Devoir Surveill´ e n˚3. Vecteurs.
Calculatrices autoris´ees. Vous pouvez faire les exercices dans l’ordre que vous voulez. Justifiez vos r´eponses ! Bon courage !
Exercice 1 (environ 5 points)
Tracez sur votre feuille un triangle ABC. Vous devrez ensuite construire les pointsM,N, etP tels que :
1. −−→
AM=−−→
AB−−→
AC. Quelle est la nature du quadrilat`ere AMBC ici ? Justifiez votre r´eponse.
2. −−→
BN=−−→
BC−−→
CA.
3. −−→
CP = 2−→
CA+−→
AC+−−→
AB.
Exercice 2 (environ 3 points)
Reproduire sur votre feuille chacune des figures ci-dessous en pla¸cant sur chacune d’elles : – Le pointM d´efini par−−→
AM=~u+~v, – Le pointN d´efini par−−→
AN =~u−~v, – Le pointP d´efini par−→
AP =−~u+12~v.
A A
v u u
v
Exercice 3 (environ 6.5 points)
Dans un rep`ere (O,~i,~j) on donne les points :
A(−2; 3) B(1,4) C(4,−5).
Vous pouvez faire un dessin pour vous aider si vous voulez (ce n’est pas n´ecessaire), mais les r´eponses doivent ˆetre d´emontr´ees analytiquement.
1. D´eterminez les coordonn´ees des vecteurs−−→
AB,−−→
BC, et−→
AC.
2. D´eterminez les coordonn´ees du vecteur~u=−−→
AB+ 2−→
AC.
3. Soit D tel que −−→
AD = 1.5−−→
BC. Quelles sont les coordonn´ees de −−→
AD? Quelles sont les coor- donn´ees de D ?
4. Soit M un point du plan. Quelle ´egalit´e vectorielle doit ˆetre v´erifi´ee pour que ABCM soit un parall´elogramme ? D´eterminez analytiquement les coordonn´ees du pointM tel que ABCM soit un parall´elogramme.
Exercice 4 (environ 5.5 points)
Dans un rep`ere on consid`ere les points :
A(2; 1) B(5,−3) C(0,3) D(6,−5).
1. Calculez les coordonn´ees des vecteurs−−→
AB et−−→
CD.
2. Que remarquez-vous ? En d´eduire que les droites (AB) et (CD) sont parall`eles.
3. SoitE tel que −→
AE=−2−−→
AB. Exprimez−→
AE en fonction de−→
AC et de−−→
BC.
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