Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚2
Vendredi 8 novembre, de 13h `a 15h30
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Questions de cours
1. ´Enoncer et d´emontrer les formules d’Euler.
2. ´Enoncer la formule de Moivre.
3. ´Enoncer la formule du binˆome de Newton.
4. ´Enoncer la d´efinition d’une racine carr´ee d’un nombre complexe.
5. ´Enoncer et d´emontrer le r´esulat du cours sur le nombre de racines carr´ees d’un nombre complexe non nul.
6. Soit (a, b, c)∈C∗×C×C. ´Enoncer et d´emontrer le r´esultat du cours sur les solutions de l’´equation az2+bz+c= 0
d’inconnuez∈C.
7. ´Enoncer les d´efinitions d’une racinen-i`eme de l’unit´e et de l’ensembleUn (n∈N≥2).
8. Donner la description en extension de l’ensembleUn (n∈N≥2) pr´esent´ee dans le cours.
9. ´Enoncer la d´efinition d’une racinen-i`eme d’un nombre complexe (n∈N≥2).
Exercice 1 (Un calcul d’une≪grande≫ puissance de nombre complexe) Donner la forme alg´ebrique de
−4 + 4i
√2−√ 6i
200 .
Exercice 2 (Une ´equation trigonom´etrique) R´esoudre l’´equation
(E) : 3 cos(x)−√
3 sin(x) =√ 6 d’inconnuex∈]−π, π].
Exercice 3 (Une primitive de la fonction sin5) 1. Soitx∈R. Lin´eariser sin5(x).
2. Donner une primitive de la fonction f: R→R; x7→sin5(x).
Exercice 4 (Un calcul de somme trigonom´etrique) Soitx∈R\π
2+kπ : k∈Z et soitn∈N. Calculer la somme
n
X
k=0
cos(kx) cosk(x).
1
Exercice 5 (Une ´equation bicarr´ee) 1. D´eterminer les racines carr´ees de 3−2i.
2. R´esoudre l’´equation
(E) : z4+ (−3 +i)z2+ 2 + 3i= 0 d’inconnuez∈C.
Exercice 6 (Autour des racines n-i`emes de l’unit´e, o`un∈N≥2) Soitn∈N≥2.
1. D´emontrer que la somme des racines n-i`emes de l’unit´e est nulle.
2. On fixe un rep`ere orthonorm´e du plan (O;−→u ,−→v). Pour toutk∈N, on noteMk le point du plan d’affixe e2iπkn .
(a) Soitk∈N. D´emontrer que la longueurMkMk+1 est ´egale `a 2 sinπ n
. (b) Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat pr´ec´edent.
Exercice 7 (Racines sixi`emes d’un nombre complexe) R´esoudre l’´equation
(E) : z6= 8−8i d’inconnuez∈C.
Exercice 8 (´Equation de degr´e 4 se ramenant `a une recherche de racines quatri`emes) R´esoudre l’´equation
(E) : (z−i)4+ (z+ 1)4= 0 d’inconnuez∈C.
Exercice 9 (Une ´equation mettant en jeu l’exponentielle complexe) On rappelle que le nombre complexej est d´efini parj=e2iπ3 . R´esoudre l’´equation
(E) : ez=j+j2 d’inconnuez∈C.
Exercice 10 (Un calcul de somme avec Python (resp. par r´ecurrence, en remarquant un t´elescopage)) Pour toutn∈N∗, on pose
Sn=
n
X
k=1
1 k(k+ 1).
1. ´Ecrire un programme Python qui demande `a l’utilisateur de saisir un entier naturel non nul et qui affiche la valeur de la sommeSn. On utilisera une boucle while pour ce faire.
2. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N∗,Sn= 1− 1 n+ 1. 3. (a) Soitk∈N∗. V´erifier que 1
k(k+ 1) = 1 k− 1
k+ 1.
(b) D´eduire de la question pr´ec´edente une autre preuve du r´esultat de la question 2.
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