Lyc´ee Al-Emti`ez Om l¨ara¨ıes ❧❧❧ Issaoui Hacen
Quatri`eme math´ematiques 2 Le Mardi 06/12/2011 `a 8 h.
- DEVOIR DE SYNTH ` ESE N
◦1 -
∼Dur´ee : 3 heures∼
Exercice 01 3 Pts
☞R´epondre par vraie ou faux et justifier :
1. Toute solutionz de l’´equation z3+z= 0 v´erifie : z=ei(π3+2kπ3 ),k∈ {0,1,2}. 2. Soith une bijection strictement croissante de R∗
+ dansR∗
−, alors lim
n→+∞h−1
−2 n
=−∞.
3. On consid`ere une droite ∆ et un vecteurw~ =~u+~vavec~udirecteur de ∆ et~vnormal `a ∆, alorsf =tw~◦S∆ est une sym´etrie orthogonale.
Exercice 02 4 Pts
Soit la fonctionϕ d´efinie sur R parϕ(x) = (1−x)2. On d´efinie la suite (an) par a0 = 1
2 et pour tout entier n, an+1=ϕ(an).
1. Montrer que pour toutn∈N, on a : 0≤an≤1.
2. (a) Montrer queϕ◦ϕest croissante sur [0,1].
(b) Montrer que la suite (a2p), p ∈N est croissante et major´ee par 1, en d´eduire qu’elle converge vers un r´eel ℓ avec 1
2 ≤ℓ≤1.
(c) Montrer que la suite (a2p+1),p∈Nest d´ecroissante et positive, en d´eduire qu’elle converge vers un r´eel L avec 0≤L≤ 1
4. 3. Conclure.
Exercice 03 4 Pts
℘est le plan complexe muni d’un rep`ere orthonorm´e direct (O, ~u, ~v). SoientA, B etC les points d’affixes respectives zA= 4i,zB= 4 etzC =√
3 + 5i.
1. D´eterminer l’ensemble des pointsM de℘pour lesquels il existe au moins une isom´etrieσv´erifiant :σ(A) =B et σ(C) =M.
2. Soitθ∈]−π, π] etD un point d’affixe 4 + 2eiθ.
(a) Montrer qu’il existe un seul antid´eplacement σθ tel queσθ(A) =B etσθ(C) =D.
(b) D´eterminer la valeur de θ pour laquelleσθ est une sym´etrie orthogonale.
3. On prendθ=−5π
6 et on noteψ=σ−5π
6 . (a) Montrer que ψest une sym´etrie glissante.
(b) D´eterminer l’expression complexe de ψ.
(c) D´eterminer une ´equation de la l’axe de ψ et l’affixe de son vecteur.
Exercice 04 4 Pts
Dans le plan orient´e, on consid`ere un rectangleABCD tel que AB= 2AD= 2 et
−−→AB,\−−→AD
≡ π
2[2π]. Soient I etJ les milieux respectifs de [AB] et [DC].
1. On posef =S(IC)◦t−→AB◦S(IJ). (a) IdentifierS(BC)◦S(IJ).
(b) En d´eduire que f est une rotation que l’on caract´erisera.
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(c) On pose g=f◦S(IJ). Montrer queg est une sym´etrie glissante.
2. On munit le plan d’un rep`ere orthonorm´e
A,−→AI,−−→AD
, soitφl’application qui `a tout pointM(z) on associe le pointM′(z′) tel que z′ =iz+ 1 +i.
(a) Montrer que φest un antid´eplacement.
(b) Donner les affixes des points C etJ.
(c) D´eterminer φ(A) et φ(D), en d´eduire que φ=g.
(d) D´eterminer alors l’axe ∆ deg et son vecteur −→X.
(e) Soit B′ =g(B). La droite ∆ coupe (BD) en P et (CB′) en Q. Montrer queg(P) =Q.
Exercice 05 5 Pts
Soitf la fonction d´efinie sur [0,1[ parf(x) = 1 + tan2π 2x
. 1. Montrer quef r´ealise une bijection de [0,1[ sur [1,+∞[.
2. Etudier la d´erivabilit´e def−1 `a droite en 1.
3. D´eterminerf−1(2) puis tracer Cf etCf−1 dans le mˆeme rep`ere.
4. Montrer quef−1 est d´erivable sur ]1,+∞[ et que pour tout x∈]1,+∞[, f−1′
(x) = 1
πx√ x−1. 5. Soit la suite (un) d´efinie surN∗ par :
un=
n
X
k=1
2f−1
2 + k
nk+ 1
−1
.
(a) Montrer que pour tout n∈N∗ on a :
n
2f−1
2 + 1 n+ 1
−1
≤un≤n
2f−1
2 + n
n2+ 1
−1
.
(b) En d´eduire que u converge vers 1 π.
LATEX%
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