L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚3
Dur´ee : 3 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Probl` eme I - Probabilit´ es
Les deux parties du probl`eme sont ind´ependantes.
Partie A - Hangars de stockage (extrait du sujet du concours A TB 2005)
Une exploitation agricole dispose de deux hangars H et H’ pour le stockage du foin. Chaque jour, on cherche le foin n´ecessaire dans l’un des deux hangars. Pour des raisons techniques, si, un jour donn´e, on utilise le hangar H, le lendemain on r´eutilisera ce mˆeme hangar avec une probabilit´e de 0,5 et si, un jour donn´e, on utilise le hangar H’, la probabilit´e d’utiliser le lendemain le hangar H est ´egale `a 0,4.
On veut analyser l’utilisation des deux hangars sur une longue p´eriode ; le premier jour on choisit un hangar au hasard. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilit´e que le hangar H soit utilis´e le n-i`eme jour.
1. (a) Donner p1. (b) Calculer p2. 2. D´emontrer que :
∀n ∈N∗ pn+1 = 0,1pn+ 0,4.
3. (a) En d´eduire la valeur de pn pour tout entier naturel n non nul.
(b) Calculer lim
n→+∞ pn.
1
Partie B - Un d´e et une urne
On dispose d’un d´e ´equilibr´e et d’une urne qui, au d´epart, ne contient qu’une boule blanche.
On effectue une suite de lancers successifs avec le d´e et, `a chaque fois que l’on obtient un r´esultat diff´erent du 6, on ajoute une boule rouge dans l’urne. D`es que l’on obtient un 6, on tire une boule de l’urne et l’exp´erience s’arrˆete.
1. Pour k entier naturel non nul, soit Ak l’´ev´enement :
on a obtenu 6 au k-i`eme lancer du d´e. (a) Calculer P(Ak) pour tout k ∈N∗ et v´erifier que
+∞
X
k=1
P(Ak) = 1.
(b) Quelle est la probabilit´e d’avoir obtenu un 6 au plus tard au troisi`eme lancer ? (c) Quelle est la probabilit´e d’avoir obtenu un 6 au plus tard au k-i`eme lancer ? 2. On appelleB l’´ev´enement :
on a obtenu la boule blanche.
(a) Soit k ∈N∗. Si les k−1 premiers lancers n’ont pas donn´e de 6, quelle est la compo- sition de l’urne juste avant qu’on ne lance le d´e pour la k-i`eme fois.
(b) En d´eduire P(B∩Ak) pour tout k ∈N∗.
(c) On admet que pour tout x∈[0,1[ fix´e, la s´erie de terme g´en´eral xk
k est convergente et que
+∞
X
k=1
xk
k =−ln(1−x). Calculer P(B).
Probl` eme II - Analyse
Partie A - ´Etude d’une fonction
On rappelle que le nombre e est strictement plus grand que 2, i.e. 2< e.
1. Justifier que ln(2)<1. En d´eduire que la fonction : f: [1,2]→R, x7→p
2−ln(x) est bien d´efinie et qu’elle est d´erivable sur [1,2].
2
2. Montrer que :
∀x∈[1,2] f0(x) = − 1 2xf(x)
puis donner le tableau de variations de f avec les valeurs aux bornes.
3. Prouver que √
2 < 2 et que p
2−ln(2) > 1. En d´eduire que pour tout x ∈ [1,2], f(x)∈[1,2].
4. Prouver que√
2>1 et que p
2−ln(2)<2, puis d´emontrer que l’´equation f(x)−x= 0 admet une unique solution sur [1,2]. On notera α cette solution dans la suite.
Partie B - ´Etude d’une suite r´ecurrente
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par :
u0 = 1 et ∀n∈N un+1 =p
2−ln(un).
D’apr`es la question 3 de la partie A, la suite (un)n∈N est bien d´efinie et pour tout n ∈ N, un∈[1,2].
1. Montrer que pour tout r´eel x∈[1,2],|f0(x)| ≤ 1 2. 2. ´Enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.
3. Exprimerf(α) en fonction deαet en d´eduire que pour toutn∈N,|un+1−α| ≤ 1
2|un−α|.
4. Montrer que pour toutn ∈N, |un−α| ≤ 1
2 n
|u0−α|. En d´eduire que la suite (un)n∈N
est convergente et d´eterminer sa limite.
Probl` eme III - Alg` ebre lin´ eaire
(d’apr`es le sujet du concours A TB 2007) Dans cet exercice, on note B = (e1, e2, e3) la base canonique de E = R3. La matrice A est d´efinie par :A=
2 1 −2
1 0 0
0 1 0
.
On notef l’endomorphisme deE canoniquement associ´e `a la matriceA, i.e. f = App(A,B,B).
On note enfin idE l’application identit´e de E.
1. D´eterminer le rang de f, son noyau et son image.
2. D´eterminer le rang de f−idE, montrer que le vecteuru, de coordonn´ees (1,1,1) dans la base B, appartient au noyau de f −idE et en d´eduire Ker(f −idE).
3
3. Soientv etwles vecteurs de coordonn´ees respectives (1,−1,1) et (4,2,1) dans la baseB.
D´eterminer f(v) et f(w) en fonction de v etw.
4. Montrer que C = (u, v, w) est une base de E.
5. D´eterminer (sans autre calcul) la matrice de f dans la baseC. On noteraDcette matrice.
6. (a) D´eterminer la matrice P d´efinie par :
P = Mat(idE,C,B).
(b) Justifier que P est inversible et calculer la matriceP−1. (c) Montrer, sans calcul, que :
A=P DP−1.
(d) Exprimer pour tout entier naturel n la matrice An `a l’aide de P, D,n etP−1. (e) Donner explicitement la premi`ere colonne de An en fonction de n.
7. V´erifier que :
f3 = 2f2+f −2idE.
8. En d´eduire l’inversibilit´e de A et exprimer A−1 `a l’aide de I3, A etA2.
9. Montrer que pour toutn ∈N, il existe un unique triplet (an, bn, cn) de nombres r´eels tel que :
An =anI3+bnA+cnA2 et que les mˆemes valeurs satisfont `a :
(∗) Dn=anI3+bnD+cnD2. 10. R´esoudre le syst`eme (∗) et donneran, bn etcn pour toutn ∈N.
11. Exprimer pour tout entier naturel n la matrice An en fonction de I3, A, A2 et n. La formule demeure-t-elle vraie pourn =−1 ?
4
