Sup PCSI2 — Contrˆole 2008/09
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Ni crayon ni encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement.
Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Probl` eme 1 : ´ etude d’une fonction et de deux suites
◮Notonsf : x∈R7→x+ sin(x).
Q1 Prouvez quef r´ealise une bijection deRsur lui-mˆeme.
Q2 Prouvez quef est lipschitzienne, et calculez la meilleure constante deLipschitzpourf surR.
Q3 Prouvez que la fonction h: x∈R7→f−1(x)−xest born´ee ; d´eterminez ses bornes sup´erieure et inf´erieure.
Q4 D´eterminez toutes les solutions de l’´equation f−1(x) =x.
Q5 f−1 est-elle de classeC∞ surR?
◮NotonsI l’intervalle [−π/3, π/3], et gla restriction def `a I.
Q6 Prouvez quegest de classeC∞, et qu’elle r´ealise une bijection deI sur un intervalleJ que vous pr´eciserez.
Q7 Montrez que g−1est de classeC∞.
Q8 Explicitez leDL5(0) deg−1; les coefficients seront donn´es sous forme de fractions irr´eductibles.
◮Soitn>1. Notonsf[n] lan-i`eme it´er´ee def. Nous avons doncf[1]=f, etf[n+1]=f[n]◦f =f◦f[n].
◮Soit a ∈ ]0, π[. Nous nous int´eressons `a la suite (un)n∈N d´efinie par u0 = a et la relation de r´ecurrence un+1=f(un). Nous avons donc un=f[n](a).
Q9 Montrez que les termes de cette suite appartiennent tous `a l’intervalle ]0, π[.
Q10 Comparezun et un+1.
Q11 Montrez que cette suite converge ; quelle est sa limite ?
Q12 Montrez que l’´equation f[n](x) = 1 poss`ede une et une seule solution dans l’intervalle K = [0, π/2]. Nous noteronsxn cette solution.
Q13 Quel est le sens de variation de la suite (xn)n>1? Q14 Prouvez la convergence de la suite (xn)n>1. Q15 Quelle est la limiteξde la suite (xn)n>1?
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2 : matrices de Hadamard
◮n est un naturel non nul. Mn(R) est la R-alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre n `a coefficients r´eels. La matrice identit´e d’ordrenest not´eeIn. La transpos´ee de la matriceAest not´eeAT.
◮Une matrice deHadamardd’ordrenest un ´el´ementAdeMn(R) dont tous les coefficients appartiennent `a l’ensembleU={+1,−1}et qui v´erifie la relationA·AT =nIn. Nous noteronsHn l’ensemble des matrices deHadamardd’ordren.
◮Remarque: vous avez le droit d’´ecrire 1 `a la place de +1.
Q1 Explicitez tousles ´el´ements deH2. Q2 Explicitez un ´el´ement deH4.
Q3 Soit A∈ Hn. Montrez queAest inversible, et explicitez son inverse.
Q4 Soit A∈ Hn. A-t-on n´ecessairementA−1∈ Hn? Q5 Soit A∈ Hn. A-t-on n´ecessairementAT ∈ Hn?
◮Une matrice deHadamardestnormalis´ee si les coefficients de sa premi`ere ligne et de sa premi`ere colonne sont tous ´egaux `a 1. Par exemple,
µ+1 +1
+1 −1
¶
est une matrice deHadamard normalis´ee d’ordre 2.
Q6 Soit A ∈ Hn. Montrez que si l’on multiplie une ligne ou une colonne de A par −1, la nouvelle matrice obtenue est encore dansHn.
◮∆n d´esigne l’ensemble des matrices diagonales d’ordren, dont tous les coefficients diagonaux sont dans U.
Q7 Quel est le cardinal de ∆n?
Q8 Soit A∈ Hn. Montrez qu’il existe un couple (G, D) d’´el´ements de ∆n tels queG·A·D soit une matrice de Hadamardnormalis´ee.
Q9 Le couple (G, D) de la question pr´ec´edente est-il unique ? Q10 Montrez que sinest impair et distinct de 1, alorsHn est vide.
◮¡−→ei¢
16i6n d´esigne la base canonique deRn. Fixons A ∈ Hn. Pour j ∈[[1,n]], notons−→
Vj = X
16i6n
Ai,j−→ei ; ainsi,−→
Vj est lej-i`eme vecteur colonne de la matriceA.
Q11 Soientj etkdeux ´el´ements de [[1,n]]. Calculez le produit scalaire−→ Vj·−→
Vk. Au besoin, vous distinguerez deux cas de figure.
◮Notons−→ V = X
16j6n
−
→Vj et −→ W = X
16i6n
−
→ei.
Q12 Calculez°
°
−
→V°
°
2 et°
°
−→ W°
°
2. Q13 Calculez le produit scalaire−→
V ·−→ W.
◮Notonsϕ(A) = X
16i,j6n
Ai,j la somme de tous les coefficients deA.
Q14 ´Etablissez la majoration¯
¯ϕ(A)¯
¯6n3/2.
Q15 Justifiez l’affirmation suivante : sinn’est pas un carr´e parfait, alors¯
¯ϕ(A)¯
¯< n3/2. Q16 ExhibezA∈ H4v´erifiantϕ(A) = 43/2 et tr(A) =−4.
◮Question subsidiaire, pour d´epartager d’´eventuelsex-æquos.
Q17 SoitAune matrice deHadamardd’ordren. Montrez que la matrice d´ecrite par blocsB=
µ+A +A
+A −A
¶
est une matrice deHadamard d’ordre 2n.
[Contr^ole 2008/09] Compos´e le 17 mai 2009
