LoisLoisde de probabilitésprobabilitésdiscrètesdiscrètes(suite)(suite)

Lois

Lois de de probabilités probabilités usuelles usuelles discrètes et continues

discrètes et continues

1

Lois

Lois de de probabilités probabilités discrètes

discrètes (suite) (suite)

On a vu:

• Loi de Dirac

• Loi de Bernoulli

• Loi Binômiale

• Loi multinomiale

3

Loi hypergéométrique:

Loi hypergéométrique:

• On considère une urne contenant N boules dont a sont blanches et b=N–asont rouges.

On tire de cette urne nboules. (On peut tirer les nboules en même temps ou l’une après l’autre sans remise).

• Soit Xla v.a. égale au nombre de boules blanches tirées parmi les nboules. Cette v.a.

suit une loi dite hypergéométrique et est notée H(n,a,b).

4 Prof. Mohamed El Merouani

Loi hypergéométrique:

Loi hypergéométrique:

• Comme 0≤X≤aet 0≤n–X≤b, on a:

max{0,n–b}≤X≤min{a,n}

• Soit un nombre entier k tel que:

max{0,n–b}≤k≤min{a,n}

• On cherche P(X=k). L’ensemble fondamental Ωest constitué de tous les sous-ensembles de nboules que l’on peut tirer de l’urne Ω=P_n(E).

C’est l’ensemble de parties à néléments de l’ensemble Edes boules. On a ⁿ

b

Ca

CardΩ = ₊

5

Loi hypergéométrique:

Loi hypergéométrique:

• Le nombre de façons de tirer kboules parmi les ablanches est et pour chacune de ces façons il y a manières de tirer n–kboules parmi les boules rouges. Donc:

k

Ca k n

Cb⁻

( )

b a

k n b k a

C C k C

X P

+

= −

=

= nbredecaspossibles favorables cas

de nbre

n k

n

kC C

C ⁻ =

∑ ^{∑ (}

⁾

Loi hypergéométrique:

Loi hypergéométrique:

• Espérance mathématique de X

~

,

• Sa variance est:

( )

E = +

( ) ( )

(

) (

)

= a b a b n b a X nab

Var

7

Loi

Loi de de Poisson Poisson::

• On dit qu’une v. a. obéit à une loi de Poisson, si elle est susceptible de prendre toutes les valeurs

entières 0,1,2,…,k,…,n, les probabilités associées étant p₀,p₁,p₂,…,p_k,…,p_n, avec

• λétant un paramètre positif, et e la base des logarithmes népériens.

• La constante λs’appelle le paramètre de la loi.

• La loi de Poisson est notée P _(λ).

! ) .

( k

k e X P p

k k

λ

λ

−

=

=

=

8 Prof. Mohamed El Merouani

Loi

Loi de de Poisson Poisson::

• Espérance mathématique: E(X)=λ

• Variance mathématique: Var(X)=λ

• Ecart-type: σ(X)=

• La loi de Poisson est appelée loi des petites probabilités. On l’utilise pour représenter des phénomènes rares, tels que: nombre

d’accidents, nombre de pannes, nombre de déchets dans une fabrication…

9

λ

Loi géométrique:

Loi géométrique:

• On considère une expérience à deux issues possibles (réalisation de l’événement Aou de l’événement Ā). On répète indéfiniment cette expérience jusqu’à ce que Ase réalise. Soit X la v.a. égale au nombre de répétitions

nécessaires pour la réalisation de A.

• On a: X(Ω)={1,2,…,n,…} et P(X=k)=p(1-p)^k-1 où pest la probabilité de réalisation de

l’événement A.

Loi géométrique:

Loi géométrique:

• On vérifie que c’est bien une loi de probabilité.

• En effet,

• Son espérance mathématique est:

• Sa variance est:

( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( )

∑

=

∞

=

∞ −

=

− =

= −

−

=

−

=

=

1 0

1 1

1 1 1 1 1

1

k i

k i

k P X k p p p p p p

( )

E 1

=

( ) ¹

p X p

Var = −

11

Loi binomiale négative:

• Une proportion p d’éléments d’une population possède un certain caractère A. On veut

obtenir néléments de ce type en procédant à une suite de tirage indépendants. Ces tirages s’effectuent avec remise. On désigne par Y le nombre de tirages nécessaires pour obtenir ces néléments possédant le caractère A. La v.a. X=Y–nest appelée binomiale négative.

12 Prof. Mohamed El Merouani

Loi binomiale négative:

• On a X(Ω)=IN. On cherche P(X=i).

• Comme n tirages (dont le dernier) ont donné un élément possédant le caractère Aet i tirages ont donné un élément ne possédant pas le caractère A, la probabilité d’un tel événement est pⁿ(1–p)ⁱ. Le nombre de ces événements est . On en déduit:¹

1

−− n+

i

C

( ) ( P X i ) C

p

( p )

X

i ∈ Ω = = −

∀ ,

1

13

Loi binomiale négative:

• On peut vérifier que:

• Son espérance mathématique est:

• Sa variance est:

( )

∑

=

=

=

0 i

i X

P

(

) (

)

0

1 0

1

1 − =

∑

∑

= +−

∞

=

−− +

i

n i i

i n i

n i n

i

n p p C p p

C

( )

n p X

E = 1−

( )

(

)

Var = ₂ 1−

Lois

Lois de de probabilités probabilités continues

continues

15

Loi uniforme:

Loi uniforme:

• Une v.a. continue Xsuit une loi uniforme si sa densité de probabilité est donnée par:

• La fonction de répartition F(x) de Xest:

16





 ≤ ≤

= −

sinon ,

0

si 1 ,

)

( a x b

a x b

f







>

≤

− ≤

− <

=

b x

b x a a

b a x

a x x

F

si , 1

si ,

si ,

0 )

(

Loi uniforme:

Loi uniforme:

17

Loi uniforme:

Loi uniforme:

• L’espérance d’une v.a. continue X

~

• Sa variance est:

( )

E = +

( ) ( )

12 b 2

X a

Var = −

Loi

Loi de probabilité de probabilité exponentielle: exponentielle:

• Une v.a. Xcontinue suit la loi exponentielle, de paramètre λ>0, notée X

~

• Alors son espérance mathématique est: E(X)=1/λ.

• Sa variance sera: Var(X)=1/λ².

• Son écart-type est alors: σ(X)=1/λ





<

= ⁻ ≥

0 0

) 0

( si x

x si x e

f

λx

λ

19

Loi exponentielle:

Loi exponentielle:

• La fonction de répartition F(x) d’une v.a. X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ est:

 



<

≥

= −

0 si

0

0 si

) 1

( x

x x e

F

λx

20 Prof. Mohamed El Merouani

Représentation graphique de f(

Représentation graphique de f(x x): ):

0 x

f(x)

Pour λ=3

21

3

Représentation graphique de

Représentation graphique de F( F(x x): ):

0 x

F(x)

Pour λ=3 1

Champs d’application:

Champs d’application:

• D’abord, on l’applique pour modéliser la demande, en gestion de stock, lorsque la symétrie n’est pas vérifiée et lorsqu’on remarque que son écart-type est égal à son espérance (sa moyenne).

• Mais en général, la loi exponentielle (négative) s’applique pour modéliser les phénomènes de désintégration. La v.a. Xest alors la durée de vie du phénomène.

23

Loi Gamma:

Loi Gamma:

• Une v.a. Xsuit une loi gamma de paramètres α>0 et β>0 si sa densité de probabilité est définie par:

où Γest la fonction gamma d’Euler:

24



( )





<

Γ ≥

= ^{− −}

0 ,

0

0 ) ,

(

1

x si

x si x

x e f

x α α β

α β

∫

−

= −

Γ

0

) 1

(α e ^tt^α dt

Loi Gamma:

Loi Gamma:

• L’espérance mathématique d’une v.a. Xqui suit une loi gamma de paramètres α>0 et β>0 est:

• En effet, en posant βx=t, on a:

• Sa variance est:

( )

= α X E

( ) ( ) ( )

( )

α β α

βα β α

Γ = +

= Γ

= Γ ^∞

∫

0

dx x e X

E ^x

( )

β

= α X Var

25

Loi de

Loi de Weibull Weibull::

• Une v.a. X suit une loi de Weibull de

paramètres α>0 et β>0 si sa densité est définie par:

• La fonction de répartition F(x) de Xest:







<

= ^{− −} ≥

0 ,

0

0 ) ,

(

1

x si

x si e

x x f

x^α β

β

α

 − ≥

= 1 ⁻ , 0

)

( e si x

x F

αx β

Loi de

Loi de Weibull Weibull::

• L’espérance mathématique d’une v.a. Xqui suit une loi de Weibull de paramètres α>0 et β>0 est:

• En effet, en posant βx=t, on démontre,

comme on a vu pour la loi gamma, le résultat.

• Sa variance est:

( )

β α

α

1

1 1 



 



 + Γ

= X E

( )

βα

α α

2

2 1

2 1

1 



 



 + Γ

−



 



 + Γ

= X Var

27

Loi de Pareto:

Loi de Pareto:

• Une v.a. Xsuit une loi de Pareto de paramètre αsi sa densité de probabilité est définie par:

• Son espérance mathématique pour α>1:

• Sa variance (existe pour α>2):

28





  ≤



 



= 

+

sinon

; 0

si ) ;

( ⁰

1 0 0

x x c

c x c

f

α α

( )

1 c X

E = −

α α

( ) ( ) ( )

Var = − −

α α

α

Loi Bêta:

Loi Bêta:

• Une v.a. Xsuit une loi bêta de paramètre αet βsi sa densité de probabilité est définie par:

où αet β sont des constantes positives et B(α, β) est la fonction bêta d’Euler:

29

( )





 − ≤ ≤

= ^{− −}

sinon

; 0

1 0

si

; ) 1

, (

1 )

(

1 1

x x

B x x

f

α β

β α

( )

) ,

( ¹

0 1 1

∫

= t t dt

B

α β

) (

) ( ) ) (

,

(α β αα ββ + Γ

Γ

= Γ B

Loi Bêta:

Loi Bêta:

• L’espérance d’une v.a. Xsuit une loi bêta de paramètre αet β est:

• En effet,

• Sa variance est:

( )

= + X E

( )

) (

) 1 (

) ( ) 1 ( )

, (

) , 1 (

β α

β α β

α

β α

β α

β α

Γ Γ

+ Γ +

+ Γ

Γ +

= Γ

= + B X B

E

β α

α α

β α β α

β α α α

= + Γ + Γ +

+ Γ

= Γ

) ( ) (

) (

) (

) (

Loi de Cauchy:

Loi de Cauchy:

• Une v.a. Xsuit une loi de Cauchy de paramètres αet λ>0 si sa densité de probabilité est définie par:

• La fonction de répartition F(x) de Xest:

31

( )

) 1

( ₂

2 ∈ −∞+∞

−

= + x

x x

f

λ α

λ π

λ α π

+ −

= x

tg Arc x

F 1

2 ) 1 (

Loi

Loi Normale Normale::

• Une v.a. continue Xsuit une loi normale de

paramètres μ et σ>0 si sa densité de probabilité est:

• On note X~N(µ,σ).

• La loi normale est encore connue sous le nom de loi de Gauss ou de Laplace-Gauss.

( )

[ , ] 2 ;

) 1

( ²

2

2 ∈ −∞ +∞

= e^{− −} x x

f

x σ

µ

π σ

32 Prof. Mohamed El Merouani

Représentation graphique de N(

Représentation graphique de N(μ μ,,σ σ): ):

π σ 2

1

2 1

2

1 ⁻

π e σ

σ

µ− x

f(x)

0 µ µ+σ

33

Loi

Loi Normale Normale::

• La fonction de répartition de Xest définie par:

• On peut montrer que:

E(X)=µ

et Var(X)=σ²

(

)

P x F

x t

∫

∞

−

− −

=

≤

= ²

2

2

2 ) 1

( ^σ

µ

π σ

Loi

Loi Normale Normale centrée, réduite centrée, réduite ::

• Si Xsuit une loi normale N(µ,σ), alors la v.a.

centrée réduite associée à X, suit une loi normale N(0,1), dite loi normale centrée, réduite.

35

σ µ

= X − Z

Loi Normale centrée réduite:

Loi Normale centrée réduite:

• En effet, Soit et z Є IR. On a:

• En posant , on obtient

36

σ

µ

= X Z

( ) (

)

σ µ _{= ≤ +}



 



 − ≤

=

≤ X z P X z

P z Z P

( )

∫

∞

−

− −

= ^{σ µ σµ} π

σ

z x

dx e ²

2

2

2 1

x t

− =

σ

µ

(

)

P

z t

∫

−

= −

≤ ²

2

2 1 π

Loi Normale centrée réduite:

Loi Normale centrée réduite:

IR t

e t

f

t

∈

=

,

2 ) 1

(

2

π

37

Zest donc une v.a. continue dont la densité de probabilité est définie par:

C’est-à-dire Z~N(0,1).

Allure et propriété de la loi normale Allure et propriété de la loi normale

réduite:

réduite:

f(t)

t x

-x

C’est une fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées car elle est paire f (-x)=f (x)

Ainsi les tables de la loi normale centrée réduite, donnent les

La probabilité pour que T

La probabilité pour que T ~ ~ ^N N(0,1) prenne (0,1) prenne une valeur de l’intervalle (t

une valeur de l’intervalle (t

,t ,t

))

• S’écrit alors:

dt e

t T t

P

t t

∫

−

=

<

<

1 2

2 2

1

2

) 1

( π

39

Propriétés:

Propriétés:

• On démontre que:

• L’aire comprise entre la courbe N(0,1) et l’axe des t est égale à l’unité.

∫

^{f ( dt t ) = 1}

40 Prof. Mohamed El Merouani

Fonction de répartition de la loi normale Fonction de répartition de la loi normale

centrée réduite:

centrée réduite:

• On définit la fonction de répartition Φ(t) de la loi normale centrée réduite, comme:

dt e dt

t f a

a a t

2

2

2 ) 1

( )

(

−

∞

− −∞

∫

∫

=

Φ π

a t f (t)

-∞

41

Loi Normale centrée réduite:

Loi Normale centrée réduite:

• On peut ramener tout calcul sur la fonction de répartition d’une v.a. normale N(µ,σ) à un calcul sur la fonction de répartition, notée Φ(x), d’une v.a. normale N(0,1).

• En effet, si X~N(µ,σ),

( ) ^



 



 − Φ

=

 

 



 − ≤ −

=

≤ σ µ

σ µ

σ µ ^{a a}

P X a

X

P

Loi Normale centrée réduite:

Loi Normale centrée réduite:

• Soit Φla fonction de répartition de X~N(0,1).

On a: Φ(a)=1– Φ(–a).

• En effet, comme

et

43

dt e dt

e dt

e a

a a t t

a t

∫

∫

∫

∞

− −

∞

−

− =− =

=

−

Φ ^{2 2 2}

2 2

2

2 1 2

1 2

) 1

( π π π

2 1 1 2

1 2

) 1 ( )

( ^{2 2 2}

2 2

2

=

= +

=

− Φ +

Φ

∫ ∫ ∫

∞

−

∞ − −

∞

−

− dt e dt e dt

e a

a

t

a t

a t

π π

π

Exemple:

Exemple:

La taille d’un groupe de 2000 personnes obéit à une loi normale N(170 cm, 5 cm).

On demande de déterminer:

1. Le nombre de personnes dont la taille est comprise entre 168cm et 175cm.

2. La probabilité pour qu’une personne ait une taille supérieure à 180cm.

44 Prof. Mohamed El Merouani

Solution:

Solution:

1. Définissons la variable centrée réduite Tà partir de la variable aléatoire X:

• Alors P(168<X<175)=P(-0,4≤t≤+1)=

=Φ(1)-Φ(-0,4)= Φ(1)-(1-Φ(0,4))=

=Φ(1)+ Φ(0,4)-1

Soit, en cherchant les valeurs de Φ(1) et de Φ(0,4) dans la table de la fonction intégrale de la loi normale centrée réduite: croisement de la ligne 1,0 et de la colonne 0,00;

croisement de la ligne 0,4 et de la colonne 0,00.

5

−170

= X T

45

D’où P(168≤X≤175)=0,8413+0,6554-1=0,4967

Il y a donc: 2000x0, 4967≈993personnes dont la taille est comprise entre 168cm et 175cm.

2. La probabilité pour qu’une personne ait une taille supérieure à 180cm est:

P(X>180)=P(T>2)=1- Φ(2)=1-0,9772=0,0228 soit une probabilité de 2,3%.

Il y a alors vraisemblablement

2000x0,0228≈45personnes dont la taille dépasse 180cm.

Loi Log

Loi Log--normale bi normale bi--paramètrique paramètrique::

• Une variable aléatoire Xest dite suivant une loi de probabilité Log-normale de paramètres µ et σ si la v. a. Y=Log Xsuit la loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ.

• On note X

~

• Alors, la densité de probabilité de Yest:

• et celle de Xsera:

( )

2 2

2

2 ) 1

( ^σ

µ

− −

σ

= π

y

e y

f

( )

0 2 ;

) 1 (

2 2

2 >

=

− −

x xe

x f

x Log

σ µ

σ π

(

)

Λ

47

Espérance et variance:

Espérance et variance:

• Soit X~Λ(µ, σ), son espérance est:

• Et sa variance est:

( ) ^



 



 µ + σ

=

2 exp 1

X E

( ) ^{X = exp} ( ^{2 µ + σ}

) ( ) { ^{exp σ}

^{− 1} }

Var

48 Prof. Mohamed El Merouani

• Une variable aléatoire Xqui peut prendre une valeur qui dépasse une valeur fixée τest dite suivant une loi log-normale de trois paramètres τ, µ et σ si Y=Log(X-τ) suit une loi normale de

paramètres µ et σ.

• On note X

~

• Le troisième paramètre τs’appelle le seuil.

• Ainsi, la log-normale de 2 paramètres est un cas particulier de celle de 3 paramètres avec τ=0.

Loi Log

Loi Log--normale tri normale tri--paramètrique paramètrique::

) σ , µ , ( τ Λ

49

Fonction de densité de probabilité:

Fonction de densité de probabilité:

• Soit X

~

( ) { ( ) }







τ

≤

∞

<

<

 τ

 

 −τ −µ

− σ τ

− σ

= π

x si

x si x

x Log x

g

0

2 exp 1 2

1 )

(

2 2

Espérance et variance:

Espérance et variance:

• Soit X

~

• Son espérance est:

• Sa variance est:

) exp(

)

( X = τ + µ + σ E

[ ( ) ¹ ]

)

( X = e

e

e

− Var

51

Loi du Khi

Loi du Khi--deux: deux:

• Une v.a. Xsuit une loi du khi-deux à n degrés de liberté (ddl en abrégé) si sa densité de probabilité est définie par:

• On note X~ χ²_(n)

• Si et =β, on retrouve la loi Gamma.

52









≤

>



 

 Γ

=

−

−

0

; 0

0

; 2 2

1 )

(

2 1 2 2

x si

x si x

n e x

f

n x n

α 2 = n

2 1

Prof. Mohamed El Merouani

Loi du Khi

Loi du Khi--deux: deux:

• On peut montrer que:

Si X₁, X₂,…, X_nsont nv.a. indépendantes qui suivent respectivement des lois normales N(µ₁,σ₁), N(µ₂,σ₂), …, N(µ_n,σ_n), alors la v.a.

suit une loi de χ²(n) khi-deux

à n degrés de liberté

53

2

1

∑

= 







 −

= ⁿ

i i

i

Xi

Z σ

µ

Loi du Khi

Loi du Khi--deux: deux:

• C’est-à-dire:

Si Z₁, Z₂,…, Z_nsont n v.a. indépendantes qui suivent respectivement des lois normales centrées réduites N(0,1) alors la v.a.

suit une loi de χ²(n) khi-deux

∑

=

= ⁿ

i

Zi

Z

1 2

Loi du Khi

Loi du Khi--deux: deux:

• L’espérance mathématique d’une v.a. Xqui suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté est: E(X)=n

• Sa variance est: Var(X)=2n

55

Loi de

Loi de Student Student::

• Une v.a. Xsuit une loi de Student à n degrés de liberté si sa densité de probabilités est définie par:

• On note X~

T

• Pour n=1, on retrouve la loi de Cauchy et on a:

56

(

)

B n n x

f _n ∈

+



 



=  ₊ ;

1 1 ,2

2 1 ) 1

(

2 1 2

(

)

x f

et ∈

= +

=



 



Γ ;

1 ) 1 2 (

1

π 2

π

Loi de

Loi de Student Student::

• On peut montrer que:

Si Xest une v.a. normale centrée réduite N(0,1), si Y est une v.a. de

χ

57

n Y

Z = X suit une loi

T

Loi de

Loi de Student Student::

• L’espérance mathématique d’une v.a. Xqui suit une loi de Student à ndegrés de liberté

est: E(X)=0

• Sa variance est:

( )

−2

= n X n Var

Loi de Fisher

Loi de Fisher--Snédecor Snédecor::

• Une v.a. Xsuit une loi de Fisher-Snédecor à p et qdegrés de liberté si sa densité de

probabilité est définie par:

• On note X~

F

59

0

; 2 1

2 , ) 1

(

2 2 1 2

≥



 



 +



 







 



=  ₊

−

x q x

p q x p q

B p x

f _{p q}

p p

Loi de Fisher

Loi de Fisher--Snédecor Snédecor::

• On peut montrer que:

Si X₁ et X₂ sont deux v.a. indépendantes

distribuées respectivement suivant une loi de Khi-deux

χ

60

2 2

1 1

1 1

n X n X

F = suit une loi de Fisher-

Snédecor

F

Prof. Mohamed El Merouani

Loi de Fisher

Loi de Fisher--Snédecor Snédecor::

• L’espérance mathématique d’une v.a. Xqui suit une loi de Fisher-Snédecor

F

• Sa variance est:

61

( )

2 >

= − q

q X q E

( ) ( )

(

) (

)

2

2

2 >

−

−

−

= + q

q q

p

q p X q

Var

Prof. Mohamed El Merouani