Travaux dirig´ es, feuille 3 : Int´ egrabilit´ e, int´ egrales, th´ eor` emes de convergence des int´ egrales

Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths Fondamentales

Int´egration et Probabilit´es 2010-2011

Travaux dirig´ es, feuille 3 : Int´ egrabilit´ e, int´ egrales, th´ eor` emes de convergence des int´ egrales

Pr´eambule I : lim inf et lim sup de r´eels et d’ensembles

Exercice 1

Soit (u_n)n∈N une suite de nombres r´eels. On consid`ere les ´el´ements suivants de Rappel´es limite inf´erieure et limite sup´erieure de la suite (u_n)n∈N:

limun= lim inf

n→∞ un= sup

p∈N

n>pinf un

, limun= lim sup

n→∞ un= inf

p∈N

sup

n>p

un

.

1) a) Quelles in´egalit´es peut-on ´ecrire avec les ´el´ements deRsuivants : lim supun,lim infun,infunet supun. b) Si (u_n) et (v_n) sont deux suites r´eelles telles que ∀n ∈ N, u_n < v_n, comparer les limites inf´erieures et sup´erieures de (un) et (vn).

2) L’ensemble des valeurs d’adh´erence d’une suite (un) est l’ensemble (ferm´e)

\

N∈N

u_n:n≥N .

Une valeur d’adh´erence d’une suite de nombres r´eels (u_n) peut ˆetre finie ou infinie.

a) Montrer que aest une valeur d’adh´erence de (u_n) si et seulement si on peut extraire de la suite (u_n) une sous-suite (u_φ(n)) qui converge versa,φ´etant une application strictement croissante de NdansN

b) Montrer que lim supu_net lim infu_nsont respectivement la plus grande et la plus petite valeur d’adh´erence de la suite (un).

c) Montrer que la suite (u_n) converge dans ¯Rsi et seulement si lim supu_n= lim infu_n, et que sa limite est alors cette valeur commune.

3) Que valent lim supu_n,lim infu_n,infu_n,supu_n dans les cas suivants:

i) aⁿ (o`ua∈R^∗), ii) (−1)ⁿ(1 +_n+1¹ ), iii) (−1)ⁿ(1−_n+1¹ ).

4) Soit (An)n∈N une suite de parties d’un ensembleE. Montrer que lim sup

n→∞ 1An =1_{lim supAn} et lim inf

n→∞ 1An =1_{lim infAn}. La d´efinition de lim infA_n et lim supA_n est rappel´ee dans l’exercice ci-dessous.

Exercice 2

Dans cet exercice on consid`ere un ensemble Ω, et (A_n) une suite de parties de Ω. On rappelle que la limite inf´erieure et la limite sup´erieure de la suite (An) sont les parties de Ω d´efinies par :

lim inf

n→∞ A_n= [

p∈N

\

n>p

A_n et lim sup

n→∞

A_n= \

p∈N

[

n>p

A_n.

1) Soit (un) une suite quelconque de r´eels.

a) Montrer que : ]− ∞,lim supu_n[⊂lim sup]− ∞, u_n[⊂lim sup]− ∞, u_n]⊂]− ∞,lim supu_n].

b) Donner des exemples montrant que ces inclusions peuvent ˆetre strictes.

c) Soit (un) une suite de fonctions r´eelles. Montrer que, pour a∈R et >0, on a : lim sup{u_n≥a} ⊂ {lim supu_n≥a} ⊂lim sup{u_n≥a−}.

2) Soient (A_n) et (B_n) deux suites de parties de l’ensemble Ω.

a) Montrer lim infAn⊂lim supAn et (lim infAn)^c= lim sup(A^c_n).

b) Montrer que lim sup(An∪Bn) = (lim supAn)∪(lim supBn).

c) Montrer que lim supA_n∩lim infB_n⊂lim sup(A_n∩B_n)⊂(lim supA_n)∩(lim supB_n).

d) Montrer que lim supA_nrlim infA_n= lim sup(A_n∆A_n+1).

(Rappel: La diff´erence sym´etriqueA∆B des ensembles A et B est d´efinie par (A∩B^c)∪(B∩A^c).) Exercice 3

1) Montrer que : ∀n∈N^∗,∃!(p_n, qn)∈N², n= 2^pn+qn,0≤qn<2^pn. 2) On note I_n= [₂^q_pnⁿ ,^1+q_2pnⁿ]. D´eterminer lim supI_n et lim infI_n. Pr´eambule II : manipulation des ”presque partout”

Exercice 4

Soit (f_n)n∈N etf des fonctions r´eelles d´efinies sur l’espace mesur´e (Ω,A, m) qu’on suppose mesurables.

1) Montrer que la suite (fn) converge presque partout versf si et seulement si l’on a

∀ >0 m(lim sup({|f_n−f|> }) = 0.

2) Montrer qu’une condition suffisante pour la convergence ci-dessus estP

m({|f_n−f|}> )<∞mais que cette condition n’est pas n´ecessaire.

Exercice 5

On noteλla mesure de Lebesgue. On dit qu’une propri´et´eP(x) d´ependant d’un r´eelxa lieuλ-pp (”presque partout”) s’il existe un bor´elien Atel queP(x) est r´ealis´e pour tout x∈A etλ(A^c) = 0.

1) Quelles sont les fonctions continues sur [0,1] nullesλ-pp? Le r´esultat subsiste-t-il si l’on remplace continues par bor´eliennes?

2) Peut-on comparer l’ensemble des fonctions deR→Rcontinuesλ-pp et l’ensemble des fonctions deR→R λ-pp ´egales `a une fonction continue d´efinie partout?

Int´egrabilit´e, int´egrale, in´egalit´e de Markov

Exercice 6

On munit l’espace R² de la tribu bor´elienne et d’une mesure µ telle que pour tout r ∈ R^∗+, les ensembles Ωr ={(x, y)∈R²|x²+y²< r²}soient de mesure finie et µ(Ωr) =π.r². On consid`ere la fonction bor´elienne d´efinie sur Ω₁ parh(x, y) =x²+y².

1) A l’aide des ensemble Ωr, construire une suite croissante (hn) (respectivement une suite d´ecroissante (gn)) de fonctions ´etag´ees et invariantes par rotation qui converge versh.

2) Calculer Z

Ω1

hndµ et Z

Ω1

gndµ. En d´eduire la valeur de Z

Ω1

hdµ.

Exercice 7

Soit (Ω,A, µ) un espace mesur´e et f, g: Ω→R¯ des applications mesurables. D´emontrer que:

1) si f, g≥0 et f =g µ-pp, alors Z

f dµ= Z

gdµ;

2) si f =g µ-pp , alors f est int´egrable si et seulement sig l’est et dans ce cas Z

f dµ= Z

gdµ.

Exercice 8

Les fonctions suivantes sont elles Lebesgue-int´egrables surR? a) f(x) =x²1_{(RrQ)∩[0,1]}(x) b) g : x,(x6= 0) 7→ 1/√

x1_]0,1](x)

0 7→ 100

c) h : x,(x6= 0) 7→ sin(1/x)

0 7→ 100

Exercice 9

Soient (Ω,A, m) un espace mesur´e tel que m est born´ee (i.e. m(Ω) < ∞) et (f_n) une suite de fonctions mesurables sur Ω telles que :

(i) ∃C ∀n Z

|f_n|dm≤C

(ii) ∀ >0,∃δ >0,∀A∈ A, m(A)≤δ⇒ ∀n∈N, Z

|f_n|1_Adm≤. On veut montrer que lim

p→∞

1 p

Z sup

n≤p

|f_n|dm

= 0.

1) Pour un K >0 fix´e, ´etudier lim

p→∞

1 p

Z sup

n≤p

|f_n|

!

1{sup_n≤p|f_n|≤K}dm.

2) Remarquer que : Z

sup

n≤p

|f_n|

!

1{sup_n≤p|f_n|>K}dm≤X

n≤p

Z

|f_n|1_{|fn|>K}dm.

3) En d´eduire que : ∀ >0,∃K >0,1 p

Z sup

n≤p

|f_n|

!

1_{{supn≤p|fn|>K}}dm≤.

4) Conclure.

Exercice 10

Soit f :R→R+ d´efinie par f(x) =x1_[0,1](x). Montrer que f est mesurable, et calculer R

Rf dλen utilisant la d´efinition de l’int´egrale (λ d´esigne la mesure de Lebesgue sur R). V´erifier que vous trouvez le mˆeme r´esultat en calculant cette int´egrale `a l’aide d’une primitive.

Th´eor`emes de convergence : lemme de Fatou, th´eor`eme de convergence monotone...

Exercice 11

Soit (µi)i∈N une suite de mesures d´efinies sur un espace mesurable (Ω,A) et (α_i)i∈N une suite de r´eels strictement positifs.

1) Montrer que µ=P

i∈Nαiµi est une mesure sur (Ω,A).

2) Montrer que pour f mesurable positive, puis pourf µ-int´egrable que:

Z

Ω

f dµ=X

i∈N

αi

Z

Ω

f dµi.

3) Appliquer la question pr´ec´edente lorsque Ω =N etµ_i =δ_xi, la mesure de Dirac au point x_i d´efinie par :

∀A∈ A δxi(A) =1A(xi).

Exercice 12

Soient (X,T, µ) un espace mesur´e, et (fn)n∈Nune suite de fonctions mesurables positives surX. On suppose qu’il existe une fonction mesurable positive f surX telle que fn→f simplement µ-presque partout, et

n→+∞lim Z

f_ndµ= Z

f dµ <+∞. Montrer que

n→+∞lim Z

A

fndµ= Z

A

f dµ ∀A∈ T .

(Indication: utiliser le Lemme de Fatou) Exercice 13

Soit f une fonction mesurable positive sur (Ω,A, µ). On d´efinit ν:A →[0,+∞] par ν(A) =

Z

A

f dµ:=

Z

Ω

f·1Adµ, pour tout A∈ A.

1) Montrer que ν est une mesure sur (Ω,A) (la mesure de densit´e f par rapport `a µ ).

2) Montrer que si g: Ω→[0,+∞] est une fonction mesurable positive, Z

Ω

gdν = Z

Ω

gf dµ.

3) Montrer que si g: Ω→R est mesurable, alorsg estν-int´egrable si et seulement sif gest µ-int´egrable et dans ce cas, on a

Z

Ω

(f g)dµ= Z

Ω

gd(ν).

4) Montrer que tout ensemble N µ-n´egligeable est ν-n´egligeable (on dit que ν est absolument continue par rapport `a µest on note ν << µ.)

Exercice 14

1) Montrer que la suite des sommes partielles d’ordre impair du d´eveloppement en s´erie enti`ere, `a l’origine, de la fonction x7→ _1+x¹ est croissante et que ces sommes sont positives ou nulles pourx∈[0,1[.

2) Montrer que : Z ₁

0

x^p−1 1 +xdx=

∞

X

0

1

(p+ 2n)(p+ 2n+ 1) sip >0, Z ∞

1

x^p−1 1 +xdx=

∞

X

1

1

(p−2n)(p−2n+ 1) sip <1.

Exercice 15

On dit qu’un ensemble A⊂Rest sym´etriquesi pour toutx∈A, on a−x∈A.

1) Soitϕ:R→Rd´efinie parϕ(x) =|x|. Montrer queA⊂Rest sym´etrique si et seulement siϕ⁻¹(A) =A.

2) On note S ⊂ P(R) l’ensemble des parties sym´etriques de R. Montrer queS est une tribu.

On d´esigne parBla tribu bor´elienne deR, et parB_s la tribuB ∩ S. On noteI l’ensemble des intervallesI de la formeI =]− ∞, a[ poura∈R, etI_sl’ensemble des intervallesI de la formeI =]−a, a[ poura∈[0,+∞[.

3) Montrer que I_s={ϕ⁻¹(I) : I ∈ I}.

4) Montrer que B_s ={ϕ⁻¹(B) : B ∈ B}.

5) D´eduire des deux questions pr´ec´edentes que la tribuB_sest engendr´ee parI_s(c’est-`a-dire queB_s=σ I_s ).

6) Soitf :R→R. Montrer quef estB_s-mesurable si et seulement sif estB-mesurable et paire (c’est-`a-dire f(−x) =f(x) pour tout x∈R).

7) Soit µ:B_s → R+ d´efinie par µ(A) = λ(A) o`uλ d´esigne la mesure de Lebesgue. Montrer que µest une mesure.

8) Soit f :R→R+ une fonctionB_s-mesurable. Comparer R

f dµ etR f dλ.

9) Soit f : R → R une fonction B_s-mesurable. Montrer que f est µ-int´egrable si et seulement si f est λ-int´egrable.

... et th´eor`eme de convergence domin´ee

Exercice 16

Soit f : (Ω,A, µ)→(R,B(R)) une fonction int´egrable.

1) Montrer que : lim_N→∞R

f1_{|f|>N}dµ= 0 2) Montrer que : ∀,∃δ >0,∀A∈ A, µ(A)< δ⇒R

|f|1_Adµ≤.

Indication : on pourra raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe >0 tel que pour tout n ∈N^∗, il existe A_n∈ A tel queµ(A_n)<2⁻ⁿ et R

|f|1_Andm > , et utiliser le lemme de Fatou.

Exercice 17

Soit f : (Ω,A, µ)→ (R+,B(R₊)) une fonction mesurable. On suppose quec=def

R f dµ∈]0,∞[. Soit (a_n) la suite d´efinie par an=R

nln(1 + (^f_n)^α)dµ (α >0). Montrer que la suite (an) converge 1) vers +∞, si α∈]0,1[ (indication : on pourra utiliser le lemme de Fatou),

2) vers c, si α= 1,

3) vers 0, si α > 1 (indication : on pourra montrer que la fonction u 7→ ^ln(1+u_u ^α) est born´ee sur R+). Ce r´esultat est souvent attribu´e `a Laplace.

Exercice 18

Soient (Ω,A, m) un espace mesur´e, avec m mesure finie, et (fn), f des fonctions mesurables de Ω dans R. On dit que la suite (f_n) converge en mesure vers la fonctionf si :

∀ >0 lim

n→∞m({|f_n−f|> }) = 0.

1) Montrer que la convergence presque partout entraˆıne la convergence en mesure. Remarquer que la r´eciproque est fausse.

2) Montrer que si les f_n sont int´egrables et si limn→∞R

|f_n−f|dm= 0, la suite (f_n) converge en mesure vers la fonction f. Remarquer que la r´eciproque est fausse.

3) Montrer que si la suite (f_n) converge en mesure vers la fonction f, alors elle poss`ede une sous-suite qui converge presque partout vers f. (Indication : on pensera `a utiliser le lemme de Borel-Cantelli.)

4) On suppose que la suite (f_n) converge presque partout versf et que

∀ >0,∃δ >0,∀A∈ A, m(A)≤δ⇒ ∀n, Z

|f_n|1_Adm≤, Z

|f|1_Adm≤. Montrer que limn→∞R

|f_n−f|dm= 0. Expliquer pourquoi ce r´esultat est une extension du th´eor`eme de convergence domin´ee.

Indication : pour montrer la convergence demand´ee, on pourra utiliser, pour un r´eel positif α bien choisi, l’´egalit´e

Z

|f_n−f|dm= Z

|f_n−f|1_{{|fn−f|>α}}dm+ Z

|f_n−f|1_{{|fn−f|≤α}}dm .

Exercice 19

Etudier les limites quand n→+∞ de 1)

Z

R+

√n

√n+x⁵ dx; 2) Z

R^∗+

√n e^−x

pnx+ (xsin(n))⁴ dx; 3) Z

]0,1]

cos

1 x

n

dx.

Exercice 20

On munit R de sa tribu Bor´elienne, et on consid`ere µ une mesure sur R. On suppose que la fonction x∈R7→sh(x) est µ-int´egrable.

1) Donner des exemples de telles mesures.

2) Montrer que les fonctions x∈R7→sin(x) et x∈R7→xⁿ sontµ-int´egrables (n∈N^∗), et que l’on a Z

sin(x)dµ=X

n∈N

(−1)ⁿ (2n+ 1)!

Z

x²ⁿ⁺¹dµ .

Exercice 21

Soit µune mesure finie sur (Ω,A) et f une application r´eelle mesurable (finie) µ-presque partout. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes:

a)f estµ-int´egrable; b)

Z

{|f|>n}

|f|dµ −→

n→+∞0 ; c) X

n≥1

nµ({n <|f| ≤n+ 1})<+∞ ; d) X

n≥0

µ({|f|> n})<+∞.

Exercice 22

On consid`ere la suite de fonctions bor´eliennes d´efinies sur [0,1] parfn(x) = (n−n²x)1[^0,_n¹] sinon. Comparer R limf_ndxet limR

f_ndx. Expliquer.

Exercice 23

1) Montrer que pour tout α >0 on a:

Z

[0,n]

1− x

n n

x^α−1dλ(x) −→

n→+∞

Z

R⁺

e^−xx^α−1dλ(x).

2) Etudier lim

n→+∞

Z

[0,n²]

1 +x

n n

e^−axdλ(x) dans les casa >1 et a≤1.

Exercice 24

On se place sur l’espace E = [−1,1] muni de sa tribu Bor´elienne B et de la mesure de Lebesgue λ. On consid`ere pourn≥1 la suite de fonctions d´efinies sur E par f_n(x) =n.1_]0,1

n](x)−n.1_[−1 n,0[(x).

1) Montrer que (f_n) converge λ-pp vers une fonction f.

2) a) A-t-on: i) Z

E

fndλ −→

n→+∞

Z

E

f dλ? ii) Z

E

|f_n|dλ −→

n→+∞

Z

E

|f|dλ?

iii) Z

E

|f_n−f|dλ −→

n→+∞0? iv)∀A∈ B, Z

A

f_ndλ −→

n→+∞

Z

A

f dλ?

b) Peut-on appliquer le th´eor`eme de convergence domin´ee?