Devoir surveill´ e n˚5

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1 − 2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Devoir surveill´ e n˚5

Dur´ee : 3 heures

L’usage de la calculatrice est interdit.

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Exercice 1 : ´Etude d’une fonction d´efinie par morceaux au voisinage d’un point Soit f la fonction d´efinie par :

f: R→R, x7→























|2x²−x−6|

2−x si x <2

7 si x= 2

sin(7x−14)

ln(x−1) si x >2.

1. ´Etudier la limite ´eventuelle de f en 2⁻. 2. ´Etudier la limite ´eventuelle de f en 2⁺. 3. La fonctionf est-elle continue en 2 ?

Exercice 2 : ´Etude d’une ´equation mettant en jeu la fonction exponentielle

Soit f la fonction d´efinie par :

f: R→R, x 7→e^x+x−2.

1. Montrer que la fonctionf est strictement croissante surR. 2. ´Enoncer le th´eor`eme de la bijection.

1

3. Montrer que l’´equation (E) d´efinie par :

(E) : e^x+x−2 = 0 poss`ede une unique solution sur R.

On note α l’unique solution de (E) dans la suite.

4. Montrer queα <1.Indication : on pourra raisonner par l’absurde.

5. Montrer que la fonction

g:R→R, x 7→f(x) +x=e^x+ 2x−2 est strictement croissante sur R.

6. On d´efinit la suite (u_n)n∈N par u₀ = 1 et u_n+1 =g(u_n) pour tout n∈N. (a) Montrer par r´ecurrence que la suite (u_n)n∈N est croissante.

(b) En d´eduire que pour tout n∈N^∗, u_n≥e.

(c) Montrer que si la suite est (u_n)n∈N convergente et sil ∈R d´esigne sa limite, on a :

• e≤l;

• l est solution de l’´equation (E).

En d´eduire, par un raisonnement par l’absurde, que la suite (un)n∈N diverge.

(d) La suite (u_n)_n∈N est-elle major´ee ? Que peut-on dire de son comportement asympto- tique ?

Exercice 3 : ´Etude locale d’une fonction puissance

1. On notef la fonction cube d´efinie par :

f:R→R, x7→x³.

On note C_f la repr´esentation graphique de f dans un rep`ere fix´e du plan.

(a) Pour tout x∈R\ {1}, on pose p₁(x) = f(x)−f(1) x−1 .

i. Interpr´eter g´eom´etriquement le nombre p1(x), pour tout x∈R\ {1}.

ii. ´Etudier la limite ´eventuelle de p₁(x) lorsque xtend vers 1.

2

(b) Soit a un nombre r´eel fix´e. Pour tout x∈R\ {a}, on pose p_a(x) = f(x)−f(a) x−a .

i. Interpr´eter g´eom´etriquement le nombre pa(x), pour tout x∈R\ {a}.

ii. ´Etudier la limite ´eventuelle de p_a(x) lorsque x tend vers a.

2. Soit n un entier naturel non nul fix´e et soit g la fonction puissance n d´efinie par : g: R→R, x7→xⁿ.

On noteC_g la repr´esentation graphique deg dans un rep`ere fix´e du plan. Soitaun nombre r´eel fix´e. Pour tout x∈R\ {a}, on pose p_a(x) = g(x)−g(a)

x−a .

(a) Interpr´eter g´eom´etriquement le nombre p_a(x), pour tout x∈R\ {a}.

(b) ´Etudier la limite ´eventuelle de p_a(x) lorsque x tend vers a.

Exercice 4 : Probabilit´es et mod`ele d’urne

On dispose de 10 boules noires, de 3 boules blanches et d’une urne. On place 7 boules noires et 3 boules blanches dans l’urne. On tire ensuite successivement 3 boules :

• si on tire une noire, on l’enl`eve,

• si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire `a la place.

Quelle est la probabilit´e de tirer 3 blanches `a la suite ?

Pour r´epondre `a cette question, on prendra soin de d´efinir des ´ev´enements pertinents et on citera la formule du cours que l’on appliquera.

Exercice 5 : Suites et probabilit´es (extrait du sujet du concours A TB 2005) Une exploitation agricole dispose de deux hangars H et H’ pour le stockage du foin. Chaque jour, on cherche le foin n´ecessaire dans l’un des deux hangars. Pour des raisons techniques, si, un jour donn´e, on utilise le hangar H, le lendemain on r´eutilisera ce mˆeme hangar avec une probabilit´e de 0,5 et si, un jour donn´e, on utilise le hangar H’, la probabilit´e d’utiliser le lendemain le hangar H est ´egale `a 0,4.

On veut analyser l’utilisation des deux hangars sur une longue p´eriode ; le premier jour on choisit un hangar au hasard. Pour tout entier naturel n non nul, on note :

H_n l’´ev´enement le hangar H est utilis´e le n-i`eme jour ; H<sub>n</sub><sup>0</sup> l’´ev´enement le hangar H<sup>0</sup> est utilis´e le n-i`eme jour ; pn=P(Hn) la probabilit´e que le hangar H soit utilis´e le n-i`eme jour.

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1. (a) Donner p₁. (b) Calculer p₂. 2. D´emontrer que :

∀n∈N^∗ p_n+1 = 0,1p_n+ 0,4.

3. (a) En d´eduire la valeur de p_n pour tout entier naturel n non nul.

(b) Calculer lim

n→+∞ p_n.

Pour r´epondre aux questions 1.(b) et 2., on citera la formule du cours que l’on appliquera.

Exercice 6 : Probabilit´es en pays ´equin

Le responsable d’un haras a r´eparti les chevaux en trois classes R₁, R₂ et R₃ en termes de risques de maladie : les faibles risques, les risques moyens, et les risques ´elev´es. Les effectifs de ces trois classes repr´esentent 20% du nombre total de chevaux pour la classe R1, 50% pour la classe R₂, et 30% pour la classeR₃. Les statistiques indiquent que les probabilit´es d’avoir une maladie au cours de l’ann´ee pour un cheval de l’une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.

1. Quelle est la probabilit´e qu’un cheval choisi au hasard dans le haras soit malade au cours de l’ann´ee ?

2. Si Jolly Jumper (un cheval du haras) n’a pas ´et´e malade cette ann´ee, quelle est la proba- bilit´e qu’il soit dans la classe des faibles risques ?

Pour r´epondre `a ces questions, on prendra soin de d´efinir des ´ev´enements pertinents et on citera chaque formule du cours que l’on appliquera.

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