DM de MPSI2
Corrig´ e de devoir non surveill´ e
Puissances
Exercice 1 : Calcul de limite
Nous sommes en pr´esence d’une forme ind´etermin´ee du type +∞ − ∞. Nous allons voir que le second terme l’emporte sur le premier.
Pour tout r´eel strictement positifx, on a (xx)x
x(2x) = exp(xln(xx))
exp(2xln(x)) = exp((x2−2x) ln(x)) = exp
−2xln(x)
1−x2 2x
,
donc lim
x→+∞
(xx)x x(2x) = 0.
Enfin, en ´ecrivant
(xx)x−x(2x)=−x(2x)
1−(xx)x x(2x)
, pour toutx >0, on constate que la limite cherch´ee vaut −∞.
Exercice 2 : x
y= y
x1La fonction f est clairement d´erivable surR∗+, et, pour toutx >0, f0(x) = 1−ln(x)
x2 .
f est donc strictement croissante sur ]0, e], strictement d´ecroissante sur [e,+∞[.
2Si (x, y) ∈ (N∗)2, x < y, v´erifiexy = yx, alors yln(x) = xln(y), puis f(x) = f(y). Les entiers x, y ne peuvent ˆetre tous deux sup´erieurs `a e, carf est strictement d´ecroissante sur [e,+∞[. Ceci imposex∈ {1,2}.
On ´ecarte vite la possibilit´ex= 1, il ne reste plus qu’`a ´etudier le cas o`u x= 2. On remarque alors que y = 4 convient (42= 24). D’apr`es la question pr´ec´edente, aucun autre choix dey ne peut convenir.
Les couples cherch´es sont donc (2,4) et (4,2).
