DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Demi-normes
Soitf une application deRdansR+. On consid`ere les propri´et´es suivantes : 1. (s´eparation) ∀x∈R, f(x) = 0⇔x= 0.
2. (homog´en´eit´e) ∀(x, y)∈R2, f(xy) =f(x)f(y).
3. ∃C∈R,∀(x, y)∈R2, f(x+y)6Cmax(f(x), f(y)).
4. (in´egalit´e triangulaire) ∀(x, y)∈R2, f(x+y)6f(x) +f(y).
On dit quef est unedemi-norme si elle v´erifie les propri´et´es i.,ii. et iii.. On dit quef est unenorme si elle v´erifie les propri´et´es i., ii. et iv..
I.1On suppose quef est une demi-norme.
a Calculerf(1) etf(−1).
bMontrer que pour tout r´eelx, on af(−x) =f(x), et que, pour tout r´eel non nulx, on af(1/x) = 1/f(x).
On d´efinit
D={f(1 +z), (z∈R)∧(f(z)61)}.
cMontrer queD admet une borne sup´erieure (dansR), que nous noterons Cf, et queCf >1.
dMontrer que pour tous r´eels xet y:
f(x+y)6Cfmax(f(x), f(y)).
I.2
a V´erifier que la fonction valeur absolueg :x7→ |x|(deRdansR+) est une norme et une demi-norme, et calculerCg.
bV´erifier que la fonction carr´eh :x7→x2 (deRdansR+) est une demi-norme, et calculerCh. I.3V´erifier que toute normef est une demi-norme, et queCf62.
On se propose de montrer la r´eciproque : soit f une demi-norme telle que Cf 62. Nous voulons montrer quef est une norme.
I.4Montrer que pour toutr∈N∗, tout (x0, . . . , x2r−1)∈R2
r :
f
2r−1
X
k=0
xk
!
6Cfrmax(f(x0), . . . , f(x2r−1)).
I.5Soita∈N∗.
a Montrer qu’il exister∈N∗tel que 2r−16a62r−1.
bEn d´eduire :f(a)62a.
I.6Soitr∈N∗. On posen= 2r−1. Soit (x, y)∈R2. a Montrer :f((x+y)n)6Cfr max
06k6n f nk
f(x)kf(y)n−k .
Remarque : on rappelle la formule du binˆome de Newton. Pour tous r´eels x et y, tout entier naturel n, (x+y)n=Pn
k=0 n k
xkyn−k (o`u 00= 1 par convention si besoin est).
bMontrerf((x+y)n)62r+1(f(x) +f(y))n, puis :
f(x+y)622r+1r−1(f(x) +f(y)).
cMontrer que la suite 22r+1r−1
converge vers 1, et conclure.
