Convergence des variables aléatoires

Convergence des variables aléatoires

Cours de É. Bouchet ECS1 19 mai 2021

Table des matières

1 Inégalités probabilistes 2

1.1 Inégalité de Markov . . . 2 1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . 2

2 Convergence en probabilité 3

2.1 Convergence en probabilité . . . 3 2.2 Loi faible des grands nombres . . . 4

3 Convergence en loi 5

3.1 Convergence en loi . . . 5 3.2 Approximation poissonnienne d'une loi binomiale . . . 6 3.3 Théorème limite central . . . 7

1 Inégalités probabilistes

1.1 Inégalité de Markov

Soit X une variable aléatoire discrète positive admettant une espérance etλ∈R^∗₊ :

P(X>λ)6 E(X) λ . Proposition (Inégalité de Markov).

Remarque. Le résultat énoncé est celui du programme, cependant la condition variable discrète n'est pas nécessaire pour que l'inégalité soit vériée.

Démonstration. (démonstration à connaître) Comme X est une variable aléatoire discrète, on peut supposer que X(Ω) ={x_i|i∈I} oùI est un sous-ensemble deZ. Alors :

P(X>λ) = X

xi>λ

P(X =x_i).

Par ailleurs, par dénition de l'espérance et positivité desx_i, E(X) =X

i∈I

x_iP(X =x_i)> X

xi>λ

x_iP(X=x_i)> X

xi>λ

λP(X=x_i) =λX

xi>λ

P(X=x_i).

DoncE(X)>λP(X>λ), et en divisant parλ∈R^∗₊ on obtient le résultat souhaité.

1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit X une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre2etε∈R^∗₊ :

P(|X−E(X)|>ε)6 V (X) ε² . Proposition (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).

Démonstration. La variable(X−E(X))² est une variable aléatoire discrète positive admettant une espérance (carX admet une variance), on peut donc lui appliquer l'inégalité de Markov : pourλ=ε² ∈R^∗₊,

P (X−E(X))² >ε²

6 E (X−E(X))²

ε² = V(X) ε² .

Or,(X−E(X))² >ε²⇐⇒ |X−E(X)|>εcarε >0et par stricte croissance de la fonction racine carrée deR+ dans R₊. Donc

P (X−E(X))² >ε²

=P(|X−E(X)|>ε) d'où le résultat.

2 Convergence en probabilité

2.1 Convergence en probabilité

Soit (Xn)_n∈N etX des variables aléatoires dénies sur un même espace probabilisé(Ω,A, P). On dit que (X_n)_n∈N converge en probabilité versX lorsque pour toutε >0,

n→+∞lim P(|X_n−X|> ε) = 0.

On noteXn

−→P X.

Dénition (Convergence en probabilité).

Remarque. X_n−X−^P→0 si et seulement siX_n−→^P X Remarque. Il sut de montrer que lim

n→+∞P(|X_n−X|>ε) = 0 car∀ε >0, 06P(|X_n−X|> ε)6P(|X_n−X|>ε). Remarque. Il sut de montrer que∀ε∈]0,1], lim

n→+∞P(|X_n−X|> ε) = 0. En eet, siε >1, 06P(|X_n−X|> ε)6P(|X_n−X|>1).

Exemple 1. Si pour tout n ∈ N^∗, Xn suit une loi exponentielle de paramètre n, la suite des (Xn) converge en probabilités vers la variable aléatoire constante égale à0.

En eet, si on xeε >0,

P(|X_n−X|> ε) =P(Xn> ε) = 1−P(Xn6ε). La fonction de répartition de la loi exponentielle donne donc :

P(|X_n−X|> ε) = 1−1 +e^−nε=e^−nε−−−→

n→∞ 0.

D'où le résultat (on aurait aussi pu vouloir utiliser l'inégalité de Markov, mais le programme de première année ne le permet pas car c'est une variable à densité).

Remarque. La convergence en probabilités n'entraîne pas la convergence des espérances.

Exemple 2. Pour tout n∈N^∗, on dénit une variable aléatoireXn telle que Xn =n avec probabilité _n¹ etXn= 0 avec probabilité1−¹_n. Alors(X_n)_n>0converge en probabilités vers la variable aléatoire constante égale à0maisE(X_n) ne converge pas versE(0).

Soitε∈]0,1[(on peut se ramener à étudier cet intervalle, car ce sont les petitsεqui posent problème) : P(|X_n−X|> ε) =P(X_n> ε)^ε>0= P(X_n=n) = 1

n. Comme lim

n→∞

1

n = 0, on en déduit la convergence en probabilités annoncée. Il ne reste plus qu'à calculer l'espérance : pour toutn∈N^∗,

E(X_n) = 0P(X_n= 0) +nP(X_n=n) = 0 +n n = 1.

Or1 ne converge pas vers0. D'où le résultat.

2.2 Loi faible des grands nombres

Soit (Xn)_n∈N∗ une suite de variables aléatoires telles que ∀n∈N^∗,Xn,→ B(n, p), alors 1 nXn P

−→p. Théorème (Loi faible des grands nombres).

Démonstration. (démonstration à connaître) On utilise l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : les 1

nXnsont des variables aléatoires discrètes, qui admettent une variance. Notamment, pour tout entiern,

E Xn

n

= 1

nE(Xn) = np

n =p et V Xn

n

= 1

n²V(Xn) = np(1−p)

n² = p(1−p) n . On a donc, pourn∈Net toutε >0,

06P

Xn

n −p >ε

6 p(1−p)

nε² −−−−−→

n→+∞ 0.

D'où le résultat par théorème d'encadrement.

3 Convergence en loi

3.1 Convergence en loi

Soit (Xn)_n∈N une suite de variables aléatoires réelles. On dit que (Xn)_n∈N converge en loi vers une variable aléatoire réelle X lorsque pour toutx∈R oùF_X est continue,

n→+∞lim FXn(x) =FX(x).

On note alorsXn

−→L X.

Dénition (Convergence en loi).

Remarque. La nature des variablesX_n et de X peut être diérente (discrètes ou à densité).

Exemple 3. Pour toutn∈N^∗, on dénitX_nune variable aléatoire de loi uniforme sur

−_n¹,¹_n

. Étudier la convergence en loi de la suite(X_n)n∈N^∗.

On commence par déterminer la fonction de répartition deXn, en utilisant la fonction de répartition de la loi uniforme :

F_Xn(x) =







0 si x6−_n¹

nx+1

2 si x∈

−_n¹,_n¹ 1 si x> ¹_n

Soit x >0. Pour tout n> _x¹, on ax> _n¹ et donc FXn(x) = 1. Donc lim

n→+∞FXn(x) = 1. Soit x <0. Pour tout n>−¹_x,x6−¹_n et doncF_Xn(x) = 0. Donc lim

n→+∞F_Xn(x) = 0.

On reconnaît après passage à la limite la fonction de répartition de la variable certaine égale à0(qui n'est pas continue enx= 0, ce qui justie de n'avoir pas étudié les limites en ce point). Donc la suite(X_n)converge en loi vers la variable certaine égale à0.

Soit (Xn)_n∈N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelle. On suppose que Xn(Ω)etX(Ω)sont inclus dans N. AlorsXn

−→L X si et seulement si pour touti∈N,

n→+∞lim P(Xn=i) =P(X=i). Proposition (Cas où Xn etX sont à valeurs dansN).

Démonstration.

Supposons que∀i∈N, lim

n→+∞P(Xn=i) =P(X=i). Soit x∈R, par propriété de la fonction de répartition, pour tout k∈N,

FX_k(x) =

bxc

X

i=0

P(Xk=i),

qui converge par linéarité des limites vers

bxc

X

i=0

P(X=i) =F_X(x). DoncX_n−→^L X.

Supposons queX_n−→^L X. Alors pour toutx∈R\N(qui correspondent aux points de continuité),limF_Xk(x) = FX(x). Or on sait que par propriété de la fonction de répartition, pour tout k, et pour touti>0,

P(X_k=i) =F_Xk(i)−F_Xk(i−1),

sauf que ça n'aboutit pas ici : on ne peut pas passer à la limite, parce que i et i+ 1 ne sont pas des points de continuité. On peut par contre modier légèrement l'expression pour contourner ce problème : comme la variable aléatoire est à valeurs entières, pour tout k, et pour touti∈N,

P(Xk=i) =FXk

i+1

2

−FXk

i−1

2

,

et on est alors bien en des points de continuité : on peut passer à la limite, et

k→+∞lim P(X_k=i) =F_X

i+1 2

−F_X

i−1 2

=P(X=i).

3.2 Approximation poissonnienne d'une loi binomiale

Soit(p_n)∈]0,1[^Nune suite de réels telle que(np_n)converge vers un réel strictement positifλ. Soit(X_n)_n∈N une suite de variables aléatoires telle que pour toutn∈N,X_n,→ B(n, p_n). AlorsX_n−→^L Y, oùY ,→ P(λ).

Proposition (Approximation poissonnienne d'une loi binomiale).

Démonstration. (démonstration à connaître) Pour toutk∈N et pour toutn>k(car X_n(Ω) = [[0, n]]), P(X_n=k) =

n k

p^k_n(1−p_n)^n−k.

Or n

k

∼ n^k

k! à kxé, donc n

k

p^k_n∼ (npn)^k

k! va converger vers λ^k

k! lorsque ntend vers l'inni. De plus, (1−pn)^n−k= exp ((n−k) ln(1−pn)),

et ln(1−p_n) ∼ −p_n, car −p_n ∼ −λ

n converge vers 0. Donc (n−k) ln(1−p_n) ∼ −np_n ∼ −λ, et par continuité de l'exponentielle en−λ,

n→+∞lim (1−pn)^n−k= exp(−λ).

Par produit, on obtient : lim

n→+∞P(Xn=k) = λ^k

k!e^−λ, ce qui termine la preuve.

3.3 Théorème limite central

Soit (X_n)_n∈N une suite de variables aléatoires réelles discrètes telle que pour toutn∈N,X_n ,→ B(n, p). Alors

X_n^∗ = X_n−np pnp(1−p)

−→L Y, où Y ,→ N (0,1).

Théorème (Théorème limite central : approximation normale d'une loi binomiale).

Soient λ > 0 et (X_n)_n∈N∗ une suite de variables aléatoires réelles discrètes telle que pour tout n ∈ N^∗, Xn,→ P(nλ). Alors

X_n^∗ = Xn−nλ

√ nλ

−→L Y, où Y ,→ N (0,1).

Théorème (Théorème limite central : approximation normale d'une loi de Poisson).

Exemple 4. Étudier la convergence en loi de la suite de variables ^Xqn−_2nⁿ³

9

!

n∈N^∗

où X_n suit une loi binomiale de

paramètre n,¹₃

. En déduire que lim

n→+∞

1 3ⁿ

bn/3c

X

k=0

n k

2^n−k= 1 2.

Soit n ∈ N^∗. La variable aléatoire étudiée est la variable centrée réduite X_n^∗ associée à la variable X_n, car pn = ⁿ₃, etp(1−p)n = ⁿ₃²₃ = ²ⁿ₉ . Par le théorème limite central, la suite de variables converge donc en loi vers une variable aléatoireY de loi normale centrée réduite. FY est continue surR, donc pour toutx∈R,FX_n^∗(x)converge versFY(x).

1

2 nous évoqueF_Y(0), ce que incite à étudier le cas particulierx= 0:

n→+∞lim F_X^∗_n(0) =F_Y(0) = 1 2. Par ailleurs,

FX_n^∗(0) =P









X_n−n 3 r2n

9

60









=P

Xn−n 3 60

=P

Xn6 n 3

=P

Xn6 jn

3 k

,

où la dernière égalité est vraie carX_n est à valeurs entières. Or on connaît la loi de X_n : P

Xn6 n 3

=

bn/3c

X

k=0

n k

1 3

k 1− 1

3 n−k

= 1 3ⁿ

bn/3c

X

k=0

n k

2^n−k. En remplaçant dans les expressions précédentes, on obtient donc bien la limite demandée.