DEVOIR DE SYNTH ` ESE # 1
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IENCES EXP
.
MATH ´ EMATIQUES
D UR EE ´ : 2 H
P R : S OLTANI M.
Le sujet omporte 2 pages numerotesde 1 a2
Une opie non soignee sera santionnee.
Exercice
1.( 5 points)
On note : u = 1
2 +i
√
3
2
1. Donner la forme exponentielle de u ,puis verierque : u 3
=
−
1 et que 1−
u +u2 =0.2. Resoudredans
C
l'equation z2
−
u2z−
u =0.3. Dans le plan omplexe rapporteaun repereorthonormediret (O;
− →
u ;− →
v), on donne les points A;B et C d'aÆxes respetives z ,−
u z et u2z. ou z estun nombre omplexe non nul.(a) Montrer que O est leentre de gravite du triangle ABC.
(b) Montrer que z
P
=
−
u2(zN−
zM)+ zM.() Deduirela nature du triangle ABC
Exercice
2.( 5 points)
l'espae estrapporteaun repere orthonorme (O;
−
→
i ;
−
→
j ;
−
→
k).
On onsidereles points A(
−
1;0;0);B(1;0;2) etC(3;−
2;2).1. (a) Montrer que lespoints A;Bet C ne sontpas alignes.
(b) On note P le plan (ABC) .Montrer qu'une equationartesiennede P est:x+y
−
z+1=0.2. Soit S :=Mx;y;z); x 2
+y 2
+z 2
+6y
−
2z−
1=0(a) Montrer que S estune sphere dont on preisera le entre et lerayon R.
(b) Montrer que P
∩
S estle erle C ironsrit au triangle ABC.() Determinerle entre et lerayon du erle C.
3. Soit la droite dont une representationparametriqueest : 8
<
:
x =
−
1+ty =0 ;t
∈ R
z =2+t
Montrer que esttangente alasphereS.
4. Montrer que pour toutpoint M de , le volumedu tetraedre MABC est onstant.
L YC EE ´ C HEBBI 1
Exercice
3.( 3 points)
Pourtout n
≥
1 on pose an =Z
1
0 t
n
sin (t)dt .
1. Montrer que pour toutn
≥
1, on a : 0≤
an≤
1n +1 .
2. Caluler alors lim
n→+
a
n .
3. (a) A l'aide d'une double integrationpar partiesmontrer que :
a
n
=
(n +2)(n +1)
−
2
(n +2)(n +1) a
n+2
(b) Caluler lim
n→+
n 2
a
n
Exercice
4.( 7 points)
1. Pour tout reelx de I =℄
−
2
;
2
[ ,on pose F(x)= Z
tanx
0 t
2
1+t 2
dt
(a) Montrer que F est derivablesur I et que pour toutx
∈
I;F′(x)=tan2x.(b) Deduireque pour tout reelx de I on a F(x)=tanx
−
x.() Caluler alors l'integrale = Z
1
0 t
2
1+t 2
dt
2. Soit 'la fontion deniesur l'intervalle [0;2[ par '(x)=
√
x 2−x.
On note C saourbe representativedans le plan rapporteaun repereorthonorme(O;
−
→
i ;
−
→
j ).
On donne i-ontre le tableau de variation de '.
x
'
′
(x)
'(x)
0 2
+
0 0
+
(a)
Etudier la position relative de (C) par rapport aladroite :y=x puis traer (C) et. (b) Montrer que ' possede une fontion reiproque '
−1
denie et ontinue sur un intervalle J que
l'on preisera.
() Traer (C′) la ourbe representative de '
−1 .
(d) Montrer que pourtout y
∈
J on a : '−1(y)=2y 2
1+y 2
(e) Caluler en united'aire , l'aire de lapartie du plan limitee par (C) et (C′).
