Description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev

DESCRIPTION DU D

EFAUT DECOMPACIT

E

DE L'INJECTION DE SOBOLEV

PATRICK GERARD

Resume.On montre que toute suite bornee d'un espace de Sobolev hilbertien homogene s'ecrit, a une sous-suite pres, comme la somme presque orthogonale d'une suite tendant vers zero dans l'espace de Le- besgue correspondant par l'injection de Sobolev, et d'une superposition de suites de translatees{dilatees de prols xes. On retrouve ainsi les dierentes versions du principe de concentration{compacite.

1. Introduction

Soient

d

un entier positif, ^S(^Rd) l'espace de Schwartz sur ^Rd, et ^S0(^Rd) le sous-espace de^S(^Rd) dont les fonctions ont une transformee de Fourier nulle pres de l'origine.

Pour tout reel

s

² 0

^d2, on designe par _

H

^s(^Rd) la completion de^S0(^Rd) pour la norme

jj^s

u

^jjL² =

Z

R d

j

^j2sj

u

^(

)^j2

d

(2

)^d

1

2

ou ^s= (^;)^s2. Compte tenu de l'inegalite de Sobolev sur^S0(^Rd),

jj

u

^jjL^p

C

^jjs

u

^jj_L²

¹

p

= 12^;

s

d

⁽¹

:

1) l'espace _

H

^s(^Rd) s'identie au sous-espace de

L

^p(^Rd) dont les fonctions ont une transformee de Fourier du type

u

^(

) = ^

v

(

)

j

^js

(1

:

2)

ou

v

²

L

²(^Rd). On etend alors l'operateur ^s a _

H

^s(^Rd) en posant

v

= ^s

u

, et l'inegalite de Sobolev (1.1) reste vraie pour tout

u

²

H

^_s(^Rd).

On notera que les normes

L

^p et _

H

^s sont invariantes par les translations

y et les dilatations

h denies par

y

u

(

x

) =

u

(

x

^;

y

)

y

^2Rd

h

u

(

x

) = 1

h

^d=p

u

x h

h >

0

:

(1

:

3) Ces invariances induisent des defauts de compacite pour l'injection de _

H

^s dans

L

^p : si

u

est un element non nul de _

H

^s, pour toute suite (

y

n) de points

Universite de Paris-Sud, Departement de Mathematiques, B^at. 425, 91405 Orsay Cedex, France. E-mail : [email protected]

Soumis le 24 juin 1997. Revise le 26 janvier 1998. Accepte le 3 avril 1998.

c

Societe de Mathematiques Appliquees et Industrielles. Typeset by TEX.

de ^Rd tendant vers l'inni, pour toute suite (

h

n) de reels positifs tendant vers 0 ou vers +¹, les suites (

yⁿ

u

) et (

hⁿ

u

) convergent faiblement vers 0 dans _

H

^s et ont une norme non nulle independante de

n

, donc ne sont pas relativement compactes dans

L

^p.

L'objet de ce travail est d'etudier dans quelle mesure ces invariances sont les seules responsables du defaut de compacite de l'injection de Sobolev

H

_^s(^Rd)

,

^!

L

^p(^Rd). An d'enoncer le resultat principal, nous introduisons un peu de vocabulaire. On appellera echelle toute suite^h= (

h

_n)n^2N de reels positifs et cur (de concentration) toute suite^x= (

x

n)n^2N de points de^Rd. Etant donnes deux echelles^h, ~^het deux curs ^x, ~^x, on dira que les couples (^h

^x) et (~^h

^x~) sont orthogonaux si

log~

h

n

h

n

;;;!

n^!1 +¹ ou

h= ~^h et ^j

x

n^;

x

~n^j

h

n ^;n^;!1;!+¹

:

(1

:

4) Le but de cet article est de demontrer le resultat suivant.

Theoreme 1.1. Pour toute suite bornee (

u

_n)n^2N de _

H

^s(^Rd), il existe une sous-suite (

u

⁰_n)n^2N de (

u

n)n^2N, une suite (^h(j))j¹ d'echelles, une suite (^x(j))j¹ de curs et une suite (

j)j¹ de _

H

^s(^Rd) tels que les couples (^h(j)

^x(j)) soient deux a deux orthogonaux et, pour tout entier

`

1,

u

⁰_n(

x

) =^X`

j⁼¹

1

h

⁽n^j)

d

p

j

x

^;

x

⁽n^j)

h

⁽n^j)

+

r

⁽_n^`)(

x

)

lim sup_n

!1

jj

r

_n<sup>(`)jj</sup>L<sup>p ;</sup>`^;!1;!0

(1

:

5)

jj^s

u

⁰_n^jj2_L² =^X`

j⁼¹

jj^s

j^jj2L²+^jjs

r

_n^(`)jj2_L² +

o

(1)

n

^!1

:

(1

:

6) Remarques 1.2.

a) Une consequence des proprietes (1.5) et (1.6) est { quitte a extraire de nouveau une sous-suite { l'existence d'une suite (

`

n) d'entiers tendant vers l'inni telle que

u

⁰_n(

x

) =^X`n

j⁼¹

1

h

⁽n^j)

d

p

j

x

^;

x

⁽n^j)

h

⁽n^j)

+

r

n(

x

)

^jj

r

n^jjL^{p ;}n^;!1;!0

(1

:

7)

jj^s

u

⁰_n^jj2_L² =^X1

j⁼¹

jj^s

j^jj2L²+^jjs

r

n^jj2L²+

o

(1)

n

^!1

:

(1

:

8) Cette formulation presente l'avantage de faire appara^tre clairement un

\modele" du defaut de compacite de la suite (

u

⁰_n) dans

L

^p. Neanmoins, les proprietes (1.5) et (1.6) sont plus precises, et en pratique plus commodes a utiliser.

b) Soient^h

^h~deux echelles et^x

~^xdeux curs tels que les couples (^h

^x) et (~^h

~^x) soient orthogonaux. Alors, si

f

²

L

^a(^Rd),

g

²

L

^b(^Rd) avec ¹_a+¹_b = 1, 1

< ab <

¹, on verie aisement que

Z

R d

h

^d=an1

f

x

^;

x

n

h

n

1

~

h

^d=bn

g

x

^;

x

~n

h

~n

dx

^;_n^;;!

!1

0

:

(1

:

9)

En utilisant l'inegalite elementaire

`

X

j⁼¹

j

p

;

`

X

j⁼¹

j

j^jp

C

` ^X j⁶⁼k

j

j^jj

k^jp^;1 (1

:

10) on en deduit que, dans les conditions du theoreme 1.1,

jj

u

⁰_n^jjp_L^{p ;}_n^;;!

!1 1

X

j⁼¹

jj

j^jjpL^p

:

(1

:

11) Par ailleurs, l'inegalite (1.6) entra^ne

lim sup_n

!1

jj^s

u

⁰_n^jj2_L^{2 X1}

j⁼¹

jj^s

j^jj2L²

:

(1

:

12) On retrouve ainsi que la meilleure constante de Sobolev

I

= inf^jjs

^jjL²

jj

^jjL^p= 1 est atteinte, ainsi que la structure des suites minimisantes (voir P.-L. Lions #12]).

c) En utilisant (1.9) et (1.10), on montre de m^eme la generalisation sui- vante de (1.11),

Z

R d

'

(

x

)^j

u

⁰_n(

x

)^jp

dx

=^X1

j⁼¹(

h

⁽_n^j))^;d

Z

R d

'

(

x

)

j

x

^;

x

⁽n^j)

h

⁽n^j)

p

dx

+

o

(1)

n

^!1

(1

:

13)

pour toute fonction

'

²

L

¹(^Rd). Supposons alors que (

u

n) verie, en plus des hypotheses du theoreme,

lim sup_n

!1 Z

jx^j>R^j

u

n(

x

)^jp

dx

^;_R^;;!

!1

0

:

(1

:

14)

Alors, en utilisant (1.13) avec

'

(

x

) = ^1jx^j>R, on constate que les suites^h(j) et^x(j) sont necessairement bornees (si

j ⁶= 0 !), donc, quitte a extraire une sous-suite et a modier

¹, la propriete (1.5) devient

u

⁰_n(

x

) =

¹(

x

) +^X`

j⁼²

1

h

⁽n^j)

d

p

j

x

^;

x

⁽n^j)

h

⁽n^j)

+

r

⁽_n^`)(

x

)

(1

:

15) avec lim sup_n

!1

jj

r

⁽n<sup>`)jj</sup>L<sup>p ;</sup>`^;!1;! 0 et, pour tout

j

2,

h

⁽n^{j) ;}n^;!1;! 0,

x

⁽n^{j) ;}n^;!1;!

x

^{(j) 2 Rd}. Des lors, en appliquant (1.13) avec des fonctions continues a support compact, on obtient

j

u

⁰_n(

x

)^jp

*

^X1

j⁼¹

jj

j^jjpL^p

(

x

^;

x

j)

(1

:

16)

au sens de la convergence faible des mesures. Par ailleurs, les informations sur (

r

n^(`)) fournies par la demonstration du theoreme 1.1 (remarques 3.5 et 4.4) permettent de ra&ner (1.6) sous la forme

j^s

u

⁰_n(

x

)^j2;js

r

⁽_n^`)(

x

)^j2

*

^X`

j⁼¹

jj^s

_j^jj2_L²

(

x

^;

x

_j)

:

(1

:

17) A partir de (1.16)et (1.17), on retrouve donc le \deuxieme lemme de concen- tration-compacite" de P.-L. Lions #12]. De plus, on peut egalement montrer que toute mesure semi-classique associee a la suite (^s

u

⁰_n) et a l'echelle ^h(j) est du type

m

j(

x

) =

(

x

^;

x

j)^j

^j2sj

^{^}j(

)^j2

d

(2

)^d +

j(

x

)

(1

:

18) ou

j est une mesure semi-classique associees a (^s

r

n^(`)),

` > j

, et a ^h(j). On retrouve donc aussi le critere de \concentration-compacite microlocale"

mis en evidence dans #5,6].

d) Signalons que la demonstration du theoreme 1.1 que nous allons donner utilise fortement le theoreme de Plancherel, donc ne s'adapte pas de fa'con evidente a une injection de Sobolev du type _

W

^sq

,

^!

L

^p, _p¹ = ¹_q ^; _sd, 1

<

q <

¹, 0

< s <

_dq avec

q

⁶= 2.^y

e) Enn, mentionnons que le theoreme 1.1 etait deja connu dans le cas d'une suite critique pour la fonctionnelle

I

(

u

) =

Z

jr

u

^j2

dx

sur le domaine

u

²

H

⁰¹(()

^jj

u

^jjL^p = 1 , ( etant un ouvert borne regulier de^Rd(voir M. Struwe #17]). De plus, pour un probleme elliptique di)erent, H. Brezis et J.-M. Coron #3] ont mene une etude similaire ou apparaissaient deja clairement des proprietes de presque orthogonalite du type (1.4), (1.6) en precisant les \methodes d'eclatement" de Wente #18] et Sacks-Uhlenbeck

#16]. Neanmoins, dans ces references, la decomposition est plus facile a obte- nir, car l'energie des di)erents prols est minoree, donc seul un nombre ni de prols intervient, et le reste tend vers 0 en norme energie. Ce n'est bien s^ur pas le cas en general dans le theoreme 1.1.

Indiquons maintenant le plan de cet article. Les deux prochains paragra- phes sont consacres a la determination^h(j) : au paragraphe 2, on montre en fait un resultat general sur la structure des suites bornees de

L

² et sur les echelles qui leur sont associees. Les deux ingredients de demonstration sont, d'une part, un lemme de type \concentration-compacite" proche de celui de P.-L. Lions #11], et une methode d'exhaustion recemment introduite par G. Metivier et S. Schochet #14,15] dans un contexte di)erent. Au paragra- phe 3, on applique ce resultat a la suite (^s

u

n) et on montre, a l'aide d'une

y Nous avons recemment appris qu'un tel travail avait ete realise par S. Jaard, a l'aide de la decomposition en ondelettes.

inegalite de Sobolev ra&nee, qu'une suite bornee (

r

n) de _

H

^s qui \ne possede aucune echelle" (en un sens precise a la section 2) converge necessairement vers 0 dans

L

^p. Signalons que ce fait avait deja ete observe dans #5,6]. La demonstration du theoreme est achevee au paragraphe 4, ou l'on utilise a nouveau la methode de Metivier-Schochet pour determiner les curs de concentration^x(j) et les prols associes

_j.

Pour terminer cette introduction, signalons qu'une variante du theoreme 1.1 est utilisee dans un travail en collaboration avec H. Bahouri #1,2] pour decrire les solutions de l'equation des ondes non lineaires avec exposant critique dans l'approximation haute frequence, et demontrer certaines bornes a priori.

Notations utilisees

La normalisation adoptee ici pour la transformation de Fourier est

f

^(

) =

Z

R d

e

^;ix

f

(

x

)

d:

Si

a

est une fonction sur ^Rd, on note

a

(

D

) le multiplicateur de Fourier de symbole

a

, deni par

a

(d

D

)

f

(

) =

a

(

) ^

f

(

)

:

Enn, on utilisera les decompositions dyadiques de l'identite,

I

= ^X1

k^=;1k

k=

'

(2^;k

D

) ou

'

²

C

⁰¹(^Rdnf0^g) est choisie telle que

1 = ^X1

k^=;1

'

(2^;k

)

⁸

⁶= 0

:

La norme

L

² est alors equivalente a

1

X

k^=;1

jjk

f

^jj2_L²

! 1

2

tandis que l'on pose, pour toute fonction

f

²

L

²,

jj

f

^jjB = sup_k

2Z

jjk

f

^jjL²

:

On notera qu'un changement de fonction

'

change la norme^{jj jj}B ci-dessus en une norme equivalente.

2. Echelles associees a une suite bornee de

L

²

Dans toute la suite, on appelle echelle toute suite ^h= (

h

n)n^2N de nombres reels strictement positifs.

Definition 2.1.Soit^f = (

f

n)n^2N une suite bornee de

L

²(^Rd), et soit^hune echelle.

1) On dit que ^f est ^h-oscillante si lim sup_n

!1 Z

h^{njj R1 j}

f

^n(

)^j2

d

+

Z

h^njjR^j

f

^n(

)^j2

d

^;_R^;;;!

!+1

0

:

(2

:

1) 2) On dit que ^f est etrangere a^h si, pour tout reel

a >

0, pour tout reel

b > a

, ^Z

a h^njj b^j

f

^n(

)^j2

d

^;_n^;;!

!1

0

:

(2

:

2)

Lorsque ^hest une suite tendant vers 0, la propriete de^h;oscillation o)re un cadre naturel pour l'approximation semi-classique (voir #5], P. Gerard et E. Leichtnam #7], P.-L. Lions et T. Paul #13], P. Gerard, P. Markowich, N. Mauser et F. Poupaud #8]). On prendra garde au fait que la denition donnee ici di)ere legerement de celle qui est donnee dans #8]. De plus, ici, on autorise a ^h d'autres comportements, an de prendre en compte, par exemple, le comportement de

f

n(

x

) a l'inni en

x

^2Rd.

Remarques 2.2.

a) Etant donnee une echelle ^h, les suites ^f qui sont a la fois^h-oscillantes et etrangeres a ^h sont exactement celles qui tendent vers 0 pour la norme

L

²(^Rd).

b) Soit^hune echelle, soient^fune suite^h-oscillante et^gune suite etrangere a^h. Alors la formule de Plancherel et l'inegalite de Cauchy-Schwarz entra^-

nent aisement ^Z

R d

f

n(

x

)

g

n(

x

)

dx

^;_n^;;!

!1

0

:

On en deduit l'identite de presque orthogonalite

jj

f

n+

g

n^jj2L² =^jj

f

n^jj2L²+^jj

g

n^jj2L²+

o

(1)

n

^!1

:

c) Supposons donnee, pour tout

n

^{2 N}, une fonction

n ²

L

¹(^Rd), de sorte que la suite (^jj

n^jjL¹) soit bornee. Alors, si ^f est ^h-oscillante (resp.

etrangere a^h) la suite (

_n(

D

)

f

_n)n^2N l'est aussi.

d) Soit ^h une echelle tendant vers 0 et

m

une fonction bornee sur ^Rd, uniformement continue. Alors si ^f est ^h-oscillante (resp. etrangere a ^h) la suite (

mf

_n)n^2N l'est aussi. En e)et, d'une part, dans la denition 2.1, on peut remplacer les conditions (2.1) et (2.2) par

lim sup_n

!1

jj

(

Rh

n

D

)

f

n^jjL² +

f

n^;

h

n

D R

f

n

L^{2 ;}R^;!1;!0 (2

:

1)⁰

h

_n

D b

1^;

h

_n

D a

f

n

L^{2 ;}n^;!1;!0 (2

:

2)⁰

ou

²

C

⁰¹(^Rd) est egale a 1 au voisinage de 0. D'autre part, si ^

²

L

¹, le lemme de Schur entra^ne

#

m

(

hD

)]_L^2!_L²

Z

R d

j

^(

z

)^j

!

m(

h

^j

z

^j)

dz

ou

!

m est le module de continuite de

m

. Des lors,

#

m

(

h

n

D

)]_L^2!_L^{2 ;}_n^;;!

!1

0

donc (2

:

1)⁰ ou (2

:

2)⁰ est veriee par (

mf

_n) des qu'elle l'est par (

f

_n). En particulier, dans les conditions de la remarque 2.2 b) ci-dessus, on a

Z

R d

m

(

x

)^j

f

n(

x

) +

g

n(

x

)^j2

dx

=

Z

R d

m

(

x

)^j

f

n(

x

)^j2

dx

+

Z

R d

m

(

x

)^j

g

n(

x

)^j2

dx

+

o

(1)

n

^!1

:

Exemple 2.3.Il existe des suites^f etrangeres a toute echelle, qui neanmoins ne tendent pas vers 0 en norme

L

². Par exemple, soit

²

C

⁰¹(^Rd) telle que

R

R

d

(

x

)

dx

⁶= 0. On pose, pour tout

n

2,

f

_n(

x

) =

n

^d

(Log

n

)¹⁼²(1^;x)^;d4(

(

nx

))

x

^2Rd

de sorte que

f

^n(

) = 1

(Log

n

)¹⁼²(1 +^j

^j2)^;d4

^

n

:

Par la formule de Plancherel, on obtient donc

jj

f

n^jj2L²

= (2

)^;d Log

n

Z

R d

(1 +^j1

^j2)^d=2

^

n

2

d

^;!(2

)^;dj

S

^d;1j

Z

R d

(

x

)

dx

2

:

Par ailleurs, on a, pour tout echelle ^h, pour tous

b > a >

0,

Z

a h^njj b^j

f

^n(

)^j2

d

C

Log

n

Z

a h^njj b

d

(1 +^j

^j2)^d=2

C

⁰ Log

n

^Log

b a

;;;!

n^!1 0

:

Exemple 2.4. Notons enn que la particularite d'^etre etrangere a toute echelle se mesure a l'aide de la norme dans l'espace de Besov

B

= _

B

²⁰¹ introduit a la n du paragraphe 1. En e)et,

lim sup_n

!1

jj

f

n^jjB= lim sup_n

!1

supk^{2Z jj}k

f

n^jjL²

= sup

(k^n)2ZNlim sup_n

!1

jjkⁿ

f

n^jjL²

et par ailleurs

Z

^{2;kjj j}

f

^(

)^j2

d

1=²

jjk

f

^jjL²

Z

a ^2;kjj b^j

f

^(

)^j2

d

1=²

(2

:

3) pour 0

< a < < < b

convenables.

On en deduit aisement que ^jj

f

n^jjB tend vers 0 si et seulement si ^f est etrangere a toute echelle.

La proposition suivante exprime un resultat de decomposition d'une suite arbitraire^f par rapport a une echelle donnee^h.

Proposition 2.5. Soient ^h une echelle, ^f une suite bornee de

L

²(^Rd). Il existe une application

'

: ^{N ! N} strictement croissante et une suite (

g

n) bornee dans

L

²(^Rd) telles que :

(i) (

g

n) soit (

h

_'⁽_n⁾)-oscillante,

(ii) (

f

'⁽n^);

g

n) soit etrangere a (

h

'⁽n⁾).

Demonstration.Pour tout entier

n

, pour tout reel

R

1, on pose

L

n(

R

) =

Z

1

R h^njj R^j

f

^n(

)^j2

d:

(2

:

4) Notons que, pour tout

n

,

L

n est une fonction croissante de

R

, et que sup_nR

L

n(

R

)

<

+¹. D'apres le lemme de Helly, il existe une application

'

¹ : ^{N ! N} strictement croissante telle que

L

_'¹⁽_n⁾(

R

) ^!

L

(

R

) pour tout

R

1.

La fonction

L

etant croissante et bornee, posons

`

= lim_R

!+1

L

(

R

)

:

(2

:

5) On construit alors par recurrence une application

'

² :^{N ! N} strictement croissante telle que, pour tout

n

1,

L

(

n

) + 1

n

L

_'¹⁽_'²⁽_n⁾⁾(

n

)

L

(

n

)^; 1

n :

Posons alors

'

=

'

¹

'

². On a

L

'⁽n⁾(

n

)^;_n^;;!

!1

`:

(2

:

6)

On denit alors

g

n²

L

² par la formule

g

^n(

) =¹n¹ h^'(n)jj n

f

^_'⁽_n⁾(

)

:

(2

:

7) Alors (

g

n) est une suite bornee de

L

², et pour tous

b > a >

0 et

n

assez grand,

g

^n(

) = ^

f

_'⁽_n⁾(

)

a

h

_'⁽_n^)j

^j

b

(2

:

8)

ce qui assure la propriete (ii). Par ailleurs, pour

n

R

1,

Z

h^{'(n)jj R1 j}

g

^n(

)^j2

d

+

Z

h^'(n)jjR^j^

g

n(

)^j2

d

(2

:

9)

=

L

'⁽n⁾(

n

)^;

L

'⁽n⁾(

R

)^;_n^;;!

!1

`

^;

L

(

R

)

quantite qui tend vers 0 quand

R

tend vers +¹, ce qui assure que (

g

n) est

(

h

_'⁽_n⁾)-oscillante. ^tu

Remarques 2.6.

a) Etant donnees^f0= (

f

'⁽n⁾) et ^h0= (

h

'⁽n⁾), une suite^g= (

g

n) telle que (i), (ii), si elle existe, est caracterisee modulo une suite

L

² tendant vers 0 en norme. C'est une consequence de la remarque 2.2. a). On appellera alors

g une composante^h0-oscillante de la suite ^f0. La proposition se paraphrase donc en disant que, a extraction pres de sous-suites, toute suite bornee de

L

² admet une composante oscillante selon une echelle donnee.

b) La demonstration ci-dessus montre que la composante ^h0-oscillante ^g de ^f0 peut ^etre prise de la forme

g

n=

n(

D

)

f

_n⁰, avec

_n² =

n.

c) Si ^f est etrangere a une echelle ^h et admet une composante oscil- lante ^g selon une echelle ^he, alors ^g est etrangere a ^h. En e)et, pour tous

b > a >

0, posons

n(

) =¹a h^njj b. Alors la remarque 2.2. c) entra^ne que la suite (

n(

D

)

g

n) est ^he-oscillante tandis que (

n(

D

)(

f

n^;

g

n)) est etran- gere a ^eh. Il en resulte que (

n(

D

)

g

n) est une composante ^he-oscillante de (

n(

D

)

f

n). Or^jj

n(

D

)

f

n^jjL² tend vers 0. La remarque 2.6 a) entra^ne donc que ^jj

n(

D

)

g

n^jjL² tend vers 0, et ceci pour tous

b > a >

0. La suite ^g est donc etrangere a^h.

La notion suivante permet de comparer en general deux telles echelles ^h et^eh.

Definition 2.7.Deux echelles^h et^ehsont dites orthogonales (on note^h?

e

h) si

log~

h

n

h

n

;;;!

n^!1 +¹

:

Par exemple, il est facile de verier que si ^f est ^h-oscillante, alors ^f est etrangere a toute echelle orthogonale a ^h. Le lemme suivant fournit une reciproque partielle de ce fait :

Lemme 2.8. Soit ^g une suite ^h-oscillante telle que ^jj

g

n^jjL² ait une limite inferieure

>

0. On suppose que ^g est etrangere a une echelle ^he. Alors ^h et

e

h sont orthogonales.

Demonstration.Si ^h et^he n'etaient pas orthogonales, il existerait des sous- suites (

h

'⁽n⁾), (~

h

'⁽n⁾) telles que

h

~_'⁽_n⁾

h

'⁽n^{) ;}n^;!1;!

²]0

+¹#

:

Pour tous

b > a >

0, on aurait alors, pour

n

assez grand,

Z

a h^'(n)jj b

g

^'⁽n⁾(

)²

d

^Z

a

2

~h^{'(n)jj 2}b

g

^'⁽n⁾(

)²

d

qui tend vers 0 puisque ^g est etrangere a ^he. Il en resulte que (

g

_'⁽_n⁾) est etrangere a (

h

'⁽n⁾) comme elle est aussi (

h

'⁽n⁾)-oscillante, on en deduit, par la remarque 2.2. a), que

jj

g

_'⁽_n^)jj_L^{2 ;}_n^;;!

!1

0

ce qui est contraire a l'hypothese. ^tu

Nous pouvons maintenant enoncer le resultat principal de ce paragraphe.

Theoreme 2.9.Soit^f une suite bornee de

L

². Il existe alors une sous-suite

f

0de^f, une suite(^h(j))j¹d'echelles et une suite(^g(j))j¹de suites bornees de

L

², veriant les proprietes suivantes :

(i) si

j

⁶=

k

, ^{h(j) ?h(k)}

(ii) pour tout

j

, ^g(j) est ^h(j)-oscillante

(iii) pour tout entier

`

1, pour tout

x

^2Rd, on a

f

_n⁰(

x

) =^X`

j⁼¹

g

⁽_n^j)(

x

) +

r

⁽_n^`)(

x

)

ou ^r(`) est etrangere a ^h(j) pour tout

j

^2f1

:::`

^g et

lim sup_n

!1

jj

r

⁽_n<sup>`)jj</sup>B <sup>;</sup>`^;!1;!0

:

Demonstration.Elle est inspiree de la methode d'exhaustion introduite par Metivier et Schochet dans #14].

Pour toute suite bornee^f de

L

², on pose

(^f) = lim sup_n

!1

jj

f

_n^jj_B

:

(2

:

10) Par ailleurs, si^u= (

u

n) est une suite et

'

:^{N! N}une application stricte- ment croissante, on note^u' la suite (

u

_'⁽_n⁾).

Premiere etape. On montre que, pour tout suite bornee^f de

L

², il existe une application

'

:^{N! N} strictement croissante et une echelle ^h telles que ^f'

admette une composante^h-oscillante ^g veriant

jj

g

n^jjL^{2 ;}n^;!1;!

C

(^f)

2

:

(2

:

11)

En e)et, si

(^f) = 0, il su&t de prendre pour

'

l'identite, ^h quelconque et

g= 0. Sinon, il existe une suite extraite^f0 de^f et une suite (

k

_n) d'elements de^Ztelles que

jjkⁿ

f

_n^0jj_L^{2 ;}_n^;;!

!1

C

¹

(^f)

2

:

(2

:

12)

Posons alors

h

n = 2^;kn. Par la proposition 2.5, quitte a extraire une sous- suite de ^f0 et de ^h, on peut supposer que^f0 a une composante^h-oscillante,