M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Autour des suites de Cauchy et de la continuit´ e
Dans ce probl`eme, on red´emontre plusieurs des r´esultats fondamentaux de l’analyse r´eelle, en particulier sur la convergence des suites croissantes major´ees ou des suites de Cauchy sur R et le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Il est donc fondamental de ne pas supposer ces r´esultats connus !
Dans l’ensemble de ce probl`eme, on se donne deux r´eels a et b, avec a < b et on note I = [a, b].
1. Convergence des suites croissantes major´ees.
On rappelle la caract´erisation de la borne sup´erieure d’un ensemble A ⊂ R : le r´eel M est la borne sup´erieure de A si et seulement si A est inclus dans ] − ∞, M ] et si, pour tout > 0, A ∩ [M − , M ] est non vide. S’il n’est pas possible d’exhiber un tel r´eel M , l’ensemble A est non major´e et on a sup A = +∞.
(a) On consid`ere une suite croissante (un) et on suppose qu’elle est born´ee. En utilisant la caract´erisation de la borne sup´erieure, montrer que la suite (un) converge et que sa limite est ´egale `a supnun.
(b) Montrer que si une suite (un) est croissante et non major´ee, alors elle diverge vers +∞.
(c) Montrer que toute suite convergente est major´ee.
(d) Donner un exemple de suite born´ee non convergente, et un exemple de suite convergente non monotone.
2. Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. Le but de cette question est de d´emontrer que, de toute suite born´ee, on peut extraire une sous-suite convergente.
Soit (un) une suite `a valeurs dans l’intervalle [a, b].
(a) On construit deux suites (an) et (bn) de la fa¸con suivante : a0= a et b0 = b puis, pour tout n ≥ 0,
– Si l’intervalle [an, (an+ bn)/2] contient une infinit´e de termes de la suite (un), on pose an+1= an et bn+1= (an+ bn)/2.
– Sinon, on pose an+1 = (an+ bn)/2 et bn+1= bn.
Montrer que la suite (an) est croissante et born´ee, que la suite (bn) est d´ecroissante et minor´ee.
(b) En d´eduire que les suites (an) et (bn) sont convergentes. Montrer ´egalement qu’elles ad- mettent la mˆeme limite.
(c) Montrer que la fonction φ : N → N construite de la fa¸con suivante :
φ(0) = 0 et, pour tout n ≥ 0, φ(n + 1) = inf{k > φ(n), uk∈ [an+1, bn+1]}
est bien d´efinie et strictement croissante sur N.
(d) Justifier que la suite (uφ(n)) est convergente.
(e) Conclure.
(f) Que peut-on dire de la suite (φ(n) − n) (signe et monotonie ´eventuelle) ?
(g) Quel est le nom de la m´ethode algorithmique d´ecrite dans les questions pr´ec´edentes ? 3. Convergence des suites de Cauchy r´eelles. Dans cette question, on consid`ere une suite
r´eelle de Cauchy (un), c’est-`a-dire que
∀ > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀p > N, |un− up| < .
(a) Montrer que la suite (un) est born´ee. Pour ce faire, on pourra par exemple utiliser la d´efinition ci-dessus avec = 1.
(b) En d´eduire qu’elle admet une sous-suite (uφ(n)) convergente. On notera ` la limite de cette sous-suite.
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(c) Montrer que, pour tout > 0, il existe un rang N tel que, pour tout n ≥ N ,
|un− uφ(n)| ≤ /2
puis qu’il existe un rang ˜N tel que pour tout n ≥ ˜N , |un− `| < .
(d) Conclure que (un) converge.
(e) Montrer par ailleurs que toute suite convergente est une suite de Cauchy.
(f) ´Etendre ces r´esultats aux suites d’un espace vectoriel de dimension finie. On pourra com- mencer par justifier qu’une suite d’un espace vectoriel de dimension finie est convergente si et seulement chacune des suites form´ees par ses coordonn´ees dans une base orthonorm´ee est convergente.
4. Convergence absolue des s´eries. On consid`ere une s´erie de terme g´en´eral (un) et on suppose qu’elle est absolument convergente, c’est-`a-dire que P
k|uk| < ∞. On note Sn = Pn
k=0uk et Tn=Pn
k=0|uk|.
(a) Montrer que la suite (Tn) est de Cauchy, et en d´eduire que la suite (Sn) est de Cauchy.
(b) Conclure.
(c) Donner un exemple de s´erie qui converge sans ˆetre absolument convergente.
5. S´eries altern´ees. On se donne une suite (un) v´erifiant – pour tout n ≥ 0, (−1)nun≥ 0,
– la suite (|un|) est d´ecroissante et tend vers 0.
On note Sn=Pn k=0uk.
(a) Montrer que la suite (Sn) v´erifie : pour tout n ≥ 0,
S2n+1 ≤ S2n+3 ≤ S2n+2 ≤ S2n
(b) Que peut-on dire de la monotonie des suites (S2n) et (S2n+1) ? De la limite de la suite (S2n+1− S2n) ?
(c) Conclure quant `a la convergence de la suite (Sn).
6. Limite et continuit´e.
(a) Soit (xn) une suite r´eelle admettant une limite ` ∈ R et f une fonction continue sur R.
Montrer (uniquement en utilisant les d´efinitions de la limite d’une suite et de la continuit´e d’une fonction) que la suite (f (xn)) converge vers f (`).
(b) Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle I et ` un point de I. Montrer que si toute suite (xn) de I convergeant vers ` v´erifie que (f (xn)) converge vers f (`), alors, pour tout r´eel positif, il existe un r´eel η > 0 tel que pour tout x ∈ I v´erifiant |x − `| ≤ η, on a
|f (x) − f (`)| ≤ . On pourra raisonner par contrapos´ee.
(c) Donner un exemple de suite (xn) admettant une limite finie ` et de fonction f telle que la suite (f (xn)) ne converge pas vers f (`).
7. Th´eor`eme des bornes. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], a et b ´etant deux r´eels fix´es. On note M = sup[a,b]f .
(a) Justifier l’existence d’une suite (xn) de [a, b] telle que (f (xn)) converge vers M .
(b) Montrer (en appliquant l’un des th´eor`emes pr´ec´edemment d´emontr´es) que (xn) admet une sous-suite convergente, de limite not´ee α ∈ [a, b]. Que peut-on dire de f (α) ?
(c) En d´eduire le th´eor`eme des bornes (qui stipule que toute fonction continue sur un intervalle admet un maximum et un minimum).
8. Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b].
(a) On suppose pour cette question que f (a) < 0 et f (b) > 0. Construire une suite d’intervalles ([an, bn]) dont la longueur tend vers 0 et v´erifiant pour tout n : f (an) ≤ 0 ≤ f (bn) et an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. ´Etudier la limite des suites (an) et (bn) et en d´eduire l’existence d’un r´eel c0 ∈ [a, b] tel que f (c0) = 0.
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(b) Montrer maintenant que pour tout r´eel λ compris entre f (a) et f (b), il existe un r´eel cλ ∈ [a, b] tel que f (cλ) = λ.
(c) Montrer en utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente ainsi que le th´eor`eme des bornes que f ([a, b]) est un intervalle.
9. Th´eor`eme de Rolle. Soit f une fonction continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et telle que f (a) = f (b). On supposera que f n’est pas constante.
(a) Montrer que f admet un minimum global m et un maximum global M sur [a,b] et que l’un des deux est diff´erent de f (a).
(b) On suppose que M est diff´erent de f (a) et on note c ∈]a, b[ un r´eel tel que f (c) = M . Montrer que pour tout h > 0 tel que c − h ∈ [a, b] (respectivement c + h ∈ [a, b]), on a
f (c − h) − f (c)
−h ≥ 0
respectivement f (c + h) − f (c)
h ≤ 0
.
(c) Conclure que f0(c) = 0.
10. Th´eor`eme (ou ´egalit´e) des accroissements finis. Soit f une fonction continue sur [a, b] et d´erivable sur ]a, b[. On note g la fonction d´efinie sur [a, b] par
g : x 7→ f (x) − xf (b) − f (a) b − a .
(a) Montrer que g v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Rolle et en d´eduire l’existence d’un r´eel c ∈]a, b[ tel que g0(c) = 0.
(b) Expliciter f0(c) puis ´enoncer le th´eor`eme des accroissements finis.
(c) Que signifie graphiquement ce r´esultat ?
(d) ´Enoncer (sans la d´emontrer) l’in´egalit´e des accroissements finis, en pr´ecisant soigneusement les hypoth`eses.
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