 Convergence en probabilit´e

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Convergences de variables aléatoires Corrigé des que ions non abordées en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrigé des exercices non traités surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu après la PC.

 Convergence presque s ˆure

E ^{xercice 4.}

^(Pollen) On modélise l’évolution discrétisée d’une particule de pollen entre deux plaques absorbantes comme suit. Soit (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi donnée parP(X_=) =P(X_=−) =

. Soitk≥un entier. On poseS_=ket pour toutn≥

Sn=k+X_+· · ·+Xn. SoitT = inf{i≥:S_i=ouS_i=k}(avec la convention inf∅=∞).

() Montrer queT <∞presque s ˆurement.

() On poseZ_n=Smin(n,T). Montrer queZ_nconverge presque s ûrement vers une variable aléatoire dont on identifiera la loi. E-ce queZ_nconverge en probabilité ? En moyenne ?

Corrig´e :

() S’il y akmontées successives, alorsT <∞. Une application du lemme de Borel-Cantelli (semblable à celle au singe savant) montre que dans la suite (X_i)_i≥la suiteapparaˆıtkfois de suite une infinité de fois presque s ûrement. DoncP(T <∞).

() CommeT <∞presque s ûrement,Z_n converge presque s ûrement versS_T. DoncZ_n converge également en probabilité versST (la convergence p.s. implique la convergence en probabilité). Comme|Zn| ≤k, la suite converge également en moyenne.

Par sym´etrie,

P(S_T =) =P(S_T =k) =

.

R´edigeons cet argument formellement. Soit Φ l’application qui transforme une marche surZ qui fait des sauts± en la marche obtenue en changeant les sauts + en sauts −et les sauts − en sauts +. Notons (S_n⁰)_n≥ =Φ((S_n)_n≥) et T⁰ = inf{i≥:S_i⁰ =ouS_i⁰ =k}. Alors, par conruion,S_T =si et seulement si S_T⁰⁰ =k. De plus, (S_n)_n≥ et (S_n⁰)_n≥ ont la mˆeme loi. DoncP(S_T =) =P

S_T⁰⁰=k

=P(S_T =k). Comme P(S_T =) +P(S_T =k) =, le r´esultat voulu en d´ecoule.

 Convergence en probabilit´e

E ^{xercice 5.}

(Le retour duRER B)On suppose que le temps d’attente duRER Bsuit une loi exponentielle de param`etre λ >. Si on prend le RER Bnfois, comment se comporte le temps maximal d’attente lorsquen→ ∞? Pour mod´eliser

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.



(2)

cela, on considère une suite (X_n)_n≥de variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètreλ >, et on s’intéresse à la quantité max_^≤k≤nXk.

Montrer que la convergence

 ln(n) max

≤k≤nXk −→

n→∞

 λ a lieu en probabilit´e.

Corrigé : Par définition de la convergence en probabilité, il s’agit de montrer que pour tout >on a P

 ln(n) max

≤k≤nX_k− λ

>

!

−→

n→∞ .

Montrons d’abord que

P  ln(n) max

≤k≤nX_k<  λ−

!

−→

n→∞  pour </λ. Par ind´ependance,

P  ln(n) max

≤k≤nX_k<  λ−

!

= (−exp(−(−λ) lnn))ⁿ= exp nln −n^λ n

!!

≤e⁻ⁿ^λ→.

Ensuite, en passant au compl´ementaire, P 

ln(n) max

≤k≤nXk>  λ+

!

=−P(X_<(/λ+) ln(n))ⁿ=−

−  n^+λ

n

. Or

−

−  n^^+λ

n

=−exp

nln

−  n^^+λ

∼

n→∞

 n^λ

−→

n→∞ .

 Convergence dans L

^

(en moyenne)

E ^{xercice 6.}

(Un exemple) Soitα >, et soit (Zn, n≥) une suite de variables aléatoires indépendantes de loi donnée par P(Z_n=) = 

n^α et P(Z_n=) =−  n^α.

Montrer queZ_n → dans L^. E-ce que la suite (Zn)_n≥ converge en probabilit´e ? E-ce que la suite (Zn) converge presque-s ˆurement ?

Corrig´e : On a,

E(|Z_n|) =E(Z_n) =  n^α →,

ce qui signifie queZn→dansL^. DoncZn→en probabilit´e car la convergence en moyenne implique la convergence en probabilit´e.

Pour toutn≥, on noteAn={Zn=}. Siα >alorsP

n≥P(An)<∞. D’après le lemme de Borel-Cantelli, on a doncP(lim supA_n) =c’e-à-dire p.s., il exien_≥tel que pour toutn≥n_,Z_n =et ainsiZ_n →presque s ûrement

Si α ≤ alors P

n≥P(A_n) = ∞. LesA_n étant indépendants, d’après le lemme de Borel-Cantelli, on a donc P(lim supAn) =c’e-à-dire p.sZn =une infinité de fois. On a aussiP

n≥P(Zn =) =∞, donc p.s.Zn =une

infinit´e de fois. DoncZ_nne converge pas presque s ˆurement.



(3)

E ^{xercice 7.}

^{(Petite a}ûce)^Soit^Xune variable aléatoire réelle intégrable. Montrer queE

hX1^|X|>n

i→lorsquen→ ∞.

Corrig´e : PosonsY_n=X1|X|>n. Alors : – Ynconverge presque s ˆurement vers

– |Y_n| ≤ |X|, qui eune variable aléatoire positive intégrable et qui ne dépend pas den.

D’après le théorème de convergence dominée,E[Y_n]→E[] =.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E ^{xercice 9.}

(Biais par la taille) On considère une population comportant un grand nombrende foyers. On modélise la taille de ces foyers par une suite de variables aléatoires (X_i)_≤i≤n indépendantes de même loi sur N^∗, de moyenne m=E[X_] =P

k≥kp_k<∞avecp_k=P(X_=k). SoitT la taille du foyer d’un individu pris au hasard dans la population.

Montrer que pour tout entierk≥,P(T =k) converge vers_m^kp_k lorsquen→ ∞. Indication.On pourra commencer par calculerP(T =k|X_, . . . , X_n).

Corrigé :La population compte au totalX_+· · ·+Xn individus. On modélise le choix d’un individu au hasard par le tirage, conditionnellement àX_, . . . , X_n (c’e-à-dire sachantX_, . . . , X_n), d’un entier selon la loi uniforme sur l’ensemble{,, . . . , X_+· · ·+Xn}. Pour toutk≥, il y aNk B1^{X_=k}+· · ·+1^{X_n=k}foyers de taillekqui comptent au totalkN_k individus. Par conséquent, par définition de la loi uniforme (formulecas favorables sur cas totaux) :

P(T =k|X_, . . . , Xn) =kPn

i=1{X_i=k}

Pn

i=X_i =k^_nPn

i=1{X_i=k}

n

Pn

i=X_i . Donc, d’apr`es la loi forte des grands nombres,

P(T =k|X_, . . . , X_n) −→^p.s.

n→∞

k mp_k.

Posons F(X_, . . . , X_n) = P(T =k|X_, . . . , X_n), de sorte que P(T =k) = E[F(X_, . . . , X_n)] (plus généralement, E[U] = E[E[U|V]]). D’après ce qu’on vient de voir, F(X_, . . . , Xn) converge presque s ûrement vers _m^kpk en étant dominé par(car c’eune probabilité conditionnelle), intégrable. D’après le théorème de convergence dominée,

P(T =k) =E[F(X_, . . . , X_n)] −→

n→∞

k mp_k.

Interprétation.La loi deT n’epas la loi de départ, car les grands foyers sont sur-représentés tandis que les petits foyers sont sous-représentés. Ce phénomène eappelébiais par la tailleIl s’agit sans doute du biais d’échantillonnage le plus connu. Le biais ed’autant plus important que la taille du foyer diffère de la taille moyennem.

E xercice 10.

(Problème du colleionneur) Soit (X_k, k≥) une suite de variables aléatoires indépendantes uniformément diribuées sur{,, . . . , n}. Soit

T_n= inf{m≥:{X_, . . . , X_m}={,, . . . , n}}

le premier temps o ù toutes les valeurs ont été observées.

() Soitτ_kⁿ= inf{m≥:|{X_, . . . , X_m}|=k}pour toutk≥. Montrer que les variables (τ_kⁿ−τ_kⁿ−)_≤k≤nsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.

() En d´eduire que la convergence _nlog^Tⁿ_n →a lieu en probabilit´e.

Indication.On pourra utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev.



(4)

Corrig´e :

() La quantitéτ_kⁿ−τ_kⁿ−représente le temps mis pour obtenir un nouvel élément une fois qu’on en a obtenuk−.

Intuitivement, ces variables sont indépendantes et suivent une loi géométrique de paramètre ⁿ⁻^k+_n (il ree n−(k−) éléments).

Pour le d´emontrer formellement, on peut proc´eder comme suit. On aτ_ⁿ =. Soit (t_, . . . , tn)∈(N^∗)ⁿ⁻^. On veut calculerP(τ_ⁿ−τ_ⁿ =t_, . . . , τ_nⁿ−τ_nⁿ−=t_n). En posantt_=et en notantS_n l’ensemble des permutations de{,, . . . , n}, on a

P(τ_ⁿ−τ_ⁿ=t_, . . . , τ_nⁿ−τ_nⁿ−=t_n)

= X

σ∈S_n

P







n−

\

k=

X_t__+...+t_k=σ(k), X_t__+...+t_k_+∈ {σ(), . . . , σ(k)}, . . . ,

Xt_+...+t_k+t_k+−∈ {σ(), . . . , σ(k)}

∩ {Xt_+...+t_n=σ(n)}







= X

σ∈S_n

 nⁿ

Yn

k=

k− n

!t_k−

= n!

nⁿ Yn

k=

k− n

!t_k−

= Yn k=

n+−k n

! k− n

!t_k−

.

Donc les variables al´eatoires (τ_kⁿ−τ_kⁿ−)_≤k≤nsont ind´ependantes, et ont respeivement pour loi

P

τ_kⁿ−τ_kⁿ−=i

= n+−k n

! k− n

!i−

= n−k+ n

!

−n−k+ n

!i−

pouri≥.

Cette loi ebien la loi deG_ko ùG_ksuit la loi géométrique de paramètreⁿ⁻_n^k+. () On aT_n=τ_+Pn

k=(τ_k−τ_k−) et donc

E(T_n) =+ Xn

k=

n

n+−k =+nH_n−, o `uH_nela s´erie harmonique et

Var(T_n) = Xn

k=

Var(τ_k−τ_k−) = Xn

k=

(k−)/n ((n+−k)/n)^ =n

n−

X

k=

n−k k^ ≤Cn^

avecC=P

k≥ 

k^. Donc pour tout >,

P(|T_n−E(T_n)| ≥nlog(n))≤ Var(T_n)

^n^log(n)^ ≤ C ^log(n)^.

Donc (T_n−E(T_n))/(nlog(n))→en probabilit´e. OrE(T_n)∼nlog(n) quandn→ ∞. Donc pour tout >on a {|Tn−nlog(n)| ≥nlog(n)} ⊂ {|Tn−E(Tn)| ≥nlog(n)}pournassez grand. On obtient ainsi le r´esultat.



(5)

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

(Lois exponentielles de grand paramètre)Soit (Z_n, n≥) une suite de variables aléatoires telle que pour tout entiern≥,Z_neune variable aléatoire exponentielle de paramètren. Montrer queZ_nconverge presque s ûrement verslorsquen→ ∞.

Corrig´e : Soit >. On aP(Z_n> ) =e⁻ⁿ. Donc X

n≥

P(Zn> )<∞.

D’après le (premier) lemme Borel Cantelli, pour tout >, presque s ûrement, à partir d’un certain rang on aZ_n≤. Donc presque s ûrement, pour entierk ≥, à partir d’un certain rang≤Zn≤/k. On en déduit queZn converge presque s ûrement vers.

Attention.On a effeué une interversion du pour tout >et du presque s ûrement ! Ici, cela a été rendu possible

en se rereignant `a une suite d´enombrable.

E xercice 12.

(Extension du théorème de convergence dominée)Soit (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles telle que X_n converge en probabilité vers X. On suppose qu’il exie une variable aléatoire positive et intégrableZ, indépendante den, telle que|X_n| ≤Zpour toutn≥. Montrer queX_nconverge versXen moyenne.

Indication.On pourra utiliser que siY_nconverge en probabilit´e versYalors il exie une sous-suite deY_nqui converge presque s ˆurement versY.

Corrigé :Tout d’abord, montrons que|X| ≤Zpresque s ûrement. CommeX_n converge en probabilité versX, il exie une sous-suiteXφ(n)qui converge presque s ûrement versX. Comme|Xφ(n)| ≤Zpour toutn≥, on en déduit que|X| ≤Zpresque s ûrement.

On en déduit que la suiteE[|X_n−X|] ebornée, carE[|X_n−X|]≤E[|X_n|] +E[|X|]≤E[Z]. Pour montrer que E[|X_n−X|]→, il suffit donc de montrer queela seule valeur d’adhérence de la suiteE[|X_n−X|].

Pour cela, soitφune extraion telle queE

h|X_φ(n)−X|i

→`. CommeX_φ(n)converge aussi en probabilité vers Xlorsque n→ ∞, il exie une extraionψ telle que X_φ(ψ(n)) converge presque s ûrement vers Xlorsquen→ ∞. On peut alors appliquer le théorème de convergence dominé usuel pour en déduire queE

h|X_φ(ψ(n))−X|i

→. Donc

`=, ce qui conclut.

E xercice 13.

(Convergences joitns en probabilité)Soit (X_n)_n≥ une suite de variables aléatoires qui converge en pro- babilité versXet soit (Y_n)_n≥une suite de variables aléatoires qui converge en probabilité versY. Montrer que (X_n, Yn) converge en probabilité vers (X, Y).

Corrig´e : Pour tout >, on remarque que si

k(X_n, Y_n)−(X, Y)k ≥.

alors|Xn−X| ≥ou|Yn−Y| ≥. En effet, par l’absurde, si|Xn−X|< et|Yn−Y|< , alors k(X_n, Y_n)−(X, Y)k ≤

√

^+^=

√ <.

Ainsi, pour tout >,

P(k(X_n, Y_n)−(X, Y)k ≥)≤P(|X_n−X| ≥) +P(|Y_n−Y| ≥) −→

n→∞ ,

d’o `u le r´esultat.



(6)

E xercice 14.

(Lemme de Scheffé)Soient (X_n)_n≥ des variables aléatoirespositivesqui convergent presque s ûrement versX. On suppose queE[X]<∞et queE[Xn]→E[X] lorsquen→ ∞. Le but de cet exercice ede démontrer que X_n→XdansL^.

On poseY_n= min(X_n, X) etZ_n= max(X_n, X).

() D´emontrer queE[Y_n]→E[X] lorsquen→ ∞. () D´emontrer queE[Z_n]→E[X] lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire queZn=X+Xn−Yn. () Conclure queE[|X_n−X|]→lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire que|X_n−X|=Z_n−Y_n.

Corrig´e :

() Y_n converge presque s ûrement versX, en étant majoré parX. DoncE[Y_n]→E[X] d’après le théorème de convergence dominée.

() On aE[Z_n] =E[X] +E[X_n]−E[Y_n]→E[X] +E[X]−E[X] =E[X].

() On aE[|X_n−X|] =E[Z_n]−E[Y_n]→E[X]−E[X] =.

E xercice 15.

(Croissance)Soit (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabi- lité. Montrer qu’il exie une suite (cn)n≥telle queXn/cnconverge presque s ûrement vers.

Corrig´e : Soit n≥, comme la fonion de r´epartition de|X_n| tend versen∞, il exie c_n > suffisamment grand tel queP

|Xn|>^c_nⁿ

≤⁻ⁿ. Montrons que (cn) convient.

D’apr`es le (premier) lemme de Borel-Cantelli, il suffit de montrer que pour tout >, la s´erieP

n≥P

X_n c_n

>

converge. Alors, pourn >/(de sorte que >/n), P

X_n c_n

>

!

≤P

X_n c_n

> n

!

≤ 

ⁿ

par définition decn. D’o ù le résultat.

E xercice 16.

(Dichotomie)Soit (X_n, n≥) une suite de variables aléatoires réelles positives, indépendantes et de même loi.

() Montrer que p.s.P^∞

n=X_n=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.

() Montrer que pour toutαon aαP

n≥P(X≥αn)≤E[X]< αP

n≥P(X≥αn) +α.

Indication. On pourra montrer que X

n≥

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n≥

α(n+)P(αn≤X < α(n+)).

() Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X

n≥

P(X≥αn)<∞. () En d´eduire la dichotomie suivante : presque s ˆurement,

la plus grande valeur d’adh´erence deX_n n vaut











 siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ .



(7)

Corrig´e :

() Tout d’abord, siX_epresque s ˆurement nulle, alorsP

n≥Xn=p.s. Supposons queX_n’epas nulle, alors on peut trouver >tel queP(X_> )>. On a alors queP

n≥P(X_n> ) =∞, et lesX_n sont indépendants, donc par le (deuxième) lemme Borel-Cantelli, p.s. les Xn sont supérieurs à une infinité de fois, donc P

n≥X_n=∞.

() SoitXune v.a. positive etα >. On v´erifie ais´ement les encadrements deXsuivants : X

n≥

αn1αn≤X<α(n+)≤X≤X

n≥

α(n+)1αn≤X<α(n+). En prenant l’espérance de la ligne précédente on obtient

X

n≥

αn(P(X≥αn)−P(X≥α(n+))) ≤ E[X]

≤ X

n≥

α(n+) (P(X≥αn)−P(X≥α(n+))) En reconnaissant des sommes téléscopiques, on en déduit que

αX

n≥

P(X≥αn)≤E[X]< αX

n≥

P(X≥αn) +α.

() C’eune conséquence immédiate de la queion précédente.

() Soitα >. La plus grande valeur d’adhérence de^X_nⁿ esupérieure ou égale àαsi et seulement si il exie une infinité dentels queXn≥αn. D’après la queion précédente,

X

n≥

P(X≥αn)











<∞ siE[X_]<∞

=∞ siE[X_] =∞ , donc, d’apr`es les deux lemmes de Borel-Cantelli,

P

la plus grande valeur d’adh´erence deX_n n ≥α

=











 siE[X_]<∞

 siE[X_] =∞ et par cons´equent

la plus grande valeur d’adh´erence deX_n n =











 siE[X_]<∞

∞ siE[X_] =∞ p.s.

E xercice 17.

(Loi forte des grands nombres, cas non intégrable)s Soit (X_n)_n≥une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi. On pose, pour toutn≥,Sn=X_+. . .+Xn. Montrer que siX_n’epas intégrable alors la suite (n⁻^S_n)_n≥diverge p.s.

Indication.On pourra utiliser la queion () de l’exerciceet montrer que siSn/nconverge alorsXn/n→.

Corrigé : On aP(|X_| ≥n) =P(|X_n| ≥n). CommeX_n’epas intégrable, d’après la queion () de l’exercice

on aP

n≥P(|Xn| ≥n) = +∞. Les événements{|Xn| ≥n}étant indépendants, on aP(lim sup{|Xn| ≥n}) =d’après le lemme de Borel-Cantelli.



(8)

Ensuite, on remarque que S_n

n a une limite r´eelle

⊂ S_n

n −S_n+

n+→ \( S_n n(n+)→

) .

Donc Sn

n a une limite r´eelle

⊂ Xn

n →

⊂(lim sup{|Xn| ≥n})^c.

En effet, siXn/n→, alors|Xn|< n à partir d’un certain rang. L’évènement (lim sup{|Xn| ≥n})^c étant de probabilité

nulle, on en d´eduit queS_n/ndiverge p.s.

E xercice 18.

(Diff´erents modes de convergence)La convergence de l’exercicea-t-elle lieu presque s ˆurement ? Dans L^?

Corrig´e : Montrons que la convergence a lieu p.s. et dansL^. On pose Zn= 

ln(n) max

≤k≤nXk

() Soit ∈ (,) et posons An ={Zn ≤(−)λ⁻^}. Montrons queP

P(An) converge. D’apr`es les calculs de la solution de l’exercice, on aP(A_n)≤e⁻ⁿ^λ. DoncP

P(A_n) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand on aZn≥−. Donc p.s. pour toutk≥,Zn≥−/kpour toutnsuffisamment grand.

PosonsB_n={Z_n≥(+)λ⁻^}.Les calculs de la solution de l’exercicedonnent P(B_n) =−

−  n^+λ

n

∼

n→∞

 n^λ.

La série de terme général/n^λne converge pas, il faut donc ruser un peu comme dans l’exercicede la PC

. Fixonsη >et posonsn_k= (+η)^k. AlorsP

k P(B_n_k) converge et d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutksuffisamment grand on aZ_n_k ≤(+)λ⁻^. On encadre ensuiten≥: (+η)^k≤n≤(+η)^k+^et on

´ecrit :

Z_n=max(X_, . . . , X_n)

ln(n) ≤max(X_, . . . , X_n_k+)

ln(n) ≤max(X_, . . . , X_n_k+) ln(n_k+)

ln(n_k+)

ln(n_k) =Z_n_k+·k+ k .

Il s’ensuit que p.s.Zn≤(+)λ⁻^pour toutnassez grand. Donc p.s. pour toutk≥,Zn≤λ+/kpour tout nsuffisamment grand.

On conclut que lim_n→∞Z_n=p.s.

() Pour la convergence dansL^, nous allons utiliser le lemme de Scheff´e (exercice), qui nous garantit qu’il suffit de v´erifier queE[Z_n]→/λ.

Montrons d’abord que

Z _

 ln(−v)vⁿ⁻^dv=−+^_+· · ·+_n^

n . ()

Pour cela, on ´ecrit ln(−v) =−P

k≥v^k

k . Comme X

k≥

Z_



v^k+n⁻^

k dv=X

k≥



(k+n)k<∞,

on a Z_

 ln(−v)vⁿ⁻^dv=−X

k≥

 (k+n)k.



(9)

Pour calculer cette somme, remarquons que _k(k+n)^ =^_n_

k − ^

k+n

, de sorte que

nX

k≥



(k+n)k =X

k≥

 k− 

k+n

= lim

N→∞

N

X

k=

 k− 

k+n

= lim

N→∞HN−Hn+N+

n

X

k=

 k

en notantH_n=+^_+· · ·+^_n la s´erie harmonique. CommeH_n= ln(n) +O() quandn→ ∞, on en d´eduit que

nX

k≥

 (k+n)k =

n

X

k=

 k, et () en d´ecoule.

Revenons maintenant au problème du comportement asymptotique deE[Z_n]. PosonsYn= max(X_, . . . , Xn), de sorte queZ_n =Y_n/log(n), et déterminons une densité deY_n. Pouru≥,P(Y_n≤u) = (−e⁻^λu)ⁿ. On en déduit queλne⁻^λu(−e⁻^λu)ⁿ⁻^1u≥eune densité deYn. Ainsi,

E[Z_n] = Z^∞



λn

ln(n)ue⁻^λu(−e⁻^λu)ⁿ⁻^du= Z^∞



λ

ln(n)ue⁻^λ^uⁿ(−e⁻^λ^uⁿ)ⁿ⁻^du.

En faisant le changement de variablev=−e⁻^λu, on en d´eduit que E[Z_n] =−n

λ Z_

 ln(−v)vⁿ⁻^dv= λ

+

+· · ·+ n

compte tenu de (). On en d´eduit queE[Z_n]→/λcarH_n∼log(n) lorsquen→ ∞, ce qui conclut.

Remarque.En utilisant la formuleE[Y_n] =R^∞

 P(Y_n≥t)dtvue `a l’exercicede la PC(suivi du changement de variableu=−e⁻^t), le calcul deE[Y_n] eun peu plus facile.

Remarque. Voici un argument probabilie qui permet de montrer que E[Y_n] = _λ^(+ ^_+· · ·+ ^_n). Imaginons que nous disposons de n horloges et que X_k représente le temps auquel sonne la k-ième horloge. La variable aléatoireY_n représente alors le temps au bout duquel sonne la dernière horloge. La première horloge sonne alors au temps min(X_, . . . , X_n), qui e diribué suivant une variable exponentielle de paramètre λn (d’espérance _λn^ donc), et d’après la propriété d’absence de mémoire, en remettant le temps à, les temps au bout desquels sonnent lesn− horloges reantes sont indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre λ. On en déduit que E[Y_n] =_λn^ +E[Y_n−], et le résultat voulu en découle.

Pour rédiger ceci de manière formelle, notons X()≤X() ≤ · · · ≤X(n)le réarrangement croissant des variables (X_, . . . , X_n). On montre alors que la densité conditionnelle de (X_()−X_(), . . . , X_(n)−X_()) sachantX_()ela même que celle du réarrangement croissant den−variables aléatoires i.i.d. exponentielles de paramètreλ(ce calcul e proche de celui des exercicesetde la PC). On écrit alors :

E[Y_n] =E hX(n)

i=E

hX(n)−X()

i+E hX()

i=E h

E[X(n)−X()|X()]i + 

λn=E[Y_n−] +  λn.



 Convergence en probabilit´e

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Convergences de variables aléatoires Corrigé des que ions non abordées en PC

 Convergence presque s ˆure

E xercice 4.

 Convergence en probabilit´e

E xercice 5.

 Convergence dans L

(en moyenne)

E xercice 6.

E xercice 7.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 9.

E xercice 10.

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

E xercice 12.

E xercice 13.

E xercice 14.

E xercice 15.

E xercice 16.

E xercice 17.

E xercice 18.

E ^{xercice 4.}

E ^{xercice 5.}

E ^{xercice 6.}

E ^{xercice 7.}

E ^{xercice 9.}