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3.8 1) Comme la suite (un

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Academic year: 2022

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(1)

3.8 1) Comme la suite (u

n

)

n∈N

converge vers a, en choisissant ε = 1, on doit avoir l’existence d’un n

0

∈ N tel que pour tout n > n

0

on ait |u

n

− a| < 1 . Or |u

n

− a| < 1 si et seulement si u

n

∈ ]a − 1 ; a + 1[ .

C’est pourquoi, seuls les termes u

1

, u

2

, . . . , u

n0−1

, en nombre fini, sont susceptibles d’être en dehors de l’intervalle ]a − 1 ; a + 1[.

2) Posons m = min(u

1

, u

2

, . . . , u

n0−1

, a − 1). Alors m 6 u

n

pour tout n ∈ N . Posons M = max(u

1

, u

2

, . . . , u

n0−1

, a + 1). Alors u

n

6 M pour tout n ∈ N . 3) On a ainsi montré que la suite (u

n

)

n∈N

est minorée et majorée, c’est-à-dire

bornée.

Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.8

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