamentales def−1. 2. Soit f la fonction d´efinie par :
f: R\ {1} →R\ {3}; x7→ 3x−1 x−1 . (a) Justifier quef est bien d´efinie, i.e. que pour toutx∈R\ {1} :
• f(x) est bien d´efinie ;
• f(x)∈R\ {3}. (b) Montrer que f est bijective.
(c) Calculer f−1.
Exercice 10 (Algorithmique) 10 pts
Soient (a, b, c)∈R3.
Ecrire un algorithme qui affiche le nombre de solution(s) de l’´equation :´ ax+b =c
d’inconnue x∈R.
On commencera par faire une analyse math´ematique du probl`eme.
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