L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚3
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice 1 (Projet´e orthogonal d’un point sur une droite)
Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e (O;−→i ,→−j ) et soient A(1; 2), B(7;−1) et C(4; 3).
1. Donner une ´equation cart´esienne de (AB).
2. D´eterminer le projet´e orthogonal deC sur la droite (AB).
3. Calculer la distance deC `a la droite (AB).
Exercice 2 (Position relative de deux courbes)
Soient f etg les fonctions d´efinies par :
f: R→R, x7→ |x2+ 2x−8| et g: R→R, x7→ −x 3 +16
3 .
Soit R= (O;−→i ,−→j ) un rep`ere du plan et soientCf etCg les courbes repr´esentatives respectives de f etg dans R. ´Etudier la position relative des courbes Cf etCg.
La calculatrice ´etant interdite, on fournit l’identit´e : 232 = 529.
Exercice 3 (R´esolution d’une ´equation polynomiale `a param`etre)
1. Dresser le tableau de signes de la fonctionf d´efinie par : f: R→R, λ7→λ2−4.
2. Soitλ un nombre r´eel fix´e. R´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue z : (E) z3+ (2−λ)z2+ (1−2λ)z+ 2 = 0.
Indication : On pourra commencer par montrer quez =−2 est une solution de(E)et on distinguera plusieurs cas, suivant la valeur de λ.
1
Exercice 4 (Une ´equation et une in´equation trigonom´etriques)
Les deux questions de cet exercice sont ind´ependantes.
1. R´esoudre dansR l’´equation :
(E) cos(x)−√
3 sin(x) =−1. 2. R´esoudre dansR l’in´equation :
(I) 2 sin2(x)<3 cos(x).
Exercice 5 (Approximation de √
1 +x au voisinage de 0 et allongement d’une corde pinc´ee)
1. (a) Montrer que :
∀x∈[−1,+∞[ 1 + x 2 −√
1 +x=
x2 4 1 + x
2 +√ 1 +x
.
(b) Prouver que :
∀x∈[−1,+∞[ 1 + x 2 +√
1 +x≥ 1 2. (c) D´eduire de (a) et (b) que :
∀x∈[−1,+∞[ 0≤1 + x 2 −√
1 +x≤ x2 2 .
2. Une corde ´elastique (repr´esent´ee en gras ci-dessous) est tendue entre deux pointsA etB. Elle est l´eg`erement pinc´ee dans une direction perpendiculaire `a (AB) en un point fix´e I de [AB] distinct deA et B. On pose :
IA=a IB =b IM =x (x∈R+×).
b
A
b
B b
a
b
M
b
I x
On se propose d’obtenir une valeur approch´ee de l’allongement de la corde, ´egal `aAM+ M B−AB et not´e f(x), pour des ≪petites valeurs≫ dex∈R+×.
(a) Montrer que :
∀x∈R+× f(x) =a r
1 +x a
2
−1
! +b
r
1 +x b
2
−1
!
2
(b) De la question pr´ec´edente et de 1.(c), d´eduire que :
∀x∈R+× 0≤ x2 2
1 a +1
b
−f(x)≤ x4 2
1 a3 + 1
b3
.
(c) Application num´erique : on suppose que a = 4 etb = 2. Montrer que :
∀x∈R+× 0≤ 3
8x2 −f(x)≤ x4 10
et en d´eduire une valeur approch´ee de f(0.1), avec une erreur n’exc´edant pas 10−5.
Exercice 6 (´Etude du sens de variation d’un polynˆome de degr´e 3)
1. ´Enoncer, sans d´emonstration, le r´esultat vu en classe pour le sens de variation de la fonction g (fonction cube) d´efinie par :
g: R→R, x7→x3. 2. Soitu la fonction d´efinie par :
u:R→R, x7→ −x3+ 6x2−12x+ 5. 3. D´eterminera, b, c∈R tels que les fonctions affines :
f: R→R, x7→ax+b et h: R→R, x7→x+c v´erifient :
u=h◦g ◦f.
4. D´eterminer le sens de variation de la fonction u.
5. Soit R = (O;−→i ,−→j ) un rep`ere du plan. Montrer que la courbe repr´esentative Cu de u dans le rep`ere R admet une sym´etrie centrale, de centre le point A(2,−3).
Exercice 7 (O`u chercher les racines (enti`eres) d’un polynˆome ?) 1. SoitP =a3X3+a2X2+a1X+a0 un polynˆome de degr´e 3.
(a) Que peut-on dire de a3?
(b) Prouver que si x0 est une racine de P non nulle, alors : x0 =−a2
a3 − a1
a3x0 − a0
a3x20. (c) Rappeler l’in´egalit´e triangulaire.
(d) D´eduire de (b) et (c) que si x0 est une racine de P telle que|x0| ≥1, alors :
|x0| ≤c(P) o`uc(P) = |a2|+|a1|+|a0|
|a3| .
3
(e) Prouver alors que si x0 est une racine de P, alors : x0 ∈[−C(P), C(P)], o`uC(P) = Max(c(P),1).
2. On consid`ere le polynˆomeQ= 3X3+ 3X2−X+ 2 de degr´e 3. Calculer C(Q) et d´eduire de la question 1.(e) que Q n’admet aucune racine dans Z.
3. Conjecturer une g´en´eralisation du r´esultat de la question 1.(e) pour un polynˆome P de degr´e n quelconque (n∈N∗) ?
Exercice 8 (Rectangle inscrit dans un cercle, d’aire maximale)
ABCD est un rectangle inscrit dans un cercle C de centre O et de rayon 5 cm. I est le milieu de [AB].α ∈h
0,π 2
i d´esigne une mesure (en radians) de l’angle g´eom´etrique AOI.[
b
O
b A
C
b B
b
C
bD
b
I α
1. Exprimer, en cm, les longueurs AI etOI en fonction de α.
2. En d´eduire, en fonction deα, les dimensions, en cm, du rectangle ABCD. 3. Montrer que l’aire, en cm2, du rectangle ABCD est ´egale `a 50 sin(2α).
4. On consid`ere la fonction f d´efinie par : f: h
0;π 2
i→R, α7→50 sin(2α).
(a) Montrer que f est strictement croissante sur h 0,π
4 i
et strictement d´ecroissante sur hπ
4,π 2
i.
(b) Dresser le tableau de variations de f.
5. En d´eduire qu’il existe une valeur α, que l’on pr´ecisera, pour laquelle l’aire du rectangle ABCD est maximale. Pr´eciser son maximum. Quelle est alors la nature du rectangle ABCD?
4
