TD mp* : convergence de variables aléatoires
1. Deux définitions
Si (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et siX est une variable aléatoire réelle sur ce même espace probabi- lisé,
– on dit que (Xn) converge versX en probabilité lorsque pour tout²>0, P(|Xk−X| ≥²)−−−−−→
k→+∞ 0
– On dit que (Xn) converge versX presque sûrement lorsque l’ensemble des ω ∈Ω tels que (Xn(ω))n∈N ne converge pas vers X(ω) est négligeable, i.e.
lorsque l’évènement
{ω∈Ω; Xn(ω)−−−−−→
n→+∞ X(ω)}
est presque sûr.
Remarque : est-ce bien un évènement ? c’est une bonne question, on y ré- pond à la fin de cet énoncé.
Remarque : il existe encore un type de convergence différent : la convergence en loi, on verra ça avec les fonctions génératrices.
Remarque : Vous trouverez peut-être la convergence des suites de v.a.r. un peu étrange, en tout cas moins graphique que la convergence des fonctions.
C’est normal, et c’est pour cela qu’aucune de ces définitions n’est au pro- gramme !
2. Un exemple paradoxal
Dans cette question, (Xn)n∈N∗ est une suite de variables aléatoires indépen- dantes sur l’espace probabilisé (Ω,A,P), telles que chaqueXnsuit une loi de BernoulliB(1/n).
(a) Montrer que la suite (Xn) converge en probabilité vers 0.
1
cv des v.a. (TD mp*)
(b) On note, pour tout n ≥ 1 ,An l’évènement (Xn = 1). Déterminer, pour tout p≥1,P
Ã+∞
\
n=p
An
!
(on pourra commencer par s’intéresser aux inter- sections partielles). En déduire que presque sûrement la suite (Xn) ne converge pas vers 0.
3. Le lemme de Borel-Cantelli, version « facile »
Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. Si (An)n≥0est une suite d’événements, on note
lim sup
n→+∞
(An)=
+∞\
p=0
Ã+∞
[
n=p
An
!
On supposeX
n
P(An)< +∞. Montrer que P(lim sup
n→+∞
(An)=0
4. Deux conditions suffisantes pour une convergence presque sûre Soit (Xn)n≥0une suite de variables aléatoires réelles positives.
(a) On suppose, pour tout²>0, X
n
P(Xn>²)< +∞
i. Soit²>0. Que peut-on dire de N²=
+∞\
p=0
Ã+∞
[
n=p
(Xn>²)
!
? ii. Montrer que[
²>0
N²est négligeable.
iii. Montrer que (Xn) converge vers 0 presque sûrement.
(b) On suppose
X
n
E(Xn)< +∞
Montrer que (Xn) converge vers 0 presque sûrement.
5. On se replace sous les hypothèses de la question2.(l’exemple paradoxal). Mon- trer qu’il existe une extractriceφtelle que la suite¡
Xφ(n)¢
converge vers 0 presque sûrement.
6. Montrer que, si une suite de variables aléatoires (Xn) converge presque sûre- ment vers une variable aléatoireX, alors elle converge en probabilité.
7. Montrer que si une suite de variables aléatoires (Xn) converge en probabilité vers une variable aléatoireX, on peut en extraire une suite qui converge presque sûrement versX.
2
cv des v.a. (TD mp*)
Annexe : Borel-Cantelli difficile (cf P1)
1. Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé. Si (An)n∈Nest une suite d’événements, on note
lim sup
n→+∞
(An)=
+∞\
p=0
Ã+∞
[
n=p
An
!
On supposeX
n
P(An)= +∞et lesAnindépendants. Montrer que
P µ
lim sup
n→+∞
(An)
¶
=1 Remarque : L’évènementlim sup
n→+∞
(An)est un évènement « asymptotique », lorsque lesAnsont indépendants les lemmes de Borel-Cantelli facile et difficile montrent qu’il est de probabilité0ou1, c’est un exemple de vérification d’un célèbre ré- sultat appelé le0−1de Kolmogorov.
2. Le singe dactylographe
Un « singe dactylographe » tape sur une machine à écrire : à chaque frappe, il tape aléatoirement, avec même probabilité, une des 26 lettres de l’alphabet.
Il ne s’arrête jamais. Montrer qu’il tapera presque sûrement une infinité de fois le mot JTKU, les oeuvres complètes de Tocqueville, Les Mémoires d’Outre- Tombe, etc. . .(pour ces deux derniers exemples, on néglige ponctuation, es- paces, accents. . .).
Annexe 2
Si (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω,A,P), et siX est une variable aléatoire réelle sur ce même espace probabilisé, montrer que
{ω∈Ω; Xn(ω)−−−−−→
n→+∞ X(ω)}
est un évènement.
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