L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚2
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme est sur 18, les deux points restants correspon- dront `a une note portant sur les qualit´es suivantes.
• Pr´esentation
• Clart´e des explications
• Justesse du vocabulaire et des symboles employ´es
• Conclusion correctement formul´ee `a chaque question
Exercice 1 : Le nombre complexej, la formule du binˆome et une ´equation complexe de degr´e 18 On rappelle quej=−1
2 +i
√3 2 .
1. (a) Soitz∈C. Montrer, avec soin, que :
(z−1)(z−j)(z−j) =z3−1.
(b) En d´eduire l’ensemble des solutions dansCde l’´equation z3= 1 d’inconnuez.
2. (a) ´Enoncer, avec soin, la formule du binˆome de Newton.
(b) Soitz∈C. D´evelopper, r´eduire et ordonner :
(z−1)6 en utilisant la formule du binˆome de Newton.
3. R´esoudre, dans C, l’´equation :
(E) : z18−6z15+ 15z12−20z9+ 15z6−6z3+ 1 = 0.
Exercice 2 : ´Etude des propri´et´es d’injectivit´e et de surjectivit´e d’une application 1. Soitf l’application d´efinie par :
f:R\{1} →R, x7→ x+ 1 x−1. (a) Montrer que l’applicationf est injective.
(b) Montrer que l’applicationf n’est passurjective.
1
2. Soitaun nombre r´eel quelconque. On d´efinit l’applicationfa par : fa: R\{a} →R\{a}, x7→ ax+ 1
x−a .
(a) Montrer que l’applicationfa est injective.
(b) Montrer que l’applicationfa est surjective.
(c) Calculer (fa)−1(y) pour tout y∈R\{a}. Que remarque-t-on ?
On rappelle que (fa)−1 d´esigne la bijection r´eciproque de l’application bijective fa.
Exercice 3 : Nombre total de cubes dans une construction r´ecursive
On consid`ere les constructions suivantes, effectu´ees avec des cubes de mˆeme dimension.
1 ´etage 2 ´etages 3 ´etages
etc
1 cube 4 cubes 10 cubes
Pour chaquen∈N∗, on notean le nombre de cubesde la couche inf´erieuredans la construction `an´etages. On observe que :
∀n∈N∗ an= Xn
k=1
k .
1. Soitn∈N∗. Donner une expression dean en fonction den.
2. Pour chaque n∈N∗, on pose :
Sn= Xn
k=1
ak.
(a) Soitn∈N∗. Que repr´esenteSn pour la construction `an´etages ? (b) Montrer par r´ecurrence que :
∀n∈N∗ Sn= n(n+ 1)(n+ 2)
6 .
3. Trouver le nombre d’´etages de la construction, sachant qu’il y a 100 fois plus de cubes (au total) que d’´etages, i.e. d´eterminern∈N∗ tel que :
nombre total de cubes dans la construction `an´etages = 100×n.
La calculatrice ´etant interdite, on fournit l’identit´e :492= 2401.
2
Exercice 4 : Un calcul de double somme
1. Soient n,pet ktrois entiers tels que : 0≤k≤p≤n. Montrer que : Cnk ×Cnp−−kk=Cpk ×Cnp. 2. Soient netpdeux entiers tels que : 0≤p≤n. Montrer que :
Xp
k=0
Cnk × Cnp−k
−k = 2p ×Cnp. 3. Soitnun entier naturel. Montrer que :
Xn
p=0
Xp
k=0
Cnk ×Cnp−−kk= 3n.
Exercice 5 : Th´eor`eme d’Al-Kashi
Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j). On consid`ere un triangle ABC et l’on pose a = BC, b=AC et c=AB.
b
A
b
B c
b
C a
b
1. (a) Soit−→u un vecteur du plan. Exprimer||−→u||2`a l’aide d’un produit scalaire.
(b) D´eduire de (a) une expression dea2en termes de produit scalaire. Faire de mˆeme pourb2 etc2. (c) Rappeler le lien entre cos(\BAC) et un certain produit scalaire.
(d) D´evelopper le produit scalaire (−−→
BA+−→
AC).(−−→
BA+−→
AC).
(e) D´eduire de (b), (c) et (d) l’identit´e suivante, due `a Al-Kashi : a2=b2+c2−2bccos(\BAC).
2. Calculer une mesure (en radians) de l’angle \BAC, dans le cas o`uAB = 2√
2,AC= 6 etBC= 2√ 5.
Probl`eme : Aire d’un triangle en fonction des coordonn´ees des sommets Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j).
Partie A : ´Etude de l’aire d’un triangle particulier
SoientA(2; 5), B(7; 4) etC(1;−2) trois points du plan.
1. Montrer que les trois pointsA, Bet C ne sont pas align´es.
3
2. Donner la d´efinition du projet´e orthogonalH deA sur la droite (BC).
3. Que repr´esente le segment [AH] pour le triangleABC? 4. Donner une ´equation cart´esienne de la droite (BC).
5. Calculer les coordonn´ees deH.
6. D´eterminer la distance du point A`a la droite (BC).
7. Donner l’aire du triangleABC.
8. D´eterminer une ´equation cart´esienne du cercle circonscrit au triangleABC, i.e. passant par les pointsA, B etC.
Partie B : `A la recherche d’un triangle d’aire maximale, dans une famille de triangles
A tout` m∈]0; 6[, on associe les points :
Am(m; 0) Bm(0;m) Cm(8−m; 4).
1. Tracer sur une mˆeme figure, en utilisant trois couleurs diff´erentes :
• le triangleAmBmCmpour m= 1 ;
• le triangleAmBmCmpour m= 3 ;
• le triangleAmBmCmpour m= 5.
2. Soitm∈]0; 6[ quelconque.
(a) Prouver que les pointsAm,Bm,Cmne sont pas align´es.
(b) Donner une ´equation de la droite (AmBm).
(c) Calculer les coordonn´ees du projet´e orthogonalHmdeCmsur (AmBm).
(d) Que repr´esente le segment [CmHm] pour le triangle AmBmCm? (e) Calculer la distance du pointCm `a la droite (AmBm).
(f) Donner une expression de l’aireAmdu triangleAmBmCm.
3. Montrer qu’il existe un uniquem0∈]0; 6[ tel que l’aireAm0 du triangleAm0Bm0Cm0 est ´egale `a 9.
4. D´eterminer le signe de l’expressionx2−6x+ 9 pour toutx∈R. 5. D´eduire des trois questions pr´ec´edentes que pour tout m∈]0; 6[ :
Am≤ Am0
i.e. le triangleAm0Bm0Cm0 est le triangle d’aire maximale parmi les trianglesAmBmCmo`um∈]0,6[.
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