Master Math. Fonda. et appliqu´ees Orsay 2007–2008 U4 : Analyse 1er semestre
Feuille d’exercices no1
Autour de la convergence uniforme
Exercice 1 - S´eries enti`eres (lemme d’Abel)
Soit (an)n≥0 une suite de nombres complexes. Montrer que la s´erieP
n≥0anzn d´efinit une fonction de classe C∞sur le disque ouvert D(0, R), o`u
R=
lim sup
n→∞
|an|1n −1
. Montrer que cette s´erie diverge en tout pointz tel que|z|> R.
Exercice 2 - Fonction continue d´erivable nulle part Montrer que la s´erie trigonom´etrique
X
n≥0
sin(2π100nx) 10n
converge uniform´ement sur R vers une fonction f, mais que cette fonction f n’est d´erivable en aucun point. Pour ce faire, on cherchera, pour tout x ∈ R, une suite de points (xn)n∈N qui tend vers x telle que |f(x|xn)−f(x)|
n−x| → ∞.
Remarque. C’est Kal Weierstrass qui a le premier remarqu´e l’existence de telles fonctions `a la fin du XIX`eme si`ecle.
Moralit´e.La somme d’une s´erie normalement convergente de fonctions d´erivables n’est pas du tout d´erivable en g´en´eral. Pour qu’elle le soit, il faut que la s´erie des d´eriv´ees converge.
Exercice 3 - Lemme de Borel : construction d’une fonction `a d´eriv´ees en 0 impos´ees Soit (an)n≥0 une suite de nombres complexes. On veut montrer qu’il existe une fonctionf :R→C de classe C∞`a support compact telle que f(n)(0) =anpour tout n∈N.
1. Construire une fonctionϕ:R→[0,1] de classe C∞ telle queϕ(x) = 1 si |x| ≤1/2 et ϕ(x) = 0 si |x| ≥1.
2. Montrer qu’il existe une suite λn∈]0,1] telle que les fonctions fn(x) =an.ϕ
x λn
.xn
n! , satisfassent
kfn(k)k∞≤2−n pour 0≤k≤n−1. Indication. On utilisera la formule de Leibniz (f g)(k) =Pk
p=0Ckpf(p)g(k−p), en remarquant que le support de ϕ(p)(x/λn) est inclus dans [−λn, λn].
3. En d´eduire que la s´erie de fonctions f = P
n≥0fn est C∞ `a support compact et r´epond `a la question.
4. Application. Montrer que toute fonction de classe C∞ sur [a, b] se prolonge en une fonction de classe C∞ `a support compact dans R.
Exercice 4 - R´egularit´e et d´ecroissance de coefficients de Fourier
Soit f une fonction continue 2π-p´eriodique. On notecn(f) ses coefficients de Fourier.
1. Montrer que f est de classe C∞ si et seulement si la suite cn(f) est `a d´ecroissance rapide, i.e pour toutk fix´e la suite|n|kcn(f) est born´ee.
2. Montrer que f est analytique surR d`es lors que la suite cn(f) est `a d´ecroissance exponentielle, i.e d`es lors qu’il existeε >0 tel queeε|n|cn(f) soit born´ee.
3. Soit 0 < α < 1 montrer que la fonction f(x) = X
n≥0
e−nαeinxdx est de classe C∞ mais pas analytique au voisinage de 0.
Indication.Pourkentier fix´e, estimer le maximum denke−nα et en d´eduire que |f(k)k!(0)|1/k
→+∞
lorsquek→+∞.
Remarque. En fait, la r´eciproque de la question 2 est vraie! (Cf Zuily-Queffelec p 96-98).
Exercice 5 - R´egularit´e et d´ecroissance de la transform´ee de Fourier Pour f ∈L1(R), on note f(x) =b R
Rf(t)e−itxdt sa transform´ee de Fourier.
1. Montrer que fbest bien d´efinie surRet de classe Ck d`es lors que t→ |t|kf(t) est int´egrable sur R.
2. Montrer que fbest analytique sur R d`es lors quef est `a d´ecroissance exponentielle, c’est-`a-dire d`es lors qu’il existeε >0 tel que eε|x|f(x) soit born´e lorsque|x| →+∞.
Indication. On rappelle que Γ(k) =R+∞
0 tk−1e−tdt= (k−1)!
3. Montrer que sif est `a support compact, alorsfbest une fonction enti`ere, i.e. une s´erie enti`ere de rayon de convergence R= +∞.
Exercice 6 - S´eries trigonom´etriques `a coefficients poistifs d´ecroissants
1. Soit (an)n≥0 une suite d´ecroissantes de nombres positifs qui tend vers 0. On consid`ere la s´erie trigonom´etriqueP
n≥0ansin(nx). Montrer que cette s´erie:
1. converge simplement surR,
2. converge uniform´ement sur [,2π−] pour tout >0, 3. converge normalement sur Rsi et seulement siP
an<∞, 4. converge uniform´ement surRsi et seulement sinan→0.
2. Montrer que la s´erie X
n≥0
sin(nx)
nlogn converge uniform´ement sur [0,2π] mais ne converge absolument en aucun point ]0,2π[. On pourra utiliser le fait que|sin(nx)| ≥1−cos(2nx).
