L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Probl` eme de synth` ese sur les suites et les fonctions
L’objectif de ce probl`eme est l’´etude de l’´equation (E)d´efinie par :
(E) x3−7
4x+1 2 = 0.
Partie I −Etude graphique´ Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R, x7→x3−7 4x+1
2
dont une partie de la courbe repr´esentativeCf dans un rep`ere fix´e du plan est donn´ee ci-dessous.
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
Cf
Graphique n˚1
R´epondre aux questions suivantes en utilisant la graphique n˚1.
1. Comment peut-on visualiser les solutions de (E) sur le graphique n˚1 ?
2. Combien l’´equation (E) poss`ede-t-elle de solutions surR? Critiquer la r´eponse donn´ee.
3. Donner un encadrement de chacune des solutions de (E).
4. Dresser le tableau de variations def surR. Critiquer la r´eponse donn´ee.
Indication : On pourra faire apparaˆıtre deux abscisses utiles x1 etx2 sur le graphique n˚1.
1
Partie II −Etude analytique´
1. Montrer que pour toutx, y∈R, on a :
x3−y3= (x−y)(x2+xy+y2).
2. En d´eduire une factorisation def(x)−f(y) par (x−y) pour tout x, y∈R. On posex0=
r 7 12 = 1
2 r7
3
! .
3. (a) Montrer que pour toutx, y∈[x0,+∞[, tels quex < y on a : x2≥ 7
12 ; y2> 7
12 ; xy > 7 12. (b) En d´eduire que pour toutx, y ∈[x0,+∞[ tels que x < y, on a :
x2+xy+y2>7 4. (c) En d´eduire le sens de variation def sur [x0,+∞[.
4. S’inspirer de la question 3 pour d´eterminer le sens de variation de f sur ]− ∞,−x0], puis le sens de variation def sur ]−x0, x0[.
5. Dresser le tableau de variations def. Comparer le r´esultat `a la r´eponse donn´ee en I-4.
6. On fournit les encadrements suivants :
1,3< f(−x0)<1,4 et −0,4< f(x0)<−0,3.
Montrer que l’´equation (E) admet :
• une unique solution sur ]− ∞,−x0] ;
• une unique solution sur ]−x0, x0[ ;
• une unique solution sur [x0,+∞[.
7. En d´eduire le nombre de solutions de l’´equation (E) surR. Comparer le r´esultat `a la r´eponse donn´ee en I-2.
On souhaite `a pr´esent donner une valeur approch´ee, avec une pr´ecision arbitrairement grande, de la solution de (E)appartenant `a]−x0, x0[.
Partie III −Etude d’une fonction auxiliaire´ Soitgla fonction d´efinie par :
g:R→R, x7→x3−3 4x+1
2
dont une partie de la courbe repr´esentativeCg dans un rep`ere fix´e du plan est donn´ee ci-apr`es.
2
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
−0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
−0.1
−0.2
Graphique n˚2
Cg
1. `A l’aide du graphique n˚2, conjecturer une valeur deatelle que g est monotone sur l’intervalleI= [0, a]
et l’intervalleI est stable parg, i.e. :
∀x∈[0, a] g(x)∈[0, a].
Dans la suite on pose a = .
2. En s’inspirant de la question II-3 et en utilisant la question II-1, d´emontrer que la fonction g est stricte- ment d´ecroissante sur [0, a].
3. Finir de montrer la conjecture faite `a la question 1, i.e. montrer que pour toutx∈[0, a],g(x)∈[0, a].
4. Montrer que pour toutx, y∈[0, a] :
−3
4 ≤x2+y2+xy−3 4 ≤0 et en d´eduire que pour tout x, y∈[0, a] :
|g(x)−g(y)| ≤ 3
4 |x−y|.
5. D´eduire de 2 que la fonctionhd´efinie par :
h:R→R, x7→g(x)−x est strictement d´ecroissante sur [0, a].
6. Montrer que l’´equation (E′) d´efinie par :
(E′) g(x) =x
admet une unique solution sur [0, a].
On note αl’unique solution de (E′)sur[0, a].
3
7. Placerαsur le graphique n˚2.
8. Justifier queαest la solution de l’´equation (E) sur ]−x0, x0[. Placerαsur le graphique n˚1 et v´erifier la coh´erence des r´esultats entre les graphiques n˚1 et n˚2.
9. Dresser le tableau de signes de hsur [0, a].
10. En d´eduire la position relative de la courbeCg et de la droite d’´equation y =xau-dessus de l’intervalle [0, a].
Partie IV− Etude d’une suite´
Soit (un)n∈N la suite d´efinie paru0=aet la relation de r´ecurrenceun+1=g(un) valable pour toutn∈N. 1. Construire les premiers termes de la suite (un)n∈N sur le graphique n˚2 et conjecturer le comportement
asymptotique de cette suite.
2. `A l’aide de la question III-3, d´emontrer que pour toutn∈N, un∈[0, a].
3. `A l’aide de la question III-4, d´emontrer que pour toutn∈N:
|un+1−α| ≤ 3
4 |un−α|.
4. En d´eduire que pour toutn∈N:
|un−α| ≤ 3
4 n
|u0−α|.
5. D´emontrer alors la conjecture faite en 1.
6. R´esoudre l’in´equation :
3 4
n
≤10−15
d’inconnue n∈Net en d´eduire une valeur den∈Ntelle que l’´ecart entreun etαest inf´erieur ou ´egal `a 10−15.
Partie V−Algorithme
En utilisant les r´esultats de la partie pr´ec´edente, construire un algorithme demandant `a l’utilisateur une pr´ecision εet lui retournant une valeur approch´ee de la solutionαde (E) sur ]−x0, x0[ avec une erreur d’au plusε. On pourra recopier l’algorithme suivant, en compl´etant les parties encadr´ees, pour r´epondre `a la question pos´ee.
Saisirε u←−
n←−
Tant que faire
u←−
n←−
Retourneru
4
