Premi`ere S3
Devoir surveill´ e N
◦3
Mercredi 4 janvier 2006Exercice 1 :
1. Donner la mesure principale de 5π 3 ,−5π
4 et de 31π 6 2. On donneA=cos(5π
14) + 2sin(π
7) +sin(8π
7) +sin(−π
7) exprimerAen fonction de sin(π 7).
Exercice 2 :
Dans le plan orient´e,A etB sont deux points distincts tels queAB= 4. L’unit´e choisie est le centim`etre.
D´eterminer rigoureusement la nature deE l’ensemble des pointsM du plan tels que (−−→
M A−2−−→
M B,−−→ AB) = π
4. Construire cet ensemble.
Exercice 3 :
Dans le plan orient´e ABCD est carr´e tel que (−−→ AB,−−→
AD) = π 2. AEB et BCF sont des triangles ´equilat´eraux tels que (−→
EA,−−→ EB) =π
3.
Sur la figure les pointsD,Eet F semblent align´es. On souhaite le confirmer si c’est le cas ou l’infirmer dans le cas contraire.
1. (a) Montrer que le triangleADEest isoc`ele.
(b) D´emontrer que (−−→ ED,−→
EA) = 5π 12. 2. D´eterminer une mesure de (−−→
BE,−−→
BF) et en d´eduire une mesure de (−−→
EB,−−→ EF).
3. (a) Utiliser la relation de Chasles pour calculer une mesure de (−−→
ED,−−→ EF).
(b) Conclure.
F
B
D A C
E
Exercice 4 :
Soitf la fonction d´efinie surRpar :
f(x) =2x2+ 1 x2+ 1.
1. D´eterminer deux r´eelsaet btels que pour toutx∈Ron aitf(x) =a+ b x2+ 1 2. En d´eduire pour tout x∈Ron a 1≤f(x)<2
