N˚ 1 Sp´ecialit´e math
Devoir surveill´ e
E XERCICE 1 (/8)
Les 3 questions sont ind´ependantes et peuvent donc ˆetre trait´ees s´epar´ement 1. (a) Ecrire la division euclidienne de 2015 par 13
(b) Ecrire la division euclidienne de −2015 par 13
2. D´eterminer l’ensemble des nombres entiersN qui, dans leur division euclidienne par 5 donnent un quotient ´egal au double du reste.
3. Lorsque l’on divise un entier a par 15 le reste est 11.
Quel est le reste de la division euclidienne de a par 5 ? Justifier
E XERCICE 2 (/12)
P
AR TIEA
L’algorithme suivant permet d’obtenir le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre a dans N par un nombre entier non nulb dans N .
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE 3 b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 q EST_DU_TYPE NOMBRE 5 r EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME
7 q PREND_LA_VALEUR 0 8 r PREND_LA_VALEUR 0 9 LIRE a
10 LIRE b
11 TANT_QUE (b*q<a) FAIRE 12 DEBUT_TANT_QUE
13 q PREND_LA_VALEUR ...
14 FIN_TANT_QUE
15 q PREND_LA_VALEUR ...
16 r PREND_LA_VALEUR ...
17 AFFICHER "q="
18 AFFICHER q 19 AFFICHER "r="
20 AFFICHER r 21 FIN_ALGORITHME
1. Compl´eter les lignes 13 , 15 et 16
1 9 octobre 2015
N˚ 1 Sp´ecialit´e math
P
AR TIEB
A chaque lettre de l’alphabet, on associe, grˆace au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25.
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On d´efinit un proc´ed´e de codage de la fa¸con suivante :
Etape 1 :´ A la lettre que l’on veut coder, on associe le nombrem correspondant dans le tableau.
Etape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9×m+ 5 par 26 et on le note r.
Etape 2 : Au nombrer, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Coder la lettre U.
2. Construire un algorithme qui `a une valeur de m entr´ee par l’utilisateur, affiche la valeur de r, calcul´ee `a l’aide du proc´ed´e de codage pr´ec´edent.
P
AR TIEC
1. Trouver un nombre entierU tel que le reste de la division euclidienne de 9×U par 26 soit ´egal
` a 1
2. Montrer que, si le reste de la division euclidienne de 9m+ 5 par 26 est ´egal `a r alors le reste de la division euclidienne de 3r−15 par 26 est ´egal `a m
3. Montrer comment la proposition d´emontr´ee `a la question pr´ec´edente permet de d´ecoder un message cod´e.
E XERCICE 3
D´eterminer l’ensemble des valeurs den dans N telles que n+ 1 divise 3n−4
2 9 octobre 2015
