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Devoir surveill´ e N
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Lundi 14 novembre 2005 Exercice 1 :Soient les fonctions d´efinies respectivement surRetR− {−1}par : f(x) = 2x+ 1 etg(x) = 1
x+ 1
. On consid`ere les courbes repr´esentativesCf etCg des fonctionsf etg dans le rep`ere. (O;−→ i ,−→
j) 1. D´eterminer alg´ebriquement les coordonn´ees des points d’intersection deCf et deCg
Exercice 2 :SoitABCD un carr´e de centreO et de cˆot´ea. On noteI le milieu de [AB]. SoitE l’ensemble des pointsM tels que :
||−−→
M O+−−→
M B−−−→M C||= a 2. 1. D´emontrer que le pointI appartient `aE.
2. D´eterminer et tracer l’ensembleE.
Exercice 3 : R´epondre par vrai ou faux aux assertions suivantes. On demande une d´emonstration si l’assertion est vraie et un contre-exemple si l’assertion est fausse.
SoitI un intervalle sym´etrique deR, toutes les fonctions de cet exercice sont d´efinies sur l’intervalleI.
1. Si f est une fonction paire etg une fonction impaire alors la fonctionh:
I → R
x 7−→ f(x)×g(x) est une fonction impaire.
2. Si une fonction est croissante alors elle ne peut pas ˆetre impaire.
3. Il n’existe pas de fontion `a la fois paire et impaire.
4. Si f est une fonction impaire alors la fonctionk:
I → R
x 7−→ |f(x)| est une fonction paire.
Exercice 4 :On consid`ere un quadrilat`ereABCD convexe. SoitF le milieu de [AD], Gle centre de gravit´e du triangle ABC et Ele point tel que : −−→
BE=−−→
DC.
1. D´eterminer trois r´eelsx,y etz tels queD soit le barycentre de (E, x), (B, y) et (C, z).
2. ExprimerF comme un barycentre deAet de D.
3. En d´eduire queF est le barycente (A,1),(B,1),(C,1) et (E,−1) puis que les pointsF,GetE sont align´es.
