DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Exercice 1 : Une ´ equation complexe
1z est solution deE si et seulement si z−iz+i est une racinen-i`eme dean,i.e.il existeω∈Un tel que
z−i z+i =ωa, soit encoreωa6= 1 et
z=i1 +ωa 1−ωa. Ainsi,
Ω =
i1 +ωa
1−ωa, ω∈Un∧ωa6= 1
.
2
a Soitz0 une solution r´eelle deE. On a donc
z0−i z0+i
n
=|a|n,
Orz0−i etz0+isont conjugu´es (puisquez0 est r´eel), donc leur quotient est de module 1. On en d´eduit bien que|a|= 1.
b Soitz une solution deE. On a, en prenant les modules dansE :
z−i z+i
n
= 1,
puis|z−i|=|z+i|.
Le point M d’affixez est donc `a ´egale distance des pointsI et J d’affixesi et−i,i.e.sur la m´ediatrice de [IJ], qui n’est autre que l’axe des abscisses :z est r´eel.
Toutes les solutions deE sont donc bien r´eelles.
