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 Convergence en probabilit´e

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Texte intégral

(1)

X  – MAP 

PC  – Lundi  mai  – Convergences de variables al´eatoires Corrig´e des que ions non abord´ees en PC

Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr

Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.

 Convergence presque s ˆure

E xercice 4.

(Pollen) On mod´elise l’´evolution discr´etis´ee d’une particule de pollen entre deux plaques absorbantes comme suit. Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi donn´ee parP(X=) =P(X=−) =

. Soitk≥un entier. On poseS=ket pour toutn≥

Sn=k+X+· · ·+Xn. SoitT = inf{i≥:Si=ouSi=k}(avec la convention inf∅=∞).

() Montrer queT <∞presque s ˆurement.

() On poseZn=Smin(n,T). Montrer queZnconverge presque s ˆurement vers une variable al´eatoire dont on identifiera la loi. E-ce queZnconverge en probabilit´e ? En moyenne ?

Corrig´e :

() S’il y akmont´ees successives, alorsT <∞. Une application du lemme de Borel-Cantelli (semblable `a celle au singe savant) montre que dans la suite (Xi)ila suiteapparaˆıtkfois de suite une infinit´e de fois presque s ˆurement. DoncP(T <∞).

() CommeT <∞presque s ˆurement,Zn converge presque s ˆurement versST. DoncZn converge ´egalement en probabilit´e versST (la convergence p.s. implique la convergence en probabilit´e). Comme|Zn| ≤k, la suite converge ´egalement en moyenne.

Par sym´etrie,

P(ST =) =P(ST =k) =

.

R´edigeons cet argument formellement. Soit Φ l’application qui transforme une marche surZ qui fait des sauts± en la marche obtenue en changeant les sauts + en sauts −et les sauts − en sauts +. Notons (Sn0)n =Φ((Sn)n) et T0 = inf{i≥:Si0 =ouSi0 =k}. Alors, par conruion,ST =si et seulement si ST00 =k. De plus, (Sn)n et (Sn0)n ont la mˆeme loi. DoncP(ST =) =P

ST00=k

=P(ST =k). Comme P(ST =) +P(ST =k) =, le r´esultat voulu en d´ecoule.

 Convergence en probabilit´e

E xercice 5.

(Le retour duRER B)On suppose que le temps d’attente duRER Bsuit une loi exponentielle de param`etre λ >. Si on prend le RER Bnfois, comment se comporte le temps maximal d’attente lorsquen→ ∞? Pour mod´eliser

Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.

(2)

cela, on consid`ere une suite (Xn)nde variables al´eatoires ind´ependantes de loi exponentielle de param`etreλ >, et on s’int´eresse `a la quantit´e maxknXk.

Montrer que la convergence

 ln(n) max

knXk −→

n→∞

λ a lieu en probabilit´e.

Corrig´e : Par d´efinition de la convergence en probabilit´e, il s’agit de montrer que pour tout >on a P

 ln(n) max

knXk− λ

>

!

−→

n→∞ .

Montrons d’abord que

P  ln(n) max

knXk<λ

!

−→

n→∞  pour </λ. Par ind´ependance,

P  ln(n) max

knXk<λ

!

= (−exp(−(−λ) lnn))n= exp nln −nλ n

!!

enλ→.

Ensuite, en passant au compl´ementaire, P 

ln(n) max

knXk>λ+

!

=−P(X<(/λ+) ln(n))n=−

−  n+λ

n

. Or

−

−  n

n

=−exp

nln

−  n

n→∞

nλ

−→

n→∞ .

 Convergence dans L

(en moyenne)

E xercice 6.

(Un exemple) Soitα >, et soit (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes de loi donn´ee par P(Zn=) = 

nα et P(Zn=) =−  nα.

Montrer queZn → dans L. E-ce que la suite (Zn)n converge en probabilit´e ? E-ce que la suite (Zn) converge presque-s ˆurement ?

Corrig´e : On a,

E(|Zn|) =E(Zn) =  nα →,

ce qui signifie queZn→dansL. DoncZn→en probabilit´e car la convergence en moyenne implique la conver- gence en probabilit´e.

Pour toutn≥, on noteAn={Zn=}. Siα >alorsP

nP(An)<∞. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, on a doncP(lim supAn) =c’e-`a-dire p.s., il exien≥tel que pour toutnn,Zn =et ainsiZn →presque s ˆurement

Si α ≤ alors P

nP(An) = ∞. LesAn ´etant ind´ependants, d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, on a donc P(lim supAn) =c’e-`a-dire p.sZn =une infinit´e de fois. On a aussiP

nP(Zn =) =∞, donc p.s.Zn =une

infinit´e de fois. DoncZnne converge pas presque s ˆurement.

(3)

E xercice 7.

(Petite auce)SoitXune variable al´eatoire r´eelle int´egrable. Montrer queE

hX1|X|>n

i→lorsquen→ ∞.

Corrig´e : PosonsYn=X1|X|>n. Alors : – Ynconverge presque s ˆurement vers

– |Yn| ≤ |X|, qui eune variable al´eatoire positive int´egrable et qui ne d´epend pas den.

D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,E[Yn]→E[] =.

 Plus appliqu´e (hors PC)

E xercice 9.

(Biais par la taille) On consid`ere une population comportant un grand nombrende foyers. On mod´elise la taille de ces foyers par une suite de variables al´eatoires (Xi)in ind´ependantes de mˆeme loi sur N, de moyenne m=E[X] =P

kkpk<∞avecpk=P(X=k). SoitT la taille du foyer d’un individu pris au hasard dans la population.

Montrer que pour tout entierk≥,P(T =k) converge versmkpk lorsquen→ ∞. Indication.On pourra commencer par calculerP(T =k|X, . . . , Xn).

Corrig´e :La population compte au totalX+· · ·+Xn individus. On mod´elise le choix d’un individu au hasard par le tirage, conditionnellement `aX, . . . , Xn (c’e-`a-dire sachantX, . . . , Xn), d’un entier selon la loi uniforme sur l’ensemble{,, . . . , X+· · ·+Xn}. Pour toutk≥, il y aNk B1{X=k}+· · ·+1{Xn=k}foyers de taillekqui comptent au totalkNk individus. Par cons´equent, par d´efinition de la loi uniforme (formulecas favorables sur cas totaux) :

P(T =k|X, . . . , Xn) =kPn

i=1{Xi=k}

Pn

i=Xi =knPn

i=1{Xi=k}

n

Pn

i=Xi . Donc, d’apr`es la loi forte des grands nombres,

P(T =k|X, . . . , Xn) −→p.s.

n→∞

k mpk.

Posons F(X, . . . , Xn) = P(T =k|X, . . . , Xn), de sorte que P(T =k) = E[F(X, . . . , Xn)] (plus g´en´eralement, E[U] = E[E[U|V]]). D’apr`es ce qu’on vient de voir, F(X, . . . , Xn) converge presque s ˆurement vers mkpk en ´etant domin´e par(car c’eune probabilit´e conditionnelle), int´egrable. D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee,

P(T =k) =E[F(X, . . . , Xn)] −→

n→∞

k mpk.

Interpr´etation.La loi deT n’epas la loi de d´epart, car les grands foyers sont sur-repr´esent´es tandis que les petits foyers sont sous-repr´esent´es. Ce ph´enom`ene eappel´ebiais par la tailleIl s’agit sans doute du biais d’´echantillonnage le plus connu. Le biais ed’autant plus important que la taille du foyer diff`ere de la taille moyennem.

E xercice 10.

(Probl`eme du colleionneur) Soit (Xk, k≥) une suite de variables al´eatoires ind´ependantes uniform´ement diribu´ees sur{,, . . . , n}. Soit

Tn= inf{m≥:{X, . . . , Xm}={,, . . . , n}}

le premier temps o `u toutes les valeurs ont ´et´e observ´ees.

() Soitτkn= inf{m≥:|{X, . . . , Xm}|=k}pour toutk≥. Montrer que les variables (τknτkn)knsont ind´ependantes, et d´eterminer leurs lois respeives.

() En d´eduire que la convergence nlogTnn →a lieu en probabilit´e.

Indication.On pourra utiliser l’in´egalit´e de Bienaym´e-Tch´ebychev.

(4)

Corrig´e :

() La quantit´eτknτknrepr´esente le temps mis pour obtenir un nouvel ´el´ement une fois qu’on en a obtenuk−.

Intuitivement, ces variables sont ind´ependantes et suivent une loi g´eom´etrique de param`etre nk+n (il ree n−(k−) ´el´ements).

Pour le d´emontrer formellement, on peut proc´eder comme suit. On aτn =. Soit (t, . . . , tn)∈(N)n. On veut calculerP(τnτn =t, . . . , τnnτnn=tn). En posantt=et en notantSn l’ensemble des permutations de{,, . . . , n}, on a

P(τnτn=t, . . . , τnnτnn=tn)

= X

σ∈Sn

P





n

\

k=

Xt+...+tk=σ(k), Xt+...+tk+∈ {σ(), . . . , σ(k)}, . . . ,

Xt+...+tk+tk+∈ {σ(), . . . , σ(k)}

∩ {Xt+...+tn=σ(n)}





= X

σ∈Sn

nn

Yn

k=

k− n

!tk

= n!

nn Yn

k=

k− n

!tk

= Yn k=

n+−k n

! k− n

!tk

.

Donc les variables al´eatoires (τknτkn)knsont ind´ependantes, et ont respeivement pour loi

P

τknτkn=i

= n+−k n

! k− n

!i

= nk+ n

!

−nk+ n

!i

pouri≥.

Cette loi ebien la loi deGko `uGksuit la loi g´eom´etrique de param`etrennk+. () On aTn=τ+Pn

k=kτk) et donc

E(Tn) =+ Xn

k=

n

n+−k =+nHn, o `uHnela s´erie harmonique et

Var(Tn) = Xn

k=

Var(τkτk) = Xn

k=

(k−)/n ((n+−k)/n) =n

n

X

k=

nk kCn

avecC=P

k

k. Donc pour tout >,

P(|Tn−E(Tn)| ≥nlog(n))≤ Var(Tn)

nlog(n)C log(n).

Donc (Tn−E(Tn))/(nlog(n))→en probabilit´e. OrE(Tn)∼nlog(n) quandn→ ∞. Donc pour tout >on a {|Tnnlog(n)| ≥nlog(n)} ⊂ {|Tn−E(Tn)| ≥nlog(n)}pournassez grand. On obtient ainsi le r´esultat.

(5)

 Pour aller plus loin (hors PC)

E xercice 11.

(Lois exponentielles de grand param`etre)Soit (Zn, n≥) une suite de variables al´eatoires telle que pour tout entiern≥,Zneune variable al´eatoire exponentielle de param`etren. Montrer queZnconverge presque s ˆurement verslorsquen→ ∞.

Corrig´e : Soit >. On aP(Zn> ) =en. Donc X

n

P(Zn> )<.

D’apr`es le (premier) lemme Borel Cantelli, pour tout >, presque s ˆurement, `a partir d’un certain rang on aZn. Donc presque s ˆurement, pour entierk ≥, `a partir d’un certain rang≤Zn≤/k. On en d´eduit queZn converge presque s ˆurement vers.

 Attention.On a effeu´e une interversion du pour tout >et du presque s ˆurement ! Ici, cela a ´et´e rendu possible

en se rereignant `a une suite d´enombrable.

E xercice 12.

(Extension du th´eor`eme de convergence domin´ee)Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires r´eelles telle que Xn converge en probabilit´e vers X. On suppose qu’il exie une variable al´eatoire positive et int´egrableZ, ind´ependante den, telle que|Xn| ≤Zpour toutn≥. Montrer queXnconverge versXen moyenne.

Indication.On pourra utiliser que siYnconverge en probabilit´e versYalors il exie une sous-suite deYnqui converge presque s ˆurement versY.

Corrig´e :Tout d’abord, montrons que|X| ≤Zpresque s ˆurement. CommeXn converge en probabilit´e versX, il exie une sous-suiteXφ(n)qui converge presque s ˆurement versX. Comme|Xφ(n)| ≤Zpour toutn≥, on en d´eduit que|X| ≤Zpresque s ˆurement.

On en d´eduit que la suiteE[|XnX|] eborn´ee, carE[|XnX|]≤E[|Xn|] +E[|X|]≤E[Z]. Pour montrer que E[|XnX|]→, il suffit donc de montrer queela seule valeur d’adh´erence de la suiteE[|XnX|].

Pour cela, soitφune extraion telle queE

h|Xφ(n)X|i

`. CommeXφ(n)converge aussi en probabilit´e vers Xlorsque n→ ∞, il exie une extraionψ telle que Xφ(ψ(n)) converge presque s ˆurement vers Xlorsquen→ ∞. On peut alors appliquer le th´eor`eme de convergence domin´e usuel pour en d´eduire queE

h|Xφ(ψ(n))X|i

→. Donc

`=, ce qui conclut.

E xercice 13.

(Convergences joitns en probabilit´e)Soit (Xn)n une suite de variables al´eatoires qui converge en pro- babilit´e versXet soit (Yn)nune suite de variables al´eatoires qui converge en probabilit´e versY. Montrer que (Xn, Yn) converge en probabilit´e vers (X, Y).

Corrig´e : Pour tout >, on remarque que si

k(Xn, Yn)−(X, Y)k ≥.

alors|XnX| ≥ou|YnY| ≥. En effet, par l’absurde, si|XnX|< et|YnY|< , alors k(Xn, Yn)−(X, Y)k ≤

+=

√ <.

Ainsi, pour tout >,

P(k(Xn, Yn)−(X, Y)k ≥)≤P(|XnX| ≥) +P(|YnY| ≥) −→

n→∞ ,

d’o `u le r´esultat.

(6)

E xercice 14.

(Lemme de Scheff´e)Soient (Xn)n des variables al´eatoirespositivesqui convergent presque s ˆurement versX. On suppose queE[X]<∞et queE[Xn]→E[X] lorsquen→ ∞. Le but de cet exercice ede d´emontrer que XnXdansL.

On poseYn= min(Xn, X) etZn= max(Xn, X).

() D´emontrer queE[Yn]→E[X] lorsquen→ ∞. () D´emontrer queE[Zn]→E[X] lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire queZn=X+XnYn. () Conclure queE[|XnX|]→lorsquen→ ∞.

Indication.On pourra ´ecrire que|XnX|=ZnYn.

Corrig´e :

() Yn converge presque s ˆurement versX, en ´etant major´e parX. DoncE[Yn]→E[X] d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee.

() On aE[Zn] =E[X] +E[Xn]−E[Yn]→E[X] +E[X]−E[X] =E[X].

() On aE[|XnX|] =E[Zn]−E[Yn]→E[X]−E[X] =.

E xercice 15.

(Croissance)Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur le mˆeme espace de probabi- lit´e. Montrer qu’il exie une suite (cn)ntelle queXn/cnconverge presque s ˆurement vers.

Corrig´e : Soit n≥, comme la fonion de r´epartition de|Xn| tend versen∞, il exie cn > suffisamment grand tel queP

|Xn|>cnn

≤n. Montrons que (cn) convient.

D’apr`es le (premier) lemme de Borel-Cantelli, il suffit de montrer que pour tout >, la s´erieP

nP

Xn cn

>

converge. Alors, pourn >/(de sorte que >/n), P

Xn cn

>

!

≤P

Xn cn

>n

!

≤ 

n

par d´efinition decn. D’o `u le r´esultat.

E xercice 16.

(Dichotomie)Soit (Xn, n≥) une suite de variables al´eatoires r´eelles positives, ind´ependantes et de mˆeme loi.

() Montrer que p.s.P

n=Xn=∞, sauf dans un cas `a pr´eciser.

() Montrer que pour toutαon aαP

nP(X≥αn)≤E[X]< αP

nP(X≥αn) +α.

Indication. On pourra montrer que X

n

αnP(αn≤X < α(n+))≤E[X]≤X

n

α(n+)P(αn≤X < α(n+)).

() Montrer que pour toutα >on a l’´equivalence suivante : E[X]<∞ ⇐⇒ X

n

P(X≥αn)<. () En d´eduire la dichotomie suivante : presque s ˆurement,

la plus grande valeur d’adh´erence deXn n vaut





 siE[X]<

∞ siE[X] =∞ .

(7)

Corrig´e :

() Tout d’abord, siXepresque s ˆurement nulle, alorsP

nXn=p.s. Supposons queXn’epas nulle, alors on peut trouver >tel queP(X> )>. On a alors queP

nP(Xn> ) =∞, et lesXn sont ind´ependants, donc par le (deuxi`eme) lemme Borel-Cantelli, p.s. les Xn sont sup´erieurs `a une infinit´e de fois, donc P

nXn=∞.

() SoitXune v.a. positive etα >. On v´erifie ais´ement les encadrements deXsuivants : X

n

αn1αnX<α(n+)X≤X

n

α(n+)1αnX<α(n+). En prenant l’esp´erance de la ligne pr´ec´edente on obtient

X

n

αn(P(X≥αn)−P(X≥α(n+))) ≤ E[X]

≤ X

n

α(n+) (P(X≥αn)−P(X≥α(n+))) En reconnaissant des sommes t´el´escopiques, on en d´eduit que

αX

n

P(X≥αn)≤E[X]< αX

n

P(X≥αn) +α.

() C’eune cons´equence imm´ediate de la queion pr´ec´edente.

() Soitα >. La plus grande valeur d’adh´erence deXnn esup´erieure ou ´egale `aαsi et seulement si il exie une infinit´e dentels queXnαn. D’apr`es la queion pr´ec´edente,

X

n

P(X≥αn)





<∞ siE[X]<

=∞ siE[X] =∞ , donc, d’apr`es les deux lemmes de Borel-Cantelli,

P

la plus grande valeur d’adh´erence deXn nα

=





 siE[X]<

 siE[X] =∞ et par cons´equent

la plus grande valeur d’adh´erence deXn n =





 siE[X]<

∞ siE[X] =∞ p.s.

E xercice 17.

(Loi forte des grands nombres, cas non int´egrable)s Soit (Xn)nune suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi. On pose, pour toutn≥,Sn=X+. . .+Xn. Montrer que siXn’epas int´egrable alors la suite (nSn)ndiverge p.s.

Indication.On pourra utiliser la queion () de l’exerciceet montrer que siSn/nconverge alorsXn/n→.

Corrig´e : On aP(|X| ≥n) =P(|Xn| ≥n). CommeXn’epas int´egrable, d’apr`es la queion () de l’exercice

on aP

nP(|Xn| ≥n) = +∞. Les ´ev´enements{|Xn| ≥n}´etant ind´ependants, on aP(lim sup{|Xn| ≥n}) =d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli.

(8)

Ensuite, on remarque que Sn

n a une limite r´eelle

Sn

nSn+

n+→ \( Sn n(n+)→

) .

Donc Sn

n a une limite r´eelle

Xn

n →

⊂(lim sup{|Xn| ≥n})c.

En effet, siXn/n→, alors|Xn|< n `a partir d’un certain rang. L’´ev`enement (lim sup{|Xn| ≥n})c ´etant de probabilit´e

nulle, on en d´eduit queSn/ndiverge p.s.

E xercice 18.

(Diff´erents modes de convergence)La convergence de l’exercicea-t-elle lieu presque s ˆurement ? Dans L?

Corrig´e : Montrons que la convergence a lieu p.s. et dansL. On pose Zn= 

ln(n) max

knXk

() Soit ∈ (,) et posons An ={Zn ≤(−}. Montrons queP

P(An) converge. D’apr`es les calculs de la solution de l’exercice, on aP(An)≤enλ. DoncP

P(An) converge. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand on aZn≥−. Donc p.s. pour toutk≥,Zn≥−/kpour toutnsuffisamment grand.

PosonsBn={Zn≥(+}.Les calculs de la solution de l’exercicedonnent P(Bn) =−

−  n+λ

n

n→∞

nλ.

La s´erie de terme g´en´eral/nλne converge pas, il faut donc ruser un peu comme dans l’exercicede la PC

. Fixonsη >et posonsnk= (+η)k. AlorsP

k P(Bnk) converge et d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutksuffisamment grand on aZnk ≤(+. On encadre ensuiten≥: (+η)kn≤(+η)k+et on

´ecrit :

Zn=max(X, . . . , Xn)

ln(n) ≤max(X, . . . , Xnk+)

ln(n) ≤max(X, . . . , Xnk+) ln(nk+)

ln(nk+)

ln(nk) =Znk+·k+ k .

Il s’ensuit que p.s.Zn≤(+)λpour toutnassez grand. Donc p.s. pour toutk≥,Znλ+/kpour tout nsuffisamment grand.

On conclut que limn→∞Zn=p.s.

() Pour la convergence dansL, nous allons utiliser le lemme de Scheff´e (exercice), qui nous garantit qu’il suffit de v´erifier queE[Zn]→/λ.

Montrons d’abord que

Z

ln(−v)vndv=−++· · ·+n

n . ()

Pour cela, on ´ecrit ln(−v) =−P

kvk

k . Comme X

k

Z

vk+n

k dv=X

k

(k+n)k<,

on a Z

ln(−v)vndv=−X

k

 (k+n)k.

(9)

Pour calculer cette somme, remarquons que k(k+n) =n

k

k+n

, de sorte que

nX

k

(k+n)k =X

k

k− 

k+n

= lim

N→∞

N

X

k=

k− 

k+n

= lim

N→∞HNHn+N+

n

X

k=

k

en notantHn=++· · ·+n la s´erie harmonique. CommeHn= ln(n) +O() quandn→ ∞, on en d´eduit que

nX

k

 (k+n)k =

n

X

k=

k, et () en d´ecoule.

Revenons maintenant au probl`eme du comportement asymptotique deE[Zn]. PosonsYn= max(X, . . . , Xn), de sorte queZn =Yn/log(n), et d´eterminons une densit´e deYn. Pouru≥,P(Ynu) = (eλu)n. On en d´eduit queλneλu(−eλu)n1ueune densit´e deYn. Ainsi,

E[Zn] = Z

λn

ln(n)ueλu(−eλu)ndu= Z

λ

ln(n)ueλun(−eλun)ndu.

En faisant le changement de variablev=−eλu, on en d´eduit que E[Zn] =−n

λ Z

ln(−v)vndv= λ

+

+· · ·+ n

compte tenu de (). On en d´eduit queE[Zn]→/λcarHn∼log(n) lorsquen→ ∞, ce qui conclut.

Remarque.En utilisant la formuleE[Yn] =R

P(Ynt)dtvue `a l’exercicede la PC(suivi du changement de variableu=−et), le calcul deE[Yn] eun peu plus facile.

Remarque. Voici un argument probabilie qui permet de montrer que E[Yn] = λ(+ +· · ·+ n). Imaginons que nous disposons de n horloges et que Xk repr´esente le temps auquel sonne la k-i`eme horloge. La variable al´eatoireYn repr´esente alors le temps au bout duquel sonne la derni`ere horloge. La premi`ere horloge sonne alors au temps min(X, . . . , Xn), qui e diribu´e suivant une variable exponentielle de param`etre λn (d’esp´erance λn donc), et d’apr`es la propri´et´e d’absence de m´emoire, en remettant le temps `a, les temps au bout desquels sonnent lesn− horloges reantes sont ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle de param`etre λ. On en d´eduit que E[Yn] =λn +E[Yn], et le r´esultat voulu en d´ecoule.

Pour r´ediger ceci de mani`ere formelle, notons X()X() ≤ · · · ≤X(n)le r´earrangement croissant des variables (X, . . . , Xn). On montre alors que la densit´e conditionnelle de (X()X(), . . . , X(n)X()) sachantX()ela mˆeme que celle du r´earrangement croissant den−variables al´eatoires i.i.d. exponentielles de param`etreλ(ce calcul e proche de celui des exercicesetde la PC). On ´ecrit alors :

E[Yn] =E hX(n)

i=E

hX(n)X()

i+E hX()

i=E h

E[X(n)X()|X()]i + 

λn=E[Yn] +  λn.

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