Sup PCSI 2 — Exercices : produit vectoriel, produit mixte Q1 Soient A, B, C et D quatre points du plan ou de l’espace. Montrez la formule
−−→A B·−−→C D +−−→A C·−−→D B +−−→A D·−−→B C = 0
Donnez une interpr´etation g´eom´etrique de cette relation, dans le cas du plan, puis dans le cas de l’espace.
Q2 Soient A, B, C et D quatre points de l’espace. Montrez la formule
−−→A B∧−−→A C +−−→A C∧−−→A D +−−→A D∧−−→A B =−−→B C∧−−→B D
Q3 Soientu,v etwtrois vecteurs de R3. ´Etablissez laformule du double produit vectoriel: (u∧v)∧w= (u·w)v−(v·w)u
Vous pourrez proposer plusieurs m´ethodes.
Q4 Utilisez la formule du double produit vectoriel pour simplifier (a∧b)∧(c∧d). Constatez que deux expressions sont possibles, et d´eduisez-en une preuve de l’affirmation suivante :hhquatre vecteurs deR3sont toujours li´esii. Q5 Soienta,b,cet dquatre vecteurs de R3. ´Etablissez la formule :
(a∧b)·(c∧d) =
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a·c b·c a·d b·d
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Q6 Soienta,b etc trois vecteurs deR3. Donnez des expression simples des quantit´es suivantes : q1= m (a+b, b+c, c+a)
q2= m (a∧b, b∧c, c∧a)
q3= m ((a+b)∧(a+c),(b+c)∧(b+a),(c+a)∧(c+b)) q4= m ((a∧b)∧(a∧c),(b∧c)∧(b∧a),(c∧a)∧(c∧b)) q5= m ((a∧b) + (a∧c),(b∧c) + (b∧a),(c∧a) + (c∧b))
Q7 Soientf ∈ L(R3) etAsa matrice dans la base canonique deR3. SupposonsAantisym´etrique. Montrez qu’il existe un et un seul vecteura∈Etel quef(x) =a∧xpour toutx∈E. Nous dirons queaestassoci´e`a A.
SoientA etB deux matrices carr´ees d’ordre 3, antisym´etriques, eta,b leurs vecteurs associ´es. V´erifiez que AB−BAest antisym´etrique, et d´eterminez son vecteur associ´e.
◮Un endomorphisme f d’un espace euclidien E est antisym´etrique s’il v´erifie f(~u)·~v =−~u·f(~v) quels que soient les vecteurs~uet~vdeE.
Q8 Soit −→a ∈R3. Prouvez que −→x 7→ −→x ∧ −→a est un endomorphisme antisym´etrique ; d´eterminez son noyau et son image, puis r´esoudre l’´equation−→a ∧ −→x =−→b.
Q9 Soit a∈R3. ´Etudiez l’endomorphismef deR3 d´efini parf(x) =a∧(a∧x). Source : TPE 1992.
Q10 Soitu∈R3 unitaire. ´Etudiez la fonction f : x7→x+ (x·u)u+√
3(x∧u). Source : POX (RMS 1989.5.24)
Petit probl` eme (Aleph TCE, G´ eom´ etrie II, 6.14)
Q1 Soit f une rotation deR3; montrez quef(u)∧f(v) =u∧v quels que soientuet v.
Q2 Que se passe-t-il sif est orthogonal mais n’est pas une rotation ?
◮Soitg∈ L(R3) distinct de0et v´erifiantg(u)∧g(v) =u∧vquels que soientuetv. Soit (i, j, k) une b.o.n.d.
deR3
Q3 Que pouvez-vous dire de la famille¡
g(i), g(j), g(k)¢
? Q4 Conclusion concernantg?
[ProduitVectoriel] Compos´e le 7 mai 2010
