L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚2
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme est sur 18, les deux points restants correspondront `a une note portant sur les qualit´es suivantes.
• Pr´esentation
• Clart´e des explications
• Justesse du vocabulaire et des symboles employ´es
• Conclusion correctement formul´ee `a chaque question
Exercice 1 : Position relative de deux droites du plan.
On munit le plan d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j ).
Soit le pointA(−3,4) et soit ∆ la droite d’´equation cart´esiennex+y−2 = 0. `A chaqueθ ∈R, on associe la droite Dθ passant par le pointA et dirig´ee par le vecteur −→uθ(cos(θ),sin(θ)).
1. D´eterminer les valeurs de θ pour lesquelles Dθ //∆.
2. D´eterminer les valeurs de θ pour lesquelles Dθ ⊥ ∆.
Exercice 2 : Une famille de plans dans l’espace.
L’espace est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→
j ,−→ k).
1. SoientA(2,−2,1), B(1,1,−1), C(1,3,−3) trois points.
(a) Montrer que les points A, B etC ne sont pas align´es.
(b) Donner une repr´esentation param´etrique et une ´equation cart´esienne du plan (ABC).
(c) D´eterminer les coordonn´ees du projet´e orthogonal D0 du pointD(3,2,1) sur le plan (ABC) et calculer la distance de Dau plan (ABC).
1
2. Soitα∈R. (a) Justifier que
x=t
y = 2−2t+α t0 z = 1 +α t−t0
est une repr´esentation param´etrique (de param`etres t, t0 ∈R) de plan.
(b) On note Pα le plan de repr´esentation param´etrique celle donn´ee en (a). Donner une
´equation cart´esienne dePα.
(c) D´eterminer l’ensemble des α∈R tels que la droite (AD) est parall`ele au plan Pα. (d) D´eterminer l’ensemble des α∈R tels que les plans (ABC) et Pα sont parall`eles.
(e) D´eterminer l’ensemble des α∈R tels que B ∈ Pα.
(f) Existe-t-ilα ∈Rtel que les plans (ABC) et Pα sont confondus ?
Exercice 3 (D’apr`es le sujet du concours A TB 2007)
1. On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]−1,+∞[ par f(x) = ln(1 +x).
(a) D´eterminer les variations def, ses limites en −1 et en +∞, pr´eciser f(0) et f0(0).
(b) Montrer que la fonction a7→
Z a
−a
f(t)dt admet une limite finie quand atend vers 1 par valeurs inf´erieures, limite que l’on d´eterminera.
2. On consid`ere la fonction g d´efinie sur ]−1,+∞[ par g(x) = f(x)−x.
(a) ´Etudier les variations deg et en d´eduire le signe def(x)−xpour toutx∈]−1,+∞[.
(b) Soit Cf la courbe repr´esentative de la fonctionf et soit ∆ la droite d’´equationy=x dans un rep`ere (O,−→
i ,−→
j ) du plan.
Pr´eciser la position relative de Cf et ∆, puis tracer l’allure de Cf et la droite ∆.
3. On forme la suite num´erique r´eelle (un)n∈N de premier terme u0 = 1 satisfaisant `a la relation de r´ecurrence :∀n ∈N,un+1 =f(un).
(a) Montrer que ∀n ∈N, un est bien d´efini et compris entre 0 et 1.
(b) Montrer que la suite (un)n∈N est d´ecroissante.
2
(c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que la suite (un)n∈N converge et donner sa limite.
(d) D´eterminer la limite de un+1 un
quand n tend vers +∞.
Exercice 4 : Des sous-espaces vectoriels de R3 associ´es `a une matrice 3×3.
Soit A=
1 0 −1
1 −1 −5
0 1 4
. On rappelle que la matrice I3 est d´efinie par I3 =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
.
Pour tout λ∈R, on note Eλ le sous-ensemble de R3 d´efini par : Eλ =
x y z
∈R3 : A
x y z
=λ
x y z
.
1. Montrer que pour tout λ ∈R,Eλ est un sous-espace vectoriel de R3.
2. Montrer que si λ1 etλ2 sont deux r´eels distincts, alors Eλ1 ∩Eλ2 =
0 0 0
.
3. Calculer le rang de la matriceA−λI3.
Indication : On pourra distinguer plusieurs cas, suivant la valeur du param`etre λ.
4. D´eduire de 3. que Eλ =
0 0 0
pour tout λ∈R tel que λ6= 0 et λ6= 2.
5. D´eterminer une base et la dimension de Eλ pourλ= 0 et pour λ= 2, i.e. deE0 et de E2. 6. D´eterminer la dimension deE0⊕E2(la somme est directe d’apr`es (2.)) et un suppl´ementaire
deE0⊕E2 dans R3.
Exercice 5 : Polynˆomes (im)pairs et polynˆomes de Lagrange.
Les questions 1 et 2 sont ind´ependantes.
On consid`ere le R-espace vectoriel R3[X].
1. On d´efinit l’ensemble P des ´el´ements de R3[X] pairs par :
P ={P ∈R3[X] : ∀x∈R P(−x) = P(x)}
et l’ensemble I des ´elements de R3[X] impairs par :
I ={P ∈R3[X] : ∀x∈R P(−x) =−P(x)}. 3
(a) D´emontrer que P et I sont deux sous-espaces vectoriels deR3[X].
(b) Donner une base et la dimension de P et I.
(c) Montrer que P et I sont suppl´ementaires dans R3[X].
2. (a) Soient quatre nombres r´eelsy0, y1, y2, y3. D´emontrer qu’il existe un uniqueP ∈R3[X]
v´erifiant les 4 conditions :
P(0) =y0 ; P(1) =y1 ; P(2) =y2 et P(3) =y3.
Indication : On ne demande pas de d´eterminer les coefficients de P, mais simple- ment de prouver son existence et son unicit´e.
(b) Soient les polynˆomes (dits de Lagrange) L0(X) =−1
6(X−1)(X−2)(X−3) L1(X) = 1
2X(X−2)(X−3) L2(X) =−1
2X(X−1)(X−3) L3(X) = 1
6X(X−1)(X−2).
i. Calculer Li(j) pour tout i, j ∈N tels que 0≤i≤3 et 0≤j ≤3.
ii. En d´eduire que B= (L0(X), L1(X), L2(X), L3(X)) est une base de R3[X].
iii. Calculer les coordonn´ees du polynˆome P d´efini en (a) dans la baseB deR3[X].
(c) Donner l’unique polynˆomeQde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3 dont la courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan passe par les points :
A0(0,−12) ; A1(1,4) ; A2(2,−8) et A3(3,6).
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